第二十五章 概率初步-【同步冲刺】2024-2025学年九年级全一册数学阶段测试适应性训练卷（人教版）

同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十五章!第 " 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十五章!第 $ 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十五章!第 % 页"共 # 页# !"!# 秋!同步冲刺!数学!九年级"全一册# 第二十五章!概率初步 !本试卷满分 "$& 分"考试用时 "$& 分钟# 一$选择题%本大题共 "& 小题&每小题 % 分&共 %& 分!在每小题给 出的四个选项中&只有一项是符合题目要求的! "!,小明经过有交通信号灯的路口$遇到绿灯-$这个事件是 "!!# '(随机事件 +(必然事件 -(不可能事件 .(确定事件 $!下列事件为必然事件的是 "!!# '(抛掷一枚硬币$正面向上 +(在一个装有 3 个红球的袋子中摸出一个白球 -(方程" $ )$"*& 有两个不相等的实数根 .(如果C$C*C%C$那么 $ *% %!一个不透明的袋子中装有 / 个小球$其中 2 个红球$$ 个黑球$ $ 个白球$" 个蓝球$这些小球除颜色外无其他差别$从袋子中随 机摸出一个小球$则摸出的小球可能性最大的是 "!!# '(红球 +(黑球 -(白球 .(蓝球 2!书架上有 $ 本数学书&" 本物理书$从中任取 " 本书是物理书的 概率为 "!!# '( " 2 +( " % -( " $ .( $ % 3!如图$一个小球在地板上滚动$并随机停在某块方砖上$如果每 一块方砖除颜色外完全相同$那么小球最终停留在黑方砖上的 概率是 "!!# '( " % +( $ % -( " 2 .( " $ 第 3 题图 !!!!! 第 1 题图 #!小明在做一道正确答案是 $ 的计算题时$由于运算符号", ,- , )-, 6-或, D-#被墨迹污染$看见的算式是,2+$-$则小明 还能做对的概率是 "!!# '( " $ +( " 2 -( " # .( " % 0!口袋中有 "& 个红球&1 个黄球和若干个白球$将它们充分摇匀后 从中摸出一球$小明通过多次摸球试验后$发现摸到白球的频率 稳定在 &!2 左右$则口袋中大约有白球 "!!# '("& 个 +("$ 个 -("1 个 .(%& 个 1!如图$一只松鼠先经过第一道门"*$+或 /#$再经过第二道门 "0或<#出去$则松鼠走出笼子的路线是,先经过 *门$再经过 <门-的概率是 "!!# '( " 2 +( " % -( " $ .( " # /!不透明的盒子中装有红色&黄色的小球共 $& 个$除颜色外无其他 差别$随机摸出一个小球$记录颜色后放回并摇匀$再随机摸出一 个!下图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次试验的结果! 下面有四个推断' !当摸球次数是 %&& 时$记录,摸到红球-的次数是 //$所以,摸 到红球-的概率是 &!%%* "随着试验次数的增加$,摸到红球-的频率总在 &!%3 附近摆动$ 显示出一定的稳定性$可以估计,摸到红球-的概率是 &!%3* #可以根据本次试验结果$计算出盒子中约有红球 0 个* $若再次开展上述摸球活动$则当摸球次数为 3&& 时$,摸到红 球-的频率一定是 &!2&! 其中所有合理推断的序号是 "!!# '( !" +( !"# -( "# .( "#$ "&!甲&乙&丙三人相互传球$第一次由甲将球传出$每次传球时$传 球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人!经过 2 次传球 后$球仍在甲手中的概率是 "!!# '( " 2 +( % 1 -( 3 "# .( " $ 二$填空题%本大题共 # 小题&每小题 % 分&共 "1 分! ""!事件,某人的体温是 "&& E-是!!!!"填,随机-,不可能- 或,必然-#事件! "$!居家上网课期间$小燕在学习之余与妈妈玩一次转盘游戏$选 项与所占比例如图所示$则她不看电视的可能性为!!!!! "%!有 3 张相同的卡片$卡片正面分别标有)$$C)$C$" )$# $ $)" )$# & $ " )$# )$ $将卡片背面朝上$从中随机抽取 " 张$则抽取的卡片 上的数是正数的概率是!!!!! "2!三张形状&大小&质地都相同的正方形卡片$正面分别印有,笋 粄-,溥饼-,鸭松羹-三个图案$将它们背面朝上$随机抽取一 张$记下卡片上的名称后放回$再随机抽取一张$则两次抽到的 卡片中至少有一张写有,笋粄-的概率为!!!!! "3!班主任邀请甲&乙&丙三位同学参加圆桌会 议!如图$班主任坐在 0座位$三位同学随机 坐在*$+$/三个座位$则甲&乙两位同学座 位相邻的概率是!!!!! "#!若从 "$$$%$2 中随机选取一个数$记为 )$再 从这四个数中随机选取一个数$记为($则关 于#的一元二次方程 )# $ ,2#,(*& 没有实数根的概率为 !!!!! 三$解答题"一#%本大题共 2 小题&第 "0$"1 题各 2 分&第 "/$$& 题 各 # 分&共 $& 分! "0!指出下列事件中$哪些是必然事件$哪些是不可能事件$哪些是 随机事件! ""#任意两个正数的和为零* "$#任意两个无理数的和为无理数* "%#菱形的对角线互相垂直平分* "2#两条直线被第三条直线所截$同位角相等! "1!为了解我国的数学文化$小明和小红从/九章算术0/孙子算经0 /海岛算经0"依次用'$+$-表示#三本书中随机抽取一本进行 阅读$小明先随机抽取一本$小红再从剩下的两本中随机抽取一 本!请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果$并求 抽取两本书中有/九章算术0的概率! "/!在一个不透明的袋子中$装有若干个大小和形状一样的小球$ 其中有 % 个红球$$ 个白球$) 个黑球$从袋子中任意摸出一个 球$已知摸到红球的概率是 " % $求袋子中黑球的个数 ) 及摸球 一次摸到白球的概率! 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十五章!第 2 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十五章!第 3 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十五章!第 # 页"共 # 页# $&!小颖和小红两位同学在做投掷骰子"质地均匀的正方体#试验$ 他们共做了 #& 次试验$试验的结果如下表' 朝上的点数 " $ % 2 3 # 出现的次数 0 / # 1 $& "& ""#计算出现,% 点朝上-的频率和,3 点朝上-的频率! "$#小颖说',根据试验得出$出现13 点朝上2的机会最大!-小 红说',如果投掷 #&& 次$那么出现1# 点朝上2的次数正好 是 "&& 次!-小颖和小红的说法正确吗. 为什么. 四$解答题"二#%本大题共 % 小题&第 $" 题 1 分&第 $$$$% 题各 "& 分&共 $1 分! $"!,石头&剪刀&布-是小朋友都熟悉的游戏$游戏时小聪&小明两人同 时做,石头&剪刀&布-三种手势中的一种$规定,石头-胜,剪刀-$ ,剪刀-胜,布-$,布-胜,石头-$同种手势不分胜负$继续比赛! ""#请用画树状图或列表的方法表示出同一回合中所有可能的 对阵情况* "$#假定小聪&小明两人每次都等可能地做这三种手势$那么同 一回合中两人,不谋而合-"即同种手势#的概率是多少. $$!在如图的方格地面上$标有编号*$+$/的三个小方格地面是空 地$另外六个小方格地面是草坪$除此以外小方格地面完全相同! ""#一只自由飞行的鸟$将随意地落在图中的方格地面上$问小 鸟落在草坪上的概率是多少. "$#若现从三个小方格空地中任意选取两个种植草坪$则刚好 选取*和 +这两个小方格空地种植草坪的概率是多少. "用画树状图法或列表法求解# $%!在学习/用频率估计概率0时$小明和他的伙伴们设计了一个摸 球试验'在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共 2 个$这 2 个 球除颜色外无其他差别!每次摸球前先将袋中的球搅匀$然后 从袋中随机摸出 " 个球$观察该球的颜色并记录$再把它放回! 在老师的帮助下$小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试 验!如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果! ""#根据所学的频率与概率的关系的知识$估计从这个不透明 的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是!!!!$其 中红球的个数是!!!!* "$#如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球$用画树状 图或列表法求摸出的两个球刚好是一红一白的概率! 五$解答题"三#%本大题共 $ 小题&每小题 "$ 分&共 $2 分! $2!如图$甲&乙两人在玩转盘游戏时$准备了两个可以自由转动的 转盘*$+$每个转盘被分成面积相等的几个扇形$并在每一个 扇形内标上数字!游戏规则'同时转动两个转盘$当转盘停止 后$指针所指区域的数字之和为 & 时$甲获胜*数字之和为" 时$ 乙获胜!如果指针恰好指在分割线上$那么重转一次$直到指针 指向某一区域为止! ""#用画树状图法或列表法求乙获胜的概率* "$#这个游戏规则对甲&乙双方公平吗. 请判断并说明理由! $3!随着科技的进步$购物支付方式日益增多$为了解某社区居民 支付的常用方式"'微信$+支付宝$-现金$.其他#$某学习小 组对该社区部分居民进行问卷调查$根据调查结果$绘制成如 下统计图! 根据统计图表中的信息$解答下列问题' ""#$ *!!!!$%*!!!!$在扇形统计图中-种支付方式 所对应的圆心角为!!!!度* "$#本次调查中用现金支付方式的居民里有 $ 名男性$其余都 是女性$现从该种支付方式中随机选 $ 名居民参加线上支 付方式培训$求恰好都是女性的概率! 如图，连接ＤＥ．∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＤ＝９０°． ∵在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＢＡＥ＝３０°，∴ＤＥ＝１２ＡＤ． 由勾股定理，得 ＤＥ２＋ＡＥ２＝ＡＤ２，即 １２( )ＡＤ ２ ＋ （槡２３） ２＝ＡＤ２．解得ＡＤ＝４（负值已舍去）． ∴⊙Ｏ的半径ｒ＝１２ＡＤ＝２． ２４．解：任务１：设圆心为点Ｏ，则点Ｏ在ＣＤ的延长线 上，延长ＣＤ，则ＣＤ经过点Ｏ，连接ＡＯ，如图１． 设桥拱的半径为ｒｍ，则ＯＤ＝（ｒ－４）ｍ． ∵ＯＣ⊥ＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ＝１２ＡＢ＝８（ｍ）． ∵ＯＤ２＋ＡＤ２＝ＯＡ２，∴（ｒ－４）２＋８２＝ｒ２．∴ｒ＝１０． ∴圆形拱桥的半径为１０ｍ． 任务２：货船不能通过圆形桥拱，至少要增加（９００－ 槡５００３）吨的货物才能通过．理由如下： 当ＥＨ是⊙Ｏ的弦时，ＥＨ与ＯＣ的交点为 Ｍ，连接 ＯＥ，ＯＨ，如图２． ∵四边形ＥＦＧＨ为矩形，∴ＥＨ∥ＦＧ． ∵ＯＣ⊥ＡＢ，∴ＯＭ⊥ＥＨ．∴ＥＭ＝１２ＥＨ＝５（ｍ）． ∴ＯＭ＝ ＯＥ２－ＥＭ槡 ２ 槡＝５３（ｍ）． ∵ＯＤ＝６ｍ，∴ＤＭ 槡＝５３－６＜３． ∴货船不能通过圆形桥拱． ∴船在水面部分可以下降的高度 ｙ＝３－（槡５３－ ６）＝（ 槡９－５３）ｍ． ∵ｙ＝１１００ｘ， ∴ｘ＝１００ｙ＝１００（ 槡９－５３）＝（ 槡９００－５００３）吨． ∴至少要增加（ 槡９００－５００３）吨的货物才能通过． ２５．（１）证明：∵点Ａ关于ＢＤ的对称点为点Ａ′， ∴Ａ′Ｅ＝ＡＥ，ＡＡ′⊥ＢＤ． ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＡ＝ＯＣ．∴ＯＥ∥ＣＡ′． 又ＡＡ′⊥ＢＤ，∴ＡＡ′⊥ＣＡ′． （２）①证明：如图１，设⊙Ｏ与ＣＤ相切于点Ｆ，连接 ＯＦ，并延长ＦＯ交ＡＢ于点Ｇ．∴ＯＦ⊥ＣＤ，ＯＦ＝ＯＥ． ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＯＤ＝ＯＢ＝１２ＢＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ． ∴ＯＧ⊥ＡＢ，∠ＦＤＯ＝∠ＧＢＯ，ＯＡ＝ＯＢ．∴∠ＧＡＯ＝∠ＧＢＯ． 又∠ＤＯＦ＝∠ＢＯＧ，∴△ＤＯＦ≌△ＢＯＧ（ＡＳＡ）． ∴ＯＧ＝ＯＦ．∴ＯＧ＝ＯＥ． 由（１），知ＡＡ′⊥ＢＤ．又ＯＧ⊥ＡＢ，∴∠ＥＡＯ＝∠ＧＡＯ． ∵∠ＥＡＢ＋∠ＧＢＯ＝９０°， ∴∠ＥＡＯ＋∠ＧＡＯ＋∠ＧＢＯ＝９０°． ∴３∠ＥＡＯ＝９０°．∴∠ＥＡＯ＝３０°． 由（１），知ＡＡ′⊥ＣＡ′．∴ＡＣ＝２ＣＡ′． ∴ＡＡ′＝ ＡＣ２－ＣＡ′槡 ２＝ （２ＣＡ′）－ＣＡ′槡 ２ 槡＝３ＣＡ′． ②解：如图２，设⊙Ｏ与ＣＡ′相切于点Ｈ，连接ＯＨ． ∴ＯＨ⊥ＣＡ′．由（１），知Ａ′Ｅ＝ＡＥ，ＯＡ＝ＯＣ． ∴ＯＥ是△ＡＡ′Ｃ的中位线．∴ＯＥ＝１２ＣＡ′． ∵ＡＡ′⊥ＢＤ，ＡＡ′⊥ＣＡ′，ＯＨ⊥ＣＡ′， ∴四边形ＯＥＡ′Ｈ是矩形．∴Ａ′Ｈ＝ＯＥ＝１２ＣＡ′． ∴Ａ′Ｈ＝ＣＨ． 又ＯＡ＝ＯＣ，∴ＯＨ是△ＣＡ′Ａ的中位线．∴ＯＨ＝１２ＡＡ′． ∵ＯＥ＝ＯＨ，∴ＡＡ′＝ＣＡ′．∴∠Ａ′ＡＣ＝∠Ａ′ＣＡ＝４５°． ∴∠ＡＯＥ＝∠Ａ′ＣＡ＝４５°．∴ＡＥ＝ＯＥ． 设ＡＥ＝ＯＥ＝ｘ，则ＯＤ＝ＯＡ＝ ｘ２＋ｘ槡 ２ 槡＝２ｘ． ∴ＤＥ＝ＯＤ－ＯＥ＝（槡２－１）ｘ． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＥ２＋ＤＥ２＝ＡＤ２，即 ｘ２＋［（槡２－ １）ｘ］２＝１． ∴ｘ２＝ 槡２＋２４ ，即ＯＥ ２＝ 槡２＋２４ ． ∴Ｓ⊙Ｏ＝π·ＯＥ ２＝ 槡２＋２４ π． 第二十五章　概率初步 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ａ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ａ　７．Ｂ　８．Ｄ　 ９．Ｃ　１０．Ｂ　１１．不可能　１２．８５％　１３．３５　１４． ５ ９ １５．２３　１６． １ ２ １７．解：（３）是必然事件，（１）是不可能事件，（２）（４）是 随机事件． １８．解：根据题意，画树状图如图． 由图可知，共有６种等可能的结果，其中抽取两本 书中有《九章算术》的结果有４种． ∴抽取两本书中有《九章算术》的概率为４６＝ ２ ３． １９．解：由题意，得 ３３＋２＋ｎ＝ １ ３．解得ｎ＝４． 经检验，ｎ＝４是原方程的解，且符合题意． ∴ｎ为４． ∴摸球一次摸到白球的概率为 ２３＋２＋４＝ ２ ９． ２０．解：（１）出现“３点朝上”的频率是６６０＝ １ １０． 出现“５点朝上”的频率是２０６０＝ １ ３． （２）两人的说法都是错误的．因为一个随机事件发 生的概率是由这个随机事件本身决定的，并客观 存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件本 身的属性即概率决定．因此，判断事件发生的可能 性大小不能由此次试验中的频率决定                                                                          ． —７８— ２１．解：（１）根据题意，画树状图如图． （２）由（１）可知，共有９种等可能的结果，其中一 次比赛时两人做同种手势的结果有３种．∴同一 回合中两人“不谋而合”（即同种手势）的概率是 ３ ９＝ １ ３． ２２．解：（１）小鸟落在草坪上的概率是６９＝ ２ ３． （２）根据题意，画树状图如图． 由图可知，共有６种等可能的结果，其中刚好选取 Ａ和Ｂ这两个小方格空地种植草坪的结果有２种． ∴刚好选取Ａ和Ｂ这两个小方格空地种植草坪的 概率是 ２ ６＝ １ ３． ２３．（１）０７５　３　提示：从这个不透明的帆布袋中随机 摸出一个球是红球的概率是０７５，４×０７５＝３（个）． （２）由（１）可知，帆布袋中有３个红球和１个白球． 列表如下． 白 红１ 红２ 红３ 白 （红１，白） （红２，白） （红３，白） 红１ （白，红１） （红２，红１）（红３，红１） 红２ （白，红２） （红１，红２） （红３，红２） 红３ （白，红３） （红１，红３）（红２，红３） 由表可知，共有１２种等可能的结果，其中摸出的 两个球刚好是一红一白的结果有６种．∴摸出的 两个球刚好是一红一白的概率是 ６ １２＝ １ ２． ２４．（１）根据题意，列表如下． 　　Ａ盘 Ｂ盘　　 １ ２ ３ ４ －１ ０ １ ２ ３ －２ －１ ０ １ ２ －３ －２ －１ ０ １ 由表可知，共有 １２种等可能的结果，其中和为 １的结果有３种．∴Ｐ（乙获胜）＝３１２＝ １ ４． （２）这个游戏规则对甲、乙双方公平．理由如下： 由（１）易知，Ｐ（甲获胜）＝３１２＝ １ ４． ∵Ｐ（乙获胜）＝１４，∴Ｐ（甲获胜）＝Ｐ（乙获胜）． ∴游戏公平． ２５．解：（１）２０　１８　３６　提示：本次调查的总人数为７÷ １４％＝５０，ａ＝５０×４０％＝２０，ｂ＝５０－５－７－２０＝１８．在 扇形统计图中 Ｃ种支付方式所对应的圆心角为 ３６０°×５５０＝３６°． （２）由题意可知用现金支付方式共有５人． 设男性为ａ１，ａ２，女性为ｂ１，ｂ２，ｂ３，列表如下． ａ１ ａ２ ｂ１ ｂ２ ｂ３ ａ１ （ａ２，ａ１）（ｂ１，ａ１）（ｂ２，ａ１）（ｂ３，ａ１） ａ２ （ａ１，ａ２） （ｂ１，ａ２）（ｂ２，ａ２）（ｂ３，ａ２） ｂ１ （ａ１，ｂ１）（ａ２，ｂ１） （ｂ２，ｂ１）（ｂ３，ｂ１） ｂ２ （ａ１，ｂ２）（ａ２，ｂ２）（ｂ１，ｂ２） （ｂ３，ｂ２） ｂ３ （ａ１，ｂ３）（ａ２，ｂ３）（ｂ１，ｂ３）（ｂ２，ｂ３） 由表可知，共有２０种等可能的结果，其中恰好都 是女性的结果有６种．∴恰好都是女性的概率为 ６ ２０＝ ３ １０． 期中训练卷 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ｃ　４．Ｄ　５．Ｂ　６．Ｃ　７．Ｂ　８．Ｄ ９．Ａ　１０．Ｂ　１１．－１　１２．１３　１３．６　１４．５１ １５．１３π 槡＋２３　【解析】如图，连接 ＯＥ，ＡＥ．∵点 Ｃ为 ＯＡ的中点， ∴∠ＣＥＯ ＝３０°，∠ＥＯＣ ＝６０°． ∴ＣＥ＝ ＯＥ２－ＯＣ槡 ２＝ ４２－２槡 ２＝ 槡２３，△ＡＥＯ为等边三角形．∴Ｓ扇形ＯＡＥ＝ ６０×π×４２ ３６０ ＝ ８π ３．∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＯＡＢ－Ｓ扇形ＯＣＤ－（Ｓ扇形ＯＡＥ－Ｓ△ＣＯＥ）＝ ９０×π×４２ ３６０ － ９０×π×２２ ３６０ － ８π ３－ １ ２ 槡( )×２×２３ ＝ １ ３π 槡＋２３． １６．３２　【解析】如图，取 ＡＣ的中点 Ｇ，连接 ＥＧ．∵旋转角为 ６０°， ∴∠ＥＣＤ ＋ ∠ＤＣＦ ＝６０°．又 ∵∠ＥＣＤ＋∠ＧＣＥ＝∠ＡＣＢ ＝ ６０°，∴∠ＤＣＦ＝∠ＧＣＥ．∵ＡＤ是等边三角形 ＡＢＣ 的对称轴，∴ＣＤ＝１２ＢＣ．∴ＣＤ＝ＣＧ．又∵ＣＥ旋转 得到 ＣＦ，∴ＣＦ＝ＣＥ．在△ＤＣＦ和△ＧＣＥ中， ＣＦ＝ＣＥ， ∠ＤＣＦ＝∠ＧＣＥ， ＣＤ＝ＣＧ{ ， ∴△ＤＣＦ≌△ＧＣＥ（ＳＡＳ）．∴ＤＦ＝ ＥＧ．根据垂线段最短，得当 ＥＧ⊥ＡＤ时，ＥＧ最短， 即ＤＦ最短．∵∠ＣＡＤ＝１２×６０°＝３０°，ＡＧ＝ １ ２ＡＣ＝ １ ２×６＝３，∴ＥＧ＝ １ ２ＡＧ＝ １ ２×３＝ ３ ２．∴ＤＦ＝ ３ ２． １７．解：移项，得ｘ２－２ｘ＝５． 配方，得ｘ２－２ｘ＋１＝５＋１，即（ｘ－１）２＝６． 开平方，得ｘ 槡－１＝±６，即ｘ 槡＝１±６． ∴ｘ１ 槡＝１＋６，ｘ２ 槡＝１－６． １８．解：连接ＯＣ，如图所示． ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＣＤ⊥ＡＢ， ∴ＣＥ＝ＤＥ＝１２ＣＤ，ＯＣ＝ＯＢ＝ １ ２ＡＢ＝１３． ∴ＯＥ＝ＯＢ－ＥＢ＝１３－８＝５． 在Ｒｔ△ＯＣＥ中，由勾股定理，得 ＣＥ＝ ＯＣ２－ＯＥ槡 ２＝１２． ∴ＣＤ＝２ＣＥ＝２４                                                                          ． —８８—