精品解析：2024年湖北黄冈 孝感 咸宁 （三市联考专用）中考高难综合选拔性全真模拟考试用试卷（数学）

2024届湖北黄冈 孝感 咸宁 （三市联考专用）中考高难综合选拔性全真模拟考试用试卷 数学试卷 本试卷共12页，21题．全卷满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】先分别化简各选项中需要化简的数，再根据相反数的含义进行判断即可． 【详解】解： 故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是绝对值的含义，相反数的含义，有理数的乘方运算，掌握“绝对值的含义与相反数的含义”是解本题的关键． 2. 已知1纳米是1毫米的一百万分之一，若某病毒的直径约为130纳米，用科学记数法表示“130纳米”正确的是（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 【答案】B 【解析】 【分析】利用科学记数法表示，即改写成的形式，且即可． 【详解】解：已知1纳米是1毫米的一百万分之一， 即1纳米＝毫米 ∴130纳米＝毫米． 故选：B． 【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法表示数是解决本题的关键． 3. 如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体上面看，从而得到出物体的形状． 【详解】解：从上面观察可得到： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的概简单几何体的三视图，解题的关键是要考虑到俯视图中看见的棱用实线表示． 4. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次方程方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，然后在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键． 解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式的解集得出，进而即可求解． 【详解】解： ， 解得， ∵关于y的方程有非负整数解， ∴， 解得：，且为整数， 关于的不等式组整理得 ， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∴且为整数， ∴， 于是符合条件的所有整数的值之和为：， 故选：B． 5. 在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作于，作于，可求得，，的值，进而求得四边形的面积；当点在上时，当点和点重合时，四边形的面积，当点在上，点在上时，设四边形的面积为，求得根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图1， 作于，作于， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ∴梯形的面积 如图2， 当点在上时， 当点和点重合时，四边形的面积最大．此时， ∴四边形的面积= 如图3， 当点在上，点在上时，设四边形的面积为， ∴， ∴ ∴当时，最大，最大值为 ∵ ∴最大值为 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 6. 如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆内接四边形对角互补推出，再由角平分线的定义得到，即可得到，则，再由得到，即可证明，再，即可证明即可判断A；再根据圆周角定理和等量代换把B、C、D三个选项中的角度用表示出来，结合三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故A不符合题意； ∵ ∴ ，故C不符合题意； ∵，， ∴ ，故D不符合题意； ∵， ∴ ， 根据现有条件无法证明， ∴无法证明，故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 7. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； ②过点C作于M，通过证明，进而说明，可得，可得②不正确； ③由折叠可得：，由可得，结论③成立； ④连接，由，可知：，，所以，由于，则，由折叠可得：，则；利用勾股定理可得；由，得到，所以E，M，H，C四点共圆，所以，通过，可得，这样，，因为，易证，则得，从而说明④成立． 【详解】解：①∵四边形是正方形， ∴． 由折叠可知： ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故①正确； ②过点C作于M， 由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ③由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， 即平分． ∴③正确； ④连接，如图， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． ∴． 由折叠可得：， ∴． ∴． 由折叠可知：． ∴． ∵， ∴， ∴四点共圆， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵ ∴ ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴④正确； 综上可得，正确的结论有：①③④． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似形的综合题，正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键． 8. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本次主要考查了二次函数图像与性质，准确的找出隐含的等量关系和利用数形结合的思想是解题关键．根据抛物线图像的性质得到的范围，根据对称轴和轴上的点可得到两个等量关系，变形替换从而可以判断①②，根据顶点最高可得到③符合题意，由数形结合可得到④不符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，故①符合题意； ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∵与轴的交点在，，之间包含端点， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵顶点坐标 ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴对于任意实数，， ∴， ∴，故③符合题意； ∵顶点坐标，且开口向下， ∴直线与抛物线没有交点， ∴关于的方程没有实数根，故④不符合题意． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 要使得有意义，的取值应满足的条件是 ______ ． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据，以及可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的意义是解题的关键． 10. 若的值为零，则a的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，求解可得． 【详解】解：根据题意知， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的值，解题的关键是掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 11. 如图，在凸四边形ABCD中，，已知，，则的度数为________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 首先根据题意得到，表示出，然后利用三角形内角和得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 12. 已知：m、n是方程的两根，则_____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，根与系数的关系，熟知一元二次方程根的定义，根与系数的关系，并根据题意将所求代数式变形是解题关键． 13. 《九章算术》是我国古代一部综合性数学经典著作．全书包括246个数学问题，按问题的特点分为九章．其中的“方程术”中明确引进了“负数”．这部著作说明我国是世界上最早使用负数的国家．现有一组负数分别为，，，，，，，，则这组负数的中位数为______． 【答案】 【解析】 【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数． 【详解】解：先将原数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，； 故中位数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数． 14. 在一次美术课堂的剪纸活动中，小刚把一张菱形的纸片沿着各边的中点，剪取四边形，纸片分别沿、折叠使得点落在，点落在处，且直线与直线重合，满足，若阴影部分的周长之和等于16，，求的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，相交于点O，由题意易得四边形是矩形，然后可得，，设，，．进而根据阴影部分的周长及可进行求解． 【详解】解：连接，，相交于点O，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵E、F、G、H是、、、的中点， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，点A到的距离和点C到的距离相等，距离即为， 由折叠可知：四边形是正方形， 可设，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵阴影部分的周长之和等于16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 15. 2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，证明，利用相似三角形的性质求出，可得，，利用勾股定理求出和，进而可得的长，再证明，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， 即， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程以及二次根式的混合运算等知识，证明，求出的长是解题的关键． 16. 如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出、、、、、的坐标，可得出规律：每四个点一个循环，，由，即可推出． 【详解】解：∵将顶点绕点逆时针旋转得点， ∴， ∵再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点…… ∴，，，，，…… 观察发现，每四个点一个循环，其中， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，等腰直角三角形的性质等，根据题意找到规律并利用规律求解是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先通分，然后根据同分母分式加减法法则计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了分式加减法的运算方法，解答此题的关键是要明确同分母分式加减法法则、异分母分式加减法法则． 18. 近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率＝（销售单价-进价）÷进价）． （1）求两种口罩的进价； （2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？ （3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值． 【答案】（1）KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元；（2）1.2≤x≤1.6；（3）62.4元 【解析】 【分析】（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元，根据“用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元”列方程解答即可； （2）根据KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%列出不等式组求解即可； （3）根据单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，求出z＝x﹣0.4，再根据口罩每天销售总利润和为w元，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的最值解答即可． 【详解】解：（1）设KN95口罩的进价为a元，普通医用口罩的进价为（a﹣0.4）元， 由题意得：1000a+1000（a﹣0.4）＝1200， 解得：a＝0.8， 则a﹣0.4＝0.4（元）， 答：KN95口罩的进价为0.8元，普通医用口罩的进价为0.4元； （2）由题意得：0.5≤≤1， 解得：1.2≤x≤1.6， 答：药店KN95口罩的销售单价范围为1.2≤x≤1.6； （3）∵单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同， ∴z﹣0.4＝x﹣0.8 解得：z＝x﹣0.4， 设两种口罩每天销售总利润和为w元， 根据题意，得：w＝（−10x+40）（x−0.8）+（−10z+66）（z−0.4） ＝（−10x+40）（x−0.8）+[﹣10（x﹣0.4）+66]（x﹣0.4﹣0.4） ＝（−10x+40）（x−0.8）+（﹣10x+70）（x﹣0.8） ＝−20x2+126x−88， 对称轴x＝＝3.15，w的图像关于x＝3.15对称， 又∵﹣20＜0，w的开口方向向下， ∴当1.2≤x≤1.6，w随x的增大而增大， ∴当x＝1.6时，w最大＝﹣20×+126×﹣88＝62.4（元）． 答：两种口罩每天销售总利润和的最大值为62.4元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数解析式． 19. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间/小时） 频数（人数） 频率 A 6 B a C 10 D 8 b E 4 合计 1 （1）表中的 ， ，并将频数分布直方图补全； （2）估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有多少名？ （3）E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）12，； 频数分布直方图如下： （2）每周课余阅读时间不足小时的学生大约有300人； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得抽取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率； （2）根据每周课余阅读时间不足小时的学生的频率，估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生数即可； （3）通过画树状图，根据概率的计算公式，即可得到抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【小问1详解】 解：∵抽取的学生数为人， ∴人， ， 故答案为：12，； 【小问2详解】 解：该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有：人； 答：每周课余阅读时间不足小时的学生大约有300人； 【小问3详解】 解：树状图如图所示： 总共有12种等可能的结果，其中刚好是1名男生和1名女生的结果有6种， ∴抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求概率，以及频数分布直方图的运用，解题时注意：当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确． 20. 如图，为的直径，点，在上，且点是弧的中点．过点作的垂线交直线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，如下图， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∵， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先证明，再根据“等边对等角”的性质可得，进而可得，可证明，结合可证明，即可证明结论； （2）连接，证明，由相似三角形的性质可得，即可获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图， ∵为的直径，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理和推论、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，勾股定理的应用，等腰三角形的定义，锐角三角函数的应用，熟练的求解函数解析式是解本题的关键； （1）利用三角函数先求解的坐标可得反比例函数的解析式，再求解的坐标，可得一次函数的解析式，从而可得答案； （2）先利用勾股定理求解的长，再分两种情况建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：过作轴于点，如图， ，， ，即， 解得， ， ， 反比例函数且过点， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数且经过点， ，解得， ， 一次函数过、两点， ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 ， ， 设点坐标为，则，， 是以为腰的等腰三角形， 或， 当时，则有，解得， 此时点坐标为或； 当时，则有， 解得或舍去， 此时点坐标为， 综上可知满足条件的点的坐标为或或． 22. 在一条笔直的公路上有A，B两地．甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y 与行驶时间x之间的函数图象．根据图象解答以下问题： （1）直接写出A，B两地之间的距离； （2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间的距离不超过时，能够用无线对讲机保持联系，请求出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． 【答案】（1）30千米 （2）点M的坐标为，表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据图象可得出A、B两地之间的距离； （2）根据图象求出甲、乙两人的速度，再利用相遇问题求出相遇时间，然后求出乙的路程即可得到点M的坐标以及实际意义； （3）分相遇前和相遇后两种情况求出x的值，再求出最后两人都到达B地前两人相距5千米的时间，然后写出两个取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵时，甲距离B地30千米， ∴A、B两地的距离为30千米． 【小问2详解】 解：由图可知，甲的速度：千米/时， 乙的速度：千米/时， ，千米． ∴点M的坐标为，表示小时后两车相遇，此时距离B地20千米． 【小问3详解】 解：设x小时时，甲、乙两人相距， ①若是相遇前，则，解得． ②若是相遇后，则，解得． ③若是到达B地前，则，解得． ∴当或时，甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系． 【点睛】本题考查了函数图像，一次函数的解析式的运用，相遇问题的数量关系的运用，一元一次不等式组的运用，解答时认真分析函数图象，弄清函数图象的意义是解题的关键． 23. 已知，和都是等腰直角三角形，是的中点，连接． （1）如图1，点在同一条直线上，直接写出与的位置关系为_______； （2）将图1中的绕点逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点恰好在同一条直线上． ①在图2中，按要求补全图形，并证明； ②连接，交于点．判断线段与的数量关系，并证明． （3）将绕点逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中，的最大值为_______． 【答案】（1） （2）①证明：如图1， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图2， ，理由如下： 作于点G， ∴， 由①知：， ∵， ∴， ∴， ∵，点P是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得出结果； （2）①由，得出结论； ②作于点G，可证得，从而，进而证得，从而得出结论； （3）当时，的面积最大，进而求得结果． 【小问1详解】 解：∵，点P是的中点， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：， 当时，的面积最大，最大值为： ， 故答案为：． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点P为第四象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作轴于点L，交于点F，设线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交y轴于点D，点H是中点，连接，，E是y轴上一点，且点，点Q是抛物线上一点，连接，，求点Q坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由（1）所求抛物线解析式可求出，，再利用待定系数法可求出直线的解析式为，结合题意即得出； （3）取OA的中点K，连接，结合三角形中位线的性质可得出，，，．由，，可求出，，．再根据，代入数据即可求出，从而得出．结合题意又可求出，即得出．进而可证，得出，代入数据，即可求出t的值，进而得出，．由正切的定义得出，即证．从而可证．过点H作轴于M，过点Q作于点N，易证．由，可求出．设，则，，则由，即可求出a的值，即得出点Q坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线，过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：对于，令得：， ∴； 令得：， 解得：，， ∴． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为． ∵点P的横坐标为t，轴， ∴点F横坐标为t，代入直线BC，得：，即； 【小问3详解】 解：如图，取OA的中点K，连接， ∵点H为中点， ∴，，， ∴，即． ∵，， ∴，，． ∵，即， ∴， ∴． ∵P点横坐标t，轴， ∴L点横坐标为t， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴，． ∵，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 如图，过点H作轴于M，过点Q作于点N， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ∴，， ∴， 解得：，（舍）． ∴． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点坐标，三角形中位线的性质，解直角三角形，三角形全等的判定和性质等知识，为中考压轴题．在解（3）时正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届湖北黄冈 孝感 咸宁 （三市联考专用）中考高难综合选拔性全真模拟考试用试卷 数学试卷 本试卷共12页，21题．全卷满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列各数中，互为相反数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 已知1纳米是1毫米的一百万分之一，若某病毒的直径约为130纳米，用科学记数法表示“130纳米”正确的是（ ） A. 毫米 B. 毫米 C. 毫米 D. 毫米 3. 如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 4. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ） A. B. C. D. 5. 在四边形中，，，，，点从点出发，沿以的速度运动；点从点出发，沿以的速度运动，直到与相遇就停止运动．在运动过程中，四边形的面积的最大值为( ) A. B. C. D. 6. 如图，是的外角平分线，与的外接圆交于点D，连接交于点F，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将正方形纸片沿折叠，使点C的对称点E落在边上，点D的对称点为点F，为交于点G，连接交于点H，连接．下列四个结论中：①；②；③平分；④，正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 8. 如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 9. 要使得有意义，的取值应满足的条件是 ______ ． 10. 若的值为零，则a的值为___________． 11. 如图，在凸四边形ABCD中，，已知，，则的度数为________． 12. 已知：m、n是方程的两根，则_____． 13. 《九章算术》是我国古代一部综合性数学经典著作．全书包括246个数学问题，按问题的特点分为九章．其中的“方程术”中明确引进了“负数”．这部著作说明我国是世界上最早使用负数的国家．现有一组负数分别为，，，，，，，，则这组负数的中位数为______． 14. 在一次美术课堂的剪纸活动中，小刚把一张菱形的纸片沿着各边的中点，剪取四边形，纸片分别沿、折叠使得点落在，点落在处，且直线与直线重合，满足，若阴影部分的周长之和等于16，，求的值是___________． 15. 2002年的国际数学家大会在中国北京举行，这是21世纪全世界数学家的第一次大聚会．这次大会的会徽选定了我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，世人称之为“赵爽弦图”．如图，用四个全等的直角三角形（）拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接和，与、、分别相交于点P、O、Q，若，则的值是___________． 16. 如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点……依此类推，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 近期，广州、东莞、佛山等地新冠病毒疫情再次小范围爆发，目前仍然要高度重视各项防疫措施．某药店用1200元购进KN95口罩及普通医用口罩各1000个，每个KN95口罩比普通医用口罩的进价多0.4元，在销售过程中发现，KN95口罩每天的销量y1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：y1＝﹣10x+40，普通医用口罩每天的销量y2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系：y2＝﹣10z+66．药店按照单个普通医用口罩与单个KN95口罩利润相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价（利润率＝（销售单价-进价）÷进价）． （1）求两种口罩的进价； （2）市场监督管理局为了调控口罩市场价格，避免炒高口罩价格的现象出现，规定KN95口罩的利润率不得超过100%，同时KN95口罩的利润率在不低于50%时才能保证药店的合理收益，药店应该如何确定KN95口罩的销售单价范围呢？ （3）在（2）的条件下求这两种口罩每天销售总利润和的最大值． 19. 阅读对学生的成长有着深远的影响，某中学为了解学生每周课余阅读的时间，在本校随机抽取若干名学生进行调查，并依据调查结果绘制了如图所示的不完整的统计图表．请根据图表中的信息，解答下列问题： 组别 时间/小时） 频数（人数） 频率 A 6 B a C 10 D 8 b E 4 合计 1 （1）表中的 ， ，并将频数分布直方图补全； （2）估计该校2000名学生中，每周课余阅读时间不足小时的学生大约有多少名？ （3）E组的4人中，有1名男生和3名女生，该校计划在E组学生中随机选出2人向全校同学作读书心得报告，请用画树状图或列表法求抽取的2名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 20. 如图，为的直径，点，在上，且点是弧的中点．过点作的垂线交直线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数且交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连接、若；，点的坐标为 （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连接，若点是轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 22. 在一条笔直的公路上有A，B两地．甲骑自行车从A地到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y 与行驶时间x之间的函数图象．根据图象解答以下问题： （1）直接写出A，B两地之间的距离； （2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义； （3）若两人之间的距离不超过时，能够用无线对讲机保持联系，请求出甲、乙两人能够用无线对讲机保持联系时x的取值范围． 23. 已知，和都是等腰直角三角形，是的中点，连接． （1）如图1，点在同一条直线上，直接写出与的位置关系为_______； （2）将图1中的绕点逆时针旋转，当落在图2所示的位置时，点恰好在同一条直线上． ①在图2中，按要求补全图形，并证明； ②连接，交于点．判断线段与的数量关系，并证明． （3）将绕点逆时针旋转，连接．当时，在旋转过程中，的最大值为_______． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点P为第四象限抛物线上一点，设点P的横坐标为t，过点P作轴于点L，交于点F，设线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交y轴于点D，点H是中点，连接，，E是y轴上一点，且点，点Q是抛物线上一点，连接，，求点Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $