第二十四章 圆-【同步冲刺】2024-2025学年九年级全一册数学阶段测试适应性训练卷（人教版）

同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十四章!第 " 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十四章!第 $ 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十四章!第 % 页"共 # 页# !"!# 秋!同步冲刺!数学!九年级"全一册# 第二十四章!圆 !本试卷满分 "$& 分"考试用时 "$& 分钟# 一$选择题%本大题共 "& 小题&每小题 % 分&共 %& 分!在每小题给 出的四个选项中&只有一项是符合题目要求的! "!如果*6的半径为 # 78$61*0 78$那么点1与*6的位置关系 是 "!!# '(点1在*6外 +(点1在*6上 -(点1在*6内 .(不能确定 $!如图$*+是*6的直径$点/为半圆 ) */+的中点$则'*6/*"!!# '("1&? +(/&? -(23? .(%&? 第 $ 题图 !! 第 % 题图 !! 第 3 题图 %!如图$*+是*6的直径$弦/0&*+于点<$若+<*3$*<*"$则 弦/0的长是 "!!# 槡 槡'(3 +(# -(3 .($ 3 2!下列语句'!直径是弦*"优弧一定大于劣弧*#长度相等的弧 是等弧*$半圆是弧!其中不正确的有 "!!# '(" 个 +($ 个 -(% 个 .(2 个 3!如图$点*$+$/都在*6上$若'*/+*%#7$则'6*+*"!!# '(0$? +(32? -(%#? .("1? #!如图$+/是*6的直径$点1为/+延长线上的一点$过点 1作 * 6的切线1*$点*为切点$1**2$1+*$$则*6的半径等于 "!!# '(" +($ -(% .(2 第 # 题图 ! 第 0 题图 ! 第 1 题图 0!如图$边长为 $ 的菱形*+/0绕点*旋转$当+$/两点恰好落在 扇形<*=的弧<=上时$弧+/的长度为 "!!# '( $ % % +( % % -( % 2 .( % # 1!如图$正六边形螺帽的边长是 2 78$那么这个正六边形半径B和 扳手的开口 $的值分别是 "!!# '($$ 槡$ % +(2$ 槡2 % -(2$ 槡$ % .(2$槡% /!如图$*C为%*+/的内切圆$点 0$<分别为边 *+$*/上的点$ 且0<为*C的切线$若%*+/的周长为 $"$+/边的长为 #$则 % *0<的周长为 "!!# '("3 +(/ -(0B3 .(0 第 / 题图 !!!! 第 "& 题图 "&!如图$在圆形纸板上裁剪两个扇面!具体操作如下'作*6的任意 一条直径=/$以点=为圆心&6=长为半径作圆$与*6相交于点 <$**以点/为圆心&6/长为半径作圆$与*6相交于点0$+*连 接<=$=*$+/$/0$得到两个扇形$并裁剪下来!若*6的半径为 "& 78$则剩余纸板"图中阴影部分图形#的面积为 "!!# '( $&& % % 78 $ +( "&& % % 78 $ -( 3& % % 78 $ .( $& % % 78 $ 二$填空题%本大题共 # 小题&每小题 % 分&共 "1 分! ""!如图$正五边形 *+/0<内接于*6$连接 6/$60$则'/60* !!!!度! 第 "" 题图 !! 第 "$ 题图 !! 第 "% 题图 "$!如图$在平面直角坐标系"6#中$点 *的坐标为"&$0#$点 +的 坐标为"&$%#$点/的坐标为"%$&#$那么%*+/的外接圆的圆 心坐标为!!!!! "%!如图$*+是*6的直径$点/$0是*6上的两点$'+*/*2&7$ 则'0的度数为!!!!! "2!如图$用圆心角为 "$&7$半径为 # 的扇形围成一个圆锥的侧面 "接缝忽略不计#$则这个圆锥的高是!!!!! 第 "2 题图 !! 第 "3 题图 "3!如图$在扇形 *6+中$'*6+*#&7$60平分'*6+交 ) *+于点 0$点/是半径 6+上一动点$若 6**"$则阴影部分周长的最 小值为!!! !!!! "#!如图$在 @A%*+/中$'*/+*/&7$ +/*1$*/*"$$点 0是边 +/上的 一动点$连接*0$过点/作/<&*0 于点<$连接 +<$则 +<的最小值为 !!!!! 三$解答题"一#%本大题共 2 小题&第 "0$"1 题各 2 分&第 "/$$& 题 各 # 分&共 $& 分! "0!如图$在*6中$ ) *+* ) */$ ' +6/*"$&7!求证'%*+/是等边三 角形! "1!如图$*+为*6的直径$点 /$0在*6上$且 +/*# 78$*/* 1 78$ ' *+0*237$求+0的长! "/!如图$*+为*6的直径$半径60&*+于点6$*6的弦/0与*+ 相交于点=$*6的切线/<交*+的延长线于点<!求证'</*<=! $&!如图$在%*+/中$以*+为直径的*6分别交 +/$*/于点 0$ <$连接0<!若+0*0<$求证'0<*/0! 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十四章!第 2 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十四章!第 3 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十四章!第 # 页"共 # 页# 四$解答题"二#%本大题共 % 小题&第 $" 题 1 分&第 $$$$% 题各 "& 分&共 $1 分! $"!在古代$智慧的劳动人民已经会使用,石磨-$其原理为在磨盘 的边缘连接一个固定长度的,杠杆-$推动,杠杆-带动磨盘转 动$将粮食磨碎!如图$*+为*6的直径$*/是*6的一条弦$ 点0为弧+/的中点$作0<&*/于点<$交 *+的延长线于点 =$连接0*! ""#若*+*/& 78$则圆心6到,杠杆<=-的距离是多少. 说明 你的理由! "$#若0**0= 槡*# % $求阴影部分的面积!"结果保留%# $$!如图$*6是%*+/的外接圆$'*+/*237! ""#请用尺规作出*6的切线*0*"保留作图痕迹$不写作法# "$#在""#的条件下$若 *+与切线 *0所夹的锐角为 037$*6 的半径为 $$求+/的长! $%!如图$在@A%*+/中$'/*/&7$点0在线段*+上$以*0为直径 的*6与+/相交于点<$与*/相交于点=$'+*'+*<*%&7! ""#求证'+/是*6的切线* "$#若*/*%$求*6的半径D! 五$解答题"三#%本大题共 $ 小题&每小题 "$ 分&共 $2 分! $2!综合与实践 设计货船通过圆形拱桥的方案 素材 " 图 " 中有一座圆拱石桥$图 $ 是 其圆形桥拱的示意图$测得水面 宽*+*"# 8$拱顶离水面的距离 /0*2 8 素材 $ 如图 %$一艘货船露出水面部分的 横截面为矩形 <=>?$测得 <=* % 8$<?*"& 8!因水深足够$货 船可以根据需要运载货物!据调 查$船身下降的高度 #"米#与货 船增加的载重量""吨#满足函数 关系式#* " "&& " 问题解决 任务 " 确定桥拱半径 求圆形桥拱的半径 任务 $ 拟定设计方案 根据图 % 状态$货船能否 通过圆形拱桥. 若能$最 多还能卸载多少吨货物. 若不能$至少要增加多少 吨货物才能通过. $3!综合探究 如图 "$在矩形 *+/0中"*+5*0#$对角线 */$+0相交于点 6$点*关于 +0的对称点为点 *@$连接 **@交 +0于点 <$连 接/*@! ""#求证'**@&/*@! "$#以点6为圆心$6<长为半径作圆! !如图 $$*6与/0相切$求证'**@槡*%/*@* "如图 %$*6与/*@相切$*0*"$求*6的面积! （２）解：由（１）知ＣＥ＝ＡＤ． ∴ＣＥ＋ＣＤ＝ＡＤ＋ＣＤ＝ＡＣ． ∵△ＡＢＣ是等边三角形，∴ＡＣ＝ＢＣ＝１０． ∵ＢＤ＝ＢＥ，∠ＤＢＥ＝６０°， ∴△ＤＢＥ是等边三角形． ∴ＤＥ＝ＢＤ＝８．∴ＤＥ＋ＣＥ＋ＣＤ＝８＋１０＝１８． ∴△ＤＣＥ的周长是１８． ２４．（１）（１，３） （２）①证明：由旋转得ＡＤ＝ＡＯ，∠ＡＤＥ＝∠ＡＯＢ＝９０°． ∴∠ＡＤＢ＝１８０°－∠ＡＤＥ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＤＢ和Ｒｔ△ＡＯＢ中，ＡＢ＝ＡＢ，ＡＤ＝ＡＯ{ ， ∴Ｒｔ△ＡＤＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（ＨＬ）． ②解：∵△ＡＤＢ≌△ＡＯＢ，∴ＢＤ＝ＯＢ＝ＡＣ． 在△ＢＤＨ和△ＡＣＨ中， ∠ＢＨＤ＝∠ＡＨＣ， ∠ＢＤＨ＝∠Ｃ， ＢＤ＝ＡＣ{ ， ∴△ＢＤＨ≌△ＡＣＨ（ＡＡＳ）．∴ＢＨ＝ＡＨ． 设ＢＨ＝ＡＨ＝ｘ，则ＣＨ＝５－ｘ． 在Ｒｔ△ＡＣＨ中，根据勾股定理，得 ＣＨ２＋ＡＣ２＝ ＡＨ２，即（５－ｘ）２＋３２＝ｘ２． 解得ｘ＝１７５，即ＢＨ＝ １７ ５．∴Ｈ １７ ５，( )３． （３）解：存在．Ｎ点的坐标为（６，３）或（－４，３）或（１， －３）或 ３３８，( )３．　提示：∵使以Ａ，Ｄ，Ｍ，Ｎ为顶点的 四边形是菱形，∴使以 Ａ，Ｄ，Ｍ为顶点的三角形是 等腰三角形．设Ｍ（ｍ，０），Ｎ（ａ，ｂ）． ∵Ａ（５，０），Ｄ（１，３），ＡＤ＝５， ∴ＡＤ２＝２５，ＡＭ２＝（５－ｍ）２＋（０－０）２＝２５－１０ｍ＋ ｍ２，ＤＭ２＝（１－ｍ）２＋（３－０）２＝１０－２ｍ＋ｍ２． ①当ＡＤ＝ＡＭ时，ＡＭ＝５．∴Ｍ点坐标为（１０，０）或（０，０）． ∴ ５＋ａ ２ ＝ １＋１０ ２ ， ０＋ｂ ２ ＝ ３＋０{ ２ 或 ５＋ａ ２ ＝ １＋０ ２ ， ０＋ｂ ２ ＝ ３＋０ ２ { ．解得 ａ＝６，ｂ{ ＝３或 ａ＝－４， ｂ＝３{ ． ∴Ｎ点的坐标为（６，３）或（－４，３）． ②当 ＡＤ＝ＤＭ时，ＡＤ２＝ＤＭ２，∴２５＝１０－２ｍ＋ ｍ２．解得ｍ１＝－３，ｍ２＝５（舍去）．∴Ｍ（－３，０）． ∴ ５＋（－３） ２ ＝ １＋ａ ２ ， ０＋０ ２ ＝ ３＋ｂ ２ { ． 解得 ａ＝１，ｂ＝－３{ ．∴Ｎ（１，－３）． ③当ＡＭ＝ＤＭ时，ＡＭ２＝ＤＭ２，∴２５－１０ｍ＋ｍ２＝ １０－２ｍ＋ｍ２．解得ｍ＝１５８．∴Ｍ １５ ８，( )０． ∴ ５＋１ ２ ＝ １５ ８＋ａ ２ ， ０＋３ ２ ＝ ０＋ｂ ２      ． 解得 ａ＝３３８， ｂ＝３{ ．∴Ｎ３３８，( )３． 综上，Ｎ点的坐标为（６，３）或（－４，３）或（１，－３） 或 ３３ ８，( )３． ２５．（１）证明：∵∠ＡＣＢ＝９０°，∠ＢＣＤ＝α＝３０°， ∴∠ＡＣＤ＝１２０°． ∵ＣＡ＝ＣＢ＝ＣＤ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＣＤＡ＝３０°． ∵Ｈ是ＡＤ的中点，∴ＣＨ垂直平分ＡＤ． ∴ＥＡ＝ＥＤ．∴∠ＥＡＤ＝∠ＥＤＡ． 在△ＢＣＤ中，ＣＢ＝ＣＤ，∠ＢＣＤ＝３０°， ∴∠ＣＤＢ＝∠ＣＢＤ＝７５°． ∴∠ＥＤＡ＝∠ＣＤＢ－∠ＣＤＡ＝７５°－３０°＝４５°＝∠ＥＡＤ． ∴∠ＡＥＤ＝１８０°－∠ＥＤＡ－∠ＥＡＤ＝９０°． ∴△ＡＥＤ是等腰直角三角形． （２）解：①ＥＡ＋ＥＢ 槡＝２ＥＣ．理由如下： 如图１，过点Ｃ作ＣＦ⊥ＣＥ，交直线ＢＤ于点Ｆ． ∴∠ＥＣＦ＝∠ＡＣＢ＝９０°． ∴∠ＥＣＦ－∠ＥＣＢ＝ ∠ＡＣＢ－∠ＥＣＢ， 即∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＥ． 同理（１）可得∠ＡＥＢ＝９０°． 在四边形 ＡＣＢＥ中， ∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ＝９０°． ∴∠ＥＡＣ＋∠ＥＢＣ＝３６０°－∠ＡＥＢ－∠ＡＣＢ＝１８０°． ∵∠ＦＢＣ＋∠ＥＢＣ＝１８０°，∴∠ＦＢＣ＝∠ＥＡＣ． 在△ＦＢＣ和△ＥＡＣ中， ∠ＦＢＣ＝∠ＥＡＣ， ＢＣ＝ＡＣ， ∠ＢＣＦ＝∠ＡＣＥ{ ， ∴△ＦＢＣ≌△ＥＡＣ（ＡＳＡ）．∴ＦＢ＝ＥＡ，ＦＣ＝ＥＣ． ∴△ＥＣＦ是等腰直角三角形． ∴ＥＦ＝ ＥＣ２＋ＣＦ槡 ２ 槡＝２ＥＣ． ∵ＥＦ＝ＥＢ＋ＦＢ＝ＥＢ＋ＥＡ，∴ＥＢ＋ＥＡ 槡＝２ＥＣ． ②ＥＡ－ＥＢ 槡＝２ＥＣ． 提示：如图２，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ ＣＥ，交 ＢＤ于点 Ｆ．同理①，得 △ＥＣＦ是等腰直角三角形，ＥＦ＝ 槡２ＥＣ，∠ＣＥＦ＝∠ＣＦＥ＝４５°． ∴∠ＣＥＢ＝∠ＣＦＤ＝１３５°． ∵ＣＢ＝ＣＤ，∴∠ＣＢＥ＝∠ＣＤＦ． ∴△ＣＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． ∴ＥＢ＝ＤＦ．同理（１），得ＥＡ＝ＥＤ． ∴ＥＡ－ＥＢ＝ＥＤ－ＤＦ＝ＥＦ 槡＝２ＥＣ． （３）解：当０°＜α＜９０°时，ＥＢ＋ＥＡ 槡＝２ＥＣ，如图３． 在Ｒｔ△ＡＣＢ中，ＡＣ＝ＢＣ 槡＝５， ∴ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ 槡＝ １０． 在Ｒｔ△ＡＥＢ中，ＡＥ＝３， ＡＢ 槡＝ １０， ∴ＥＢ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２＝１． 槡∴ ２ＥＣ＝ＥＢ＋ＥＡ＝１＋３＝ ４．∴ＥＣ 槡＝２２． 当９０°＜α＜１８０°时，ＥＡ－ＥＢ＝ 槡２ＥＣ，如图４． 同理可得ＥＢ＝１． 槡∴ ２ＥＣ＝ＥＡ－ＥＢ＝３－１＝２． ∴ＥＣ 槡＝２． 综上所述，在线段 ＤＣ的旋转 过程中，ＥＣ的长为 槡２２或槡２． 第二十四章　圆 １．Ａ　２．Ｂ　３．Ｄ　４．Ｂ　５．Ｂ　６．Ｃ　７．Ａ　８．Ｂ　 ９．Ｂ １０．Ｂ　【解析】如图，连接 ＯＡ，ＯＢ， ＯＤ，ＯＥ．由题意可知，ＯＥ＝ＯＦ＝ ＥＦ．∴△ＥＦＯ是等边三角形．同 理可得△ＡＦＯ，△ＤＣＯ，△ＢＣＯ是 等边三角形．∴∠ＡＦＥ＝∠ＡＦＯ＋ ∠ＥＦＯ＝６０°＋６０°＝１２０°，∠ＢＣＤ＝ ∠ＢＣＯ＋∠ＤＣＯ＝６０°＋６０°＝１２０°．∴阴影部分的 面积为π×１０２－１２０π×１０ ２ ３６０ ×２＝ １００π ３ （ｃｍ ２）                                                                          ． —５８— １１．７２　１２．（５，５）　１３．１３０°　１４．槡４２ １５．槡２＋ π ６　【解析】如图，作 Ｄ点 关于直线 ＯＢ的对称点 Ｅ，连接 ＡＥ，与ＯＢ的交点为Ｃ点，此时阴 影部分周长最小．在扇形ＡＯＢ中， ∠ＡＯＢ＝６０°，ＯＤ平分∠ＡＯＢ交 ) ＡＢ 于点Ｄ，∴∠ＡＯＤ＝∠ＢＯＤ＝３０°． 由轴对称的性质，得∠ＥＯＢ＝∠ＢＯＤ＝３０°，ＯＥ＝ ＯＤ．∴∠ＡＯＥ＝９０°．∴△ＡＯＥ是等腰直角三角形． ∵ＯＡ＝１，∴ＡＥ 槡＝２， ) ＡＤ的长为３０π×１１８０ ＝ π ６．∴阴影 部分周长的最小值为槡２＋ π ６． １６．４　【解析】如图，∵ＣＥ⊥ＡＤ， ∴∠ＡＥＣ＝９０°．∴点 Ｅ在以 ＡＣ为直径的圆上．取ＡＣ的中 点Ｏ，以 ＡＣ为直径作⊙Ｏ，当 点Ｏ，Ｅ，Ｂ三点共线时，ＢＥ的长 最小．∵∠ＡＣＢ＝９０°，ＢＣ＝８，ＡＣ＝１２，∴ＯＣ＝１２ＡＣ ＝６．在Ｒｔ△ＯＣＢ中，ＯＣ＝ＯＥ＝６，ＢＣ＝８，∴ＯＢ＝ ＯＣ２＋ＢＣ槡 ２＝ ６２＋８槡 ２ ＝１０．∴ＢＥ＝ＯＢ－ＯＥ＝１０ －６＝４．∴ＢＥ的最小值为４． １７．证明：∵ ) ＡＢ＝ ) ＡＣ，∴ＡＢ＝ＡＣ． ∵∠ＢＯＣ＝１２０°，∴∠ＢＡＣ＝６０°． ∴△ＡＢＣ是等边三角形． １８．解：如图，连接ＯＤ．∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＣＢ＝９０°． ∵ＢＣ＝６ｃｍ，ＡＣ＝８ｃｍ， ∴ＡＢ＝ ＢＣ２＋ＡＣ槡 ２＝１０（ｃｍ）．∴ＯＢ＝５ｃｍ． ∵ＯＤ＝ＯＢ，∠ＡＢＤ＝４５°， ∴∠ＯＤＢ＝∠ＯＢＤ＝４５°．∴∠ＢＯＤ＝９０°． ∴由勾股定理，得ＢＤ＝ ＯＢ２＋ＯＤ槡 ２ 槡＝５２（ｃｍ）． 第１８题图 　　 第１９题图 １９．证明：如图，连接ＯＣ．∵ＣＥ与⊙Ｏ相切于点Ｃ， ∴ＯＣ⊥ＣＥ．∴∠ＯＣＥ＝９０°．∴∠１＋∠２＝９０°． ∵ＯＤ⊥ＡＢ，∴∠ＤＯＦ＝９０°．∴∠Ｄ＋∠４＝９０°． ∵ＯＣ＝ＯＤ，∴∠１＝∠Ｄ． ∵∠４＝∠３，∴∠Ｄ＋∠３＝９０°． ∴∠２＝∠３．∴ＥＣ＝ＥＦ． ２０．证明：如图，连接ＡＤ． ∵ＡＢ为⊙Ｏ的直径， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝９０°． ∵ＢＤ＝ＤＥ，∴ ) ＢＤ＝ ) ＤＥ． ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． ∵ＡＤ＝ＡＤ， ∴△ＡＤＢ≌△ＡＤＣ（ＡＳＡ）．∴ＢＤ＝ＣＤ． ∵ＢＤ＝ＤＥ，∴ＤＥ＝ＣＤ． ２１．解：（１）４５ｃｍ．　理由如下：如图，连接ＯＤ． ∵点Ｄ为弧 ＢＣ的中点， ∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ． ∵ＯＡ＝ＯＤ， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＯ． ∴∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＯ． ∴ＡＣ∥ＯＤ． ∵ＡＣ⊥ＥＦ，∴ＯＤ⊥ＥＦ． ∴ＯＤ的长是圆心Ｏ到“杠杆ＥＦ”的距离． ∵ＡＢ＝９０ｃｍ，∴ＯＤ＝ＯＡ＝４５ｃｍ． ∴圆心Ｏ到“杠杆ＥＦ”的距离是４５ｃｍ． （２）∵ＤＡ＝ＤＦ，∴∠Ｆ＝∠ＢＡＤ． 由（１），得∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ．∴∠Ｆ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ． ∵∠Ｆ＋∠ＢＡＤ＋∠ＣＡＤ＝９０°， ∴∠Ｆ＝∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝３０°． ∴∠ＢＯＤ＝２∠ＢＡＤ＝６０°，ＯＦ＝２ＯＤ． ∵ＤＦ 槡＝６３，∴ＯＦ ２－ＯＤ２＝ＤＦ２，即（２ＯＤ）２－ＯＤ２＝ （槡６３） ２．解得ＯＤ＝６． 如图，过点Ｏ作ＡＤ的垂线，垂足为点Ｇ． 在Ｒｔ△ＡＯＧ中，ＯＡ＝６，∠ＯＡＧ＝３０°， ∴ＯＧ＝１２×６＝３． ∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＯＢＤ＋Ｓ△ＡＯＤ＝ ６０π×６２ ３６０ ＋ １ ２ 槡×６３× ３＝６π 槡＋９３． ２２．解：（１）如图，切线ＡＤ即为所求． （２）如图，连接 ＯＢ，ＯＣ，过点 Ｏ 作ＯＨ⊥ＢＣ于点Ｈ． ∵ＡＤ是⊙Ｏ的切线， ∴ＯＡ⊥ＡＤ．∴∠ＯＡＤ＝９０°． ∵∠ＤＡＢ＝７５°， ∴∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＤ－∠ＤＡＢ＝１５°． ∵ＯＡ＝ＯＢ，∴∠ＯＢＡ＝∠ＯＡＢ＝１５°． ∴∠ＡＯＢ＝１８０°－∠ＯＡＢ－∠ＯＢＡ＝１５０°． ∴∠ＢＣＡ＝１２∠ＡＯＢ＝７５°． ∵∠ＡＢＣ＝４５°，∴∠ＢＡＣ＝１８０°－∠ＢＣＡ－∠ＡＢＣ＝６０°． ∴∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ＝１２０°． ∵ＯＢ＝ＯＣ＝２， ∴∠ＢＣＯ＝∠ＣＢＯ＝１２（１８０°－∠ＢＯＣ）＝３０°． 又ＯＨ⊥ＢＣ，∴ＯＨ＝１２ＯＢ＝１． 由勾股定理，得ＢＨ＝ ２２－１槡 ２ 槡＝３． ∴ＣＨ＝ＢＨ 槡＝３．∴ＢＣ 槡＝２３． ２３．（１）证明：如图，连接ＯＥ． ∵ＯＡ＝ＯＥ，∴∠ＢＡＥ＝∠ＯＥＡ． ∵∠ＢＡＥ＝３０°，∴∠ＯＥＡ＝３０°． ∴∠ＢＯＥ＝∠ＢＡＥ＋∠ＯＥＡ＝６０°． 在△ＢＯＥ中，∠Ｂ＝３０°， ∴∠ＯＥＢ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＯＥ＝ ９０°．∴ＯＥ⊥ＢＣ． ∵点Ｅ在⊙Ｏ上，∴ＢＣ是⊙Ｏ的切线． （２）解：∵∠Ｂ＝∠ＢＡＥ＝３０°， ∴∠ＡＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ＝６０°． ∴在Ｒｔ△ＡＣＥ中，∠ＥＡＣ＝３０°． ∴ＥＣ＝１２ＡＥ．由勾股定理，得 ＥＣ ２＋ＡＣ２＝ＡＥ２，即 １ ２( )ＡＥ ２ ＋３２＝ＡＥ２．解得ＡＥ 槡＝２３（负值已舍去）                                                                          ． —６８— 如图，连接ＤＥ．∵ＡＤ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＥＤ＝９０°． ∵在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＢＡＥ＝３０°，∴ＤＥ＝１２ＡＤ． 由勾股定理，得 ＤＥ２＋ＡＥ２＝ＡＤ２，即 １２( )ＡＤ ２ ＋ （槡２３） ２＝ＡＤ２．解得ＡＤ＝４（负值已舍去）． ∴⊙Ｏ的半径ｒ＝１２ＡＤ＝２． ２４．解：任务１：设圆心为点Ｏ，则点Ｏ在ＣＤ的延长线 上，延长ＣＤ，则ＣＤ经过点Ｏ，连接ＡＯ，如图１． 设桥拱的半径为ｒｍ，则ＯＤ＝（ｒ－４）ｍ． ∵ＯＣ⊥ＡＢ，∴ＡＤ＝ＢＤ＝１２ＡＢ＝８（ｍ）． ∵ＯＤ２＋ＡＤ２＝ＯＡ２，∴（ｒ－４）２＋８２＝ｒ２．∴ｒ＝１０． ∴圆形拱桥的半径为１０ｍ． 任务２：货船不能通过圆形桥拱，至少要增加（９００－ 槡５００３）吨的货物才能通过．理由如下： 当ＥＨ是⊙Ｏ的弦时，ＥＨ与ＯＣ的交点为 Ｍ，连接 ＯＥ，ＯＨ，如图２． ∵四边形ＥＦＧＨ为矩形，∴ＥＨ∥ＦＧ． ∵ＯＣ⊥ＡＢ，∴ＯＭ⊥ＥＨ．∴ＥＭ＝１２ＥＨ＝５（ｍ）． ∴ＯＭ＝ ＯＥ２－ＥＭ槡 ２ 槡＝５３（ｍ）． ∵ＯＤ＝６ｍ，∴ＤＭ 槡＝５３－６＜３． ∴货船不能通过圆形桥拱． ∴船在水面部分可以下降的高度 ｙ＝３－（槡５３－ ６）＝（ 槡９－５３）ｍ． ∵ｙ＝１１００ｘ， ∴ｘ＝１００ｙ＝１００（ 槡９－５３）＝（ 槡９００－５００３）吨． ∴至少要增加（ 槡９００－５００３）吨的货物才能通过． ２５．（１）证明：∵点Ａ关于ＢＤ的对称点为点Ａ′， ∴Ａ′Ｅ＝ＡＥ，ＡＡ′⊥ＢＤ． ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＯＡ＝ＯＣ．∴ＯＥ∥ＣＡ′． 又ＡＡ′⊥ＢＤ，∴ＡＡ′⊥ＣＡ′． （２）①证明：如图１，设⊙Ｏ与ＣＤ相切于点Ｆ，连接 ＯＦ，并延长ＦＯ交ＡＢ于点Ｇ．∴ＯＦ⊥ＣＤ，ＯＦ＝ＯＥ． ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形， ∴ＯＤ＝ＯＢ＝１２ＢＤ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ． ∴ＯＧ⊥ＡＢ，∠ＦＤＯ＝∠ＧＢＯ，ＯＡ＝ＯＢ．∴∠ＧＡＯ＝∠ＧＢＯ． 又∠ＤＯＦ＝∠ＢＯＧ，∴△ＤＯＦ≌△ＢＯＧ（ＡＳＡ）． ∴ＯＧ＝ＯＦ．∴ＯＧ＝ＯＥ． 由（１），知ＡＡ′⊥ＢＤ．又ＯＧ⊥ＡＢ，∴∠ＥＡＯ＝∠ＧＡＯ． ∵∠ＥＡＢ＋∠ＧＢＯ＝９０°， ∴∠ＥＡＯ＋∠ＧＡＯ＋∠ＧＢＯ＝９０°． ∴３∠ＥＡＯ＝９０°．∴∠ＥＡＯ＝３０°． 由（１），知ＡＡ′⊥ＣＡ′．∴ＡＣ＝２ＣＡ′． ∴ＡＡ′＝ ＡＣ２－ＣＡ′槡 ２＝ （２ＣＡ′）－ＣＡ′槡 ２ 槡＝３ＣＡ′． ②解：如图２，设⊙Ｏ与ＣＡ′相切于点Ｈ，连接ＯＨ． ∴ＯＨ⊥ＣＡ′．由（１），知Ａ′Ｅ＝ＡＥ，ＯＡ＝ＯＣ． ∴ＯＥ是△ＡＡ′Ｃ的中位线．∴ＯＥ＝１２ＣＡ′． ∵ＡＡ′⊥ＢＤ，ＡＡ′⊥ＣＡ′，ＯＨ⊥ＣＡ′， ∴四边形ＯＥＡ′Ｈ是矩形．∴Ａ′Ｈ＝ＯＥ＝１２ＣＡ′． ∴Ａ′Ｈ＝ＣＨ． 又ＯＡ＝ＯＣ，∴ＯＨ是△ＣＡ′Ａ的中位线．∴ＯＨ＝１２ＡＡ′． ∵ＯＥ＝ＯＨ，∴ＡＡ′＝ＣＡ′．∴∠Ａ′ＡＣ＝∠Ａ′ＣＡ＝４５°． ∴∠ＡＯＥ＝∠Ａ′ＣＡ＝４５°．∴ＡＥ＝ＯＥ． 设ＡＥ＝ＯＥ＝ｘ，则ＯＤ＝ＯＡ＝ ｘ２＋ｘ槡 ２ 槡＝２ｘ． ∴ＤＥ＝ＯＤ－ＯＥ＝（槡２－１）ｘ． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＡＥ２＋ＤＥ２＝ＡＤ２，即 ｘ２＋［（槡２－ １）ｘ］２＝１． ∴ｘ２＝ 槡２＋２４ ，即ＯＥ ２＝ 槡２＋２４ ． ∴Ｓ⊙Ｏ＝π·ＯＥ ２＝ 槡２＋２４ π． 第二十五章　概率初步 １．Ａ　２．Ｃ　３．Ａ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ａ　７．Ｂ　８．Ｄ　 ９．Ｃ　１０．Ｂ　１１．不可能　１２．８５％　１３．３５　１４． ５ ９ １５．２３　１６． １ ２ １７．解：（３）是必然事件，（１）是不可能事件，（２）（４）是 随机事件． １８．解：根据题意，画树状图如图． 由图可知，共有６种等可能的结果，其中抽取两本 书中有《九章算术》的结果有４种． ∴抽取两本书中有《九章算术》的概率为４６＝ ２ ３． １９．解：由题意，得 ３３＋２＋ｎ＝ １ ３．解得ｎ＝４． 经检验，ｎ＝４是原方程的解，且符合题意． ∴ｎ为４． ∴摸球一次摸到白球的概率为 ２３＋２＋４＝ ２ ９． ２０．解：（１）出现“３点朝上”的频率是６６０＝ １ １０． 出现“５点朝上”的频率是２０６０＝ １ ３． （２）两人的说法都是错误的．因为一个随机事件发 生的概率是由这个随机事件本身决定的，并客观 存在．随机事件发生的可能性大小由随机事件本 身的属性即概率决定．因此，判断事件发生的可能 性大小不能由此次试验中的频率决定                                                                          ． —７８—