第二十八章 锐角三角函数-【同步冲刺】2024-2025学年九年级全一册数学阶段测试适应性训练卷（人教版）

∵ＯＥ＝２ＥＣ，ＦＨ＝ＯＥ，∴ＣＥＦＨ＝ １ ２．∴ Ｓ△ＥＣＧ Ｓ△ＨＦＧ ＝１４． ∴Ｓ△ＨＦＧ＝４ｋ．∴ Ｓ△ＨＦＧ Ｓ四边形ＯＥＧＦ ＝４ｋ８ｋ＝ １ ２． （３）∵ＯＡ∥ＦＣ，∴∠ＡＯＤ＝∠ＯＦＣ． ∵ＯＦ⊥ＡＥ，∴∠ＡＤＯ＝∠ＯＣＦ＝９０°． ∴△ＡＤＯ∽△ＯＣＦ．∴ＡＯＯＦ＝ ＡＤ ＯＣ＝ ＯＤ ＦＣ． ∵ＦＢ∶ＢＣ＝１∶２，ＯＡ＝ＢＣ＝２， ∴ＢＦ＝１，ＦＣ＝３，ＯＦ 槡＝ １０． ∴ ２ 槡１０ ＝ＡＤ１＝ ＯＤ ３． ∴ＡＤ＝ ２ 槡１０ ＝槡１０５ ，ＯＤ＝ ６ 槡１０ ＝ 槡３ １０５ ． 如图，取ＯＦ的中点 Ｎ，连接 ＭＮ，过点 Ｄ作 ＤＴ⊥ ＭＮ，垂足为点Ｔ． ∵点 Ｍ是 ＯＨ的中 点，∴ＭＮ是△ＯＦＨ 的中位线，则 ＭＮ∥ ＦＨ，ＭＮ＝１２ＦＨ． ∵ＦＨ＝ｎ，∴ＭＮ＝ｎ２． ∴ＮＤ＝ＯＤ－１２ＯＦ＝ 槡３ １０ ５ － 槡１０ ２ ＝ 槡１０ １０． ∵ＤＴ∥ＦＣ，∴∠ＮＤＴ＝∠ＯＦＣ． 又∵∠ＤＴＮ＝∠ＦＣＯ＝９０°，∴△ＤＴＮ∽△ＦＣＯ． ∴ＤＴＦＣ＝ ＮＤ ＯＦ＝ ＴＮ ＣＯ．∴ ＤＴ ３＝ 槡１０ １０ 槡１０ ＝ＴＮ１． ∴ＤＴ＝３１０，ＴＮ＝ １ １０，ＴＭ＝ＭＮ－ＴＮ＝ ｎ ２－ １ １０． ∴ｍ＝ＤＭ２＝ＴＭ２＋ＤＴ２＝ ｎ２－ １( )１０ ２ ＋ ３( )１０ ２ ＝ １ ４ｎ ２－１１０ｎ＋ １ １０． 第二十八章　锐角三角函数 １．Ｄ　２．Ｃ　３．Ａ　４．Ｂ　５．Ｃ　６．Ｄ　７．Ｂ　８．Ｃ ９．Ｄ　１０．Ｂ　１１．４５　１２． 槡１２３　１３． 槡２ ２　１４． ５ ４ １５．等边三角形　１６．（－２，０） １７．解：原式 槡＝３－ 槡 ２( )２ ２ －２×槡３２＋ １ ( )１２ ２ 槡＝３－ １ ２ 槡－３＋４＝ ７ ２． １８．解：原式＝５＋１－２＝４． １９．解：如图，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｃ＝９０°，ｃ＝ＡＢ 槡＝８３， ∠Ａ＝６０°． ∴∠Ｂ＝１８０°－∠Ｃ－∠Ａ＝３０°． ∴ＡＣ＝１２ＡＢ 槡＝４３． ∴ＢＣ＝ｃ·ｓｉｎ６０° 槡＝８３×槡 ３ ２＝１２． ２０．解：在Ｒｔ△ＡＣＤ中，∠Ｃ＝９０°． ∵ｔａｎ∠ＣＡＤ＝２３，ＡＣ＝３， ∴ＣＤ＝ＡＣ·ｔａｎ∠ＣＡＤ＝３×２３＝２． ∵ＢＤ＝２ＣＤ，∴ＢＣ＝３ＣＤ＝６． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＢＣ２＋ＡＣ槡 ２＝ ６２＋３槡 ２ 槡＝３５． ∴ｃｏｓＢ＝ＢＣＡＢ＝ ６ 槡３５ ＝ 槡２５５． ２１．解：不会．理由如下： 如图，过点Ａ作ＡＣ⊥ＢＤ于点Ｃ． ∴∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ＝９０°． 根据题意，得∠ＡＢＣ＝４５°， ∠ＡＤＣ＝３０°，ＢＤ＝１００． ∴∠ＢＡＣ＝４５°．∴ＢＣ＝ＡＣ． 在Ｒｔ△ＡＣＤ中，ｔａｎ∠ＡＤＣ＝ＡＣＣＤ， ∴ＣＤ＝ ＡＣｔａｎ３０° 槡＝３ＡＣ． ∵ＢＤ＝ＢＣ＋ＣＤ，∴ＡＣ 槡＋３ＡＣ＝１００． 解得ＡＣ＝５０（槡３－１）≈３６６． ∵３６６＞３０，∴高速铁路不会受到地震的影响． ２２．解：（１）如图，作ＢＨ⊥ＯＡ， 垂足为点Ｈ． 在 Ｒｔ△ＯＨＢ中，ＢＯ＝５， ｓｉｎ∠ＢＯＡ＝ＢＨＢＯ＝ ３ ５， ∴ＢＨ＝３． ∴ＯＨ＝ ＢＯ２－ＢＨ槡 ２＝４． ∴点Ｂ的坐标为（４，３）． （２）∵ＯＡ＝１０，ＯＨ＝４，∴ＡＨ＝６． 在Ｒｔ△ＡＨＢ中，∵ＢＨ＝３， ∴ＡＢ＝ ＢＨ２＋ＡＨ槡 ２＝ ３２＋６槡 ２ 槡＝３５． ∴ｃｏｓ∠ＢＡＯ＝ＡＨＡＢ＝ ６ 槡３５ ＝ 槡２５５． ２３．解：（１）如图，过点Ｂ作ＢＭ⊥ＡＥ于点Ｍ． ∵山坡ＡＢ的坡度ｉ 槡＝１∶３，ＡＢ＝１２， ∴ｔａｎ∠ＢＡＭ＝ＢＭＡＭ＝ｉ＝ １ 槡３ ＝槡３３． ∴∠ＢＡＭ＝３０°．∴ＢＭ＝１２ＡＢ＝６（米）． 答：点Ｂ距水平地面ＡＥ的高度为６米． （２）如图，过点 Ｂ作 ＢＮ⊥ＣＥ 于点 Ｎ，则四边形 ＢＭＥＮ是 矩形． ∴ＢＮ＝ＥＭ，ＥＮ＝ＢＭ＝６． ∵ＢＭＡＭ＝ｉ＝ 槡３ ３，∴ＡＭ 槡＝６３． ∵ＡＥ＝２４， ∴ＢＮ＝ＥＭ＝ＡＭ＋ＡＥ＝（槡６３＋２４）米． 在Ｒｔ△ＢＣＮ中，ＢＮ⊥ＣＥ，∠ＣＢＮ＝４５°， ∴ＣＮ＝ＢＮ＝（槡６３＋２４）米． ∴ＣＥ＝ＣＮ＋ＥＮ＝（槡６３＋３０）米． 在Ｒｔ△ＡＤＥ中，∠ＤＡＥ＝５３°，ＡＥ＝２４， ∴ｔａｎ∠ＤＡＥ＝ＤＥＡＥ＝ ＤＥ ２４＝ｔａｎ５３°≈ ４ ３． 解得ＤＥ≈３２． ∴ＣＤ＝ＣＥ－ＤＥ≈ 槡６３＋３０－３２≈８４（米）． 答：广告牌ＣＤ的高度约为８４米                                                                          ． —２９— ２４．解：（１）如图，作 ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ． 在Ｒｔ△ＡＢＥ中，ｓｉｎＢ＝ＡＥＡＢ＝ ＡＥ ｃ． 同理，ｓｉｎＢ＝ＣＤＢＣ＝ ＣＤ ａ， ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝ＣＤＡＣ＝ ＣＤ ｂ，ｓｉｎ∠ＢＣＡ＝ ＡＥ ＡＣ＝ ＡＥ ｂ． ∴ＡＥ＝ｃｓｉｎＢ，ＡＥ＝ｂｓｉｎ∠ＢＣＡ， ＣＤ＝ａｓｉｎＢ，ＣＤ＝ｂｓｉｎ∠ＢＡＣ． ∴ｃｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎ∠ＢＣＡ，ａｓｉｎＢ＝ｂｓｉｎ∠ＢＡＣ． ∴ ｂｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎ∠ＢＣＡ ， ａ ｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ ｂｓｉｎＢ． ∴ ａｓｉｎ∠ＢＡＣ ＝ ｂｓｉｎＢ＝ ｃ ｓｉｎ∠ＢＣＡ ． （２）在△ＡＢＣ中，∠ＣＢＡ＝１８０°－∠Ａ－∠Ｃ＝１８０°－ ７５°－６０°＝４５°． ∵ ＡＢｓｉｎＣ＝ ＡＣ ｓｉｎ∠ＣＢＡ ，∴ ＡＢｓｉｎ６０°＝ ６０ ｓｉｎ４５°． 解得ＡＢ 槡＝３０６． 答：点Ａ到点Ｂ的距离为 槡３０６ｍ． ２５．（１）证明：∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴∠ＡＢＤ＝９０°－∠ＤＢＣ． 由题意，知ＤＥ是⊙Ｃ的直径． ∴∠ＤＢＥ＝９０°．∴∠Ｅ＝９０°－∠ＢＤＥ． ∵ＢＣ＝ＣＤ，∴∠ＤＢＣ＝∠ＢＤＥ．∴∠ＡＢＤ＝∠Ｅ． ∵∠Ａ＝∠Ａ，∴△ＡＢＤ∽△ＡＥＢ． （２）解：∵ＡＢ∶ＢＣ＝４∶３，∴设ＡＢ＝４ｋ，ＢＣ＝３ｋ． ∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２＝５ｋ． ∵ＢＣ＝ＣＤ＝３ｋ，∴ＡＤ＝ＡＣ－ＣＤ＝５ｋ－３ｋ＝２ｋ． 由（１）可知，△ＡＢＤ∽△ＡＥＢ． ∴ＢＤＥＢ＝ ＡＤ ＡＢ＝ ２ｋ ４ｋ＝ １ ２． 在Ｒｔ△ＤＢＥ中，ｔａｎＥ＝ＢＤＥＢ＝ １ ２． 第二十九章　投影与视图 １．Ｂ　２．Ｃ　３．Ｄ　４．Ｃ　５．Ｃ　６．Ｃ　７．Ｂ　８．Ａ ９．Ｄ　１０．Ａ　１１．中心　１２．３　１３．正三棱锥　１４．甲 １５．１２π　１６．Ｓ３＜Ｓ２＜Ｓ１ １７．解：其俯视图、左视图如图所示． １８．解：其三视图如图所示． １９．解：由 三 视 图 可 知，底 面 菱 形 的 边 长 为 ( )３２ ２ ＋( )４２槡 ２ ＝５２（ｃｍ）． ∴直四棱柱的表面积为５２×８×４＋ １ ２×３×４×２＝ ９２（ｃｍ２）． ２０．解：如图，过点 Ｄ作 ＤＮ⊥ ＡＢ，垂足为点 Ｎ，交 ＥＦ于 点Ｍ． ∴四边形ＣＤＭＥ，ＡＣＤＮ都是 矩形． ∴ＡＮ＝ＭＥ＝ＣＤ＝１２ｍ， ＤＮ＝ＣＡ＝３０ｍ，ＤＭ＝ＣＥ＝０６ｍ． ∴ＭＦ＝ＥＦ－ＭＥ＝１６－１２＝０４（ｍ）． 依题意知ＥＦ∥ＡＢ．∴△ＤＦＭ∽△ＤＢＮ． ∴ＤＭＤＮ＝ ＭＦ ＮＢ，即 ０６ ３０＝ ０４ ＮＢ．∴ＮＢ＝２０． ∴ＡＢ＝ＮＢ＋ＡＮ＝２０＋１２＝２１２（ｍ）． 答：楼高ＡＢ为２１２ｍ． ２１．解：（１）该几何体为三棱柱． （２）Ｖ＝Ｓｈ＝１２ＦＧ·ＥＧ·ｓｉｎ∠ＥＧＦ·ＡＤ＝ １ ２×１８× １２×ｓｉｎ３０°×１６＝８６４（ｃｍ３）． 答：该几何体的体积为８６４ｃｍ３． ２２．解：（１）２＋１５（ｘ－１）＝（１５ｘ＋０５）ｃｍ． （２）由三视图可知共有１２个碟子． ∴叠成一摞的高度为１５×１２＋０５＝１８５（ｃｍ）． ２３．解：（１）光源的位置及第三根旗杆在该灯光下的影 长如图所示． （２）Ｄ　提示：在灯光 下，离点光源近的物体 它的影子短，离点光源 远的物体它的影子长， 所以小明的影长从 Ａ 到Ｂ的变化是先越来 越短，再越来越长． （３）∵ＣＤ∥ＥＦ∥ＡＢ，∴△ＣＤＦ∽△ＡＢＦ，△ＥＦＧ∽△ＡＢＧ． ∴ＣＤＡＢ＝ ＤＦ ＢＦ， ＥＦ ＡＢ＝ ＦＧ ＢＧ． ∵ＣＤ＝ＥＦ，∴ＤＦＢＦ＝ ＦＧ ＢＧ． ∵ＤＦ＝３ｍ，ＦＧ＝４ｍ，ＢＦ＝ＢＤ＋ＤＦ＝（ＢＤ＋３）ｍ， ＢＧ＝ＢＤ＋ＤＦ＋ＦＧ＝（ＢＤ＋７）ｍ， ∴ ３ＢＤ＋３＝ ４ ＢＤ＋７．∴ＢＤ＝９．∴ＢＦ＝９＋３＝１２（ｍ）． ∴１６ＡＢ＝ ３ １２．∴ＡＢ＝６４． ∴灯杆ＡＢ的高度为６４ｍ． ２４．解：（１）圆柱． （２）这个几何体的侧面积是π×２×３＝６π． （３）展开后连接 ＢＥ，则 ＢＥ的 长是一只蚂蚁从点Ｂ出发，沿 表面爬到ＣＤ的中点Ｅ的最短 路线，如图． 根据题意，得ＢＣ＝π×２×１２＝π， ＣＥ＝１２ＣＤ＝ ３ ２． 在Ｒｔ△ＢＣＥ中，由勾股定理，得 ＢＥ＝ ＢＣ２＋ＣＥ槡 ２＝ π２＋槡 ９ ４． 答：这条路线的最短路程是 π２＋槡 ９ ４                                                                          ． —３９— 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十八章!第 " 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十八章!第 $ 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十八章!第 % 页"共 # 页# !"!# 秋!同步冲刺!数学!九年级"全一册# 第二十八章!锐角三角函数 !本试卷满分 "$& 分"考试用时 "$& 分钟# 一$选择题%本大题共 "& 小题&每小题 % 分&共 %& 分!在每小题给 出的四个选项中&只有一项是符合题目要求的! "!7G=%&7的值是 "!!# '(" +( " $ -( 槡$ $ .( 槡% $ $!在@A%*+/中$'/*/&7$若=HI ** " $ $则'*的度数是 "!!# '(#&? +(23? -(%&? .(无法确定 %!如图$在%*+/中$'/*/&7$设'*$'+$'/所对的边分别为 $$%$&$则 "!!# '(%*&=HI + +(&*%=HI + -($ *%AJI + .(%*&AJI + 第 % 题图 !!!! 第 2 题图 2!如图所示$先锋村准备在坡角为!的山坡上栽树$要求相邻两树 之间的水平距离为 3米$则这两树在坡面上的距离*+为 "!!# '(37G= !米 +( 3 7G= ! 米 -(3=HI !米 .( 3 =HI ! 米 3!在 @A%*+/中$'/*/&7$若%*+/的三边都扩大为原来的 $ 倍$则AJI *的值 "!!# '(扩大为原来的 $ 倍 +(缩小为原来的 " $ -(不变 .(无法确定 #!在%*+/中$'/*/&7$'*$'+$'/所对的边分别是 $$%$&$且 &*%%$则7G=** "!!# '( 槡$ % +( 槡$ $ % -( 槡"& % .( " % 0!如图$小强从热气球上的*点测量一栋高楼顶部的仰角'0*+* %&7$测量这栋高楼底部的俯角'0*/*#&7$热气球与高楼的水 平距离为*0 槡*"3 %米$则这栋高楼的高+/为 "!!# '(23 米 +(#& 米 -(03 米 .(/& 米 第 0 题图 !!!! 第 1 题图 1!如图$1为*6外一点$1E与*6相切于点E$1E 槡*3 % $'61E* %&7$则*6的半径为 "!!# 槡 槡'(3 % +(% % -(3 .(1 /!一块直角三角板*+/按如图方式放置$顶点*的坐标为"&$"#$直 角顶点/的坐标为" )%$&#$'+*%&7$则点+的坐标为 "!!# '(" 槡)% )% % $ 槡% % # +(" 槡)% ,% $%# -(" 槡)% ,% % $ 槡% % # .(" 槡)% )% $ 槡% % # 第 / 题图 !!!! 第 "& 题图 "&!如图所示$平地上一棵树高为 # 米$两次观察地面上的影子$第 一次是当阳光与地面成 #&7角时$第二次是阳光与地面成 %&7角 时$第二次观察到的影子比第一次长 "!!# '(" 槡# % )%#米 槡+(2 %米 槡-(# %米 .(" 槡$ % )%#米 二$填空题%本大题共 # 小题&每小题 % 分&共 "1 分! ""!已知'*为锐角$且 37G=*)% *&$则=HI *的值为!!!!! "$! % *+/中$若 *+*#$+/*1$'+*"$&7$则%*+/的面积为 !!!!! "%!如图$%*+/的顶点是正方形网格的格点$则=HI +的值为 !! 第 "% 题图 ! 第 "2 题图 ! 第 "# 题图 "2!如图$*+是一条东西走向的海岸线$在码头 *的北偏东 #&7且 距离该码头 3& 海里的 /处有一艘轮船$如果该轮船正以 $& 海里9时的速度向海岸*+驶来$那么该轮船到达海岸*+所 需要的最少时间为!!!!小时! "3! % *+/中$'*$'+均为锐角$且"AJI * 槡)%# $ ,C$7G=+)"C*&$ 则%*+/的形状是!!!!!!!!! "#!将%6+*按如图方式放置在平面直角坐标系中$其中'6+** /&7$ ' **%&7$顶点 *的坐标为 "$槡( )% $将%6+*绕原点逆时 针旋转$每次旋转 #&7$则第 $ &$2 次旋转结束时$点 *对应点 的坐标为!!!!! 三$解答题"一#%本大题共 2 小题&第 "0$"1 题各 2 分&第 "/$$& 题 各 # 分&共 $& 分! "0!计算'AJI #&7)=HI $ 237)$7G=%&7,( )" $ )$ ! "1!计算'C)3C, 槡( )% ) $ & )$AJI 237! "/!在@A%*+/中$'/*/&7$$$%$&分别是'*$'+$'/的对边$ & 槡*1 % $'**#&7$解这个直角三角形! $&!如图$在%*+/中$'/*/&7$*/*%$点 0在边 +/上$+0* $/0$且AJI'/*0* $ % !求7G=+的值! 四$解答题"二#%本大题共 % 小题&第 $" 题 1 分&第 $$$$% 题各 "& 分&共 $1 分! $"!+$0两地间有一段笔直的高速铁路$长度为 "&& F8$某时发生 的地震对地面上以点*为圆心$%& F8为半径的圆形区域内的 建筑物有影响$分别从 +$0两地处测得点 *的方位角如图所 示$高速铁路是否会受到地震的影响. 请通过计算说明理由! "结果精确到 &B" F8$参考数据'槡$/"B2"2$槡%/"B0%$# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十八章!第 2 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十八章!第 3 页"共 # 页# 同步冲刺!数学!九年级"全一册#!第二十八章!第 # 页"共 # 页# $$!如图$在平面直角坐标系内$点 6为原点$点 *的坐标为""&$ &#$点+在第一象限内$+6*3$=HI'+6** % 3 ! ""#求点+的坐标* "$#求7G='+*6的值! $%!如图$某大楼的顶部树有一块广告牌/0$李明在山坡的坡脚 * 处测得广告牌底部0的仰角为 3%7!沿坡面 *+向上走到 +处 测得广告牌顶部 /的仰角为 237$已知山坡 *+的坡度 H* 槡">% $*+*"$ 米$*<*$2 米!"测角器的高度忽略不计$结果精 确到 &B" 米$参考数据'槡$ /"B2"2$槡% /"B0%$$=HI 3%7/ 2 3 $ 7G=3%7 / % 3 $AJI 3%7 / 2 % # ""#求点+距水平地面*<的高度* "$#求广告牌/0的高度! 五$解答题"三#%本大题共 $ 小题&每小题 "$ 分&共 $2 分! $2!'知识再现(如图 "$在@A%*+/中$'/*/&7$'*$'+$'/的 对边分别为 $$%$&! :=HI ** $ & $=HI +* % & $;&* $ =HI * $&* % =HI + !; $ =HI * * % =HI + ! ""#'拓展探究(如图 $$在锐角三角形 *+/中$'*$'+$'/ 的对边分别为 $$%$&!请探究 $ =HI * $ % =HI + $ & =HI / 之间的关系$ 并写出探究过程! "$#'解决问题(如图 %$为测量点*到河对岸点+的距离$选取 与点*在河岸同一侧的点 /$测得 */*#& 8$'**037$ ' /*#&7!请用拓展探究中的结论$求点*到点+的距离! $3!如图$在 @A%*+/中$'*+/*/&7$以 /+为半径作*/$交 */ 于点0$交*/的延长线于点<$连接+0$+<! ""#求证'%*+0.%*<+* "$#当 *+ +/ * 2 % 时$求AJI <的值!