第三章 代数式（复习讲义）数学人教版2024七年级上册

第三章 代数式（复习讲义） 1. 了解代数式的定义，明晰其是由数字、字母经有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式，体会代数式各知识板块（定义、书写、求值 ）间的整体联系。 2. 能用代数式的书写规则规范书写，包括掌握乘号省略或用“·”、除法用分数线，数字与字母相乘数字在前，带分数化假分数等写法。 3. 理解并利用代数式代入求值的方法（直接代入、整体代入、间接求值等 ），当字母取特定值时，准确求出代数式表示的数，解决求值问题。 【知识点01】代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 题型一 代数式的识别 【例1】下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式，掌握代数式的概念是解题关键．根据代数式的概念：用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式，逐项判定即可． 【详解】解：题中的代数式有：， 故选：C． 【变式1-1】在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，单个数字和字母也是代数式，进行判断即可． 【详解】解：在式子，，，，，中，代数式有，，，，共4个； 故选D． 【变式1-2】下列各式：，，，，，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，根据“代数式是由运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式”进行判断，代数式中不含“、、、、、、”等符号． 【详解】解：，，，，，其中代数式有，，共3个， 故选：C． 【变式1-3】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的定义，一般地，用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数或者表示数的字母连接起来，所得到的式子叫做代数式．含“=”、“>”、“<”、“≥”、“≤”的式子都不是代数式．据此解答即可． 【详解】解：①，②，④ ⑤，⑥a  ⑦， ⑧是代数式， 含“=”不是代数式． 故选C． 题型二 代数式书写方法 【例2】下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面且省略乘号，原书写错误，故此选项不符合题意； B、相除时应写成分数形式，原书写错误，故此选项不符合题意； C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意； D、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式2-1】下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A．数字与数字相乘不能用点或省略乘号，应该书写为，故A错误； B．书写正确，故B正确； C．应该书写为，故C错误； D．应该书写为，故D错误． 故选：B． 【变式2-2】下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 根据代数式的书写要求判断各项即可． 【详解】解：A．应表示为，故A错误； B．应表示为，故B错误； C．应该表示为，故C错误； D．符合代数式书写要求，故D正确； 故选：D． 【变式2-3】下列代数式符合书写要求的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】代数式书写方法 【分析】本题考查了代数式的书写要求．注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“⋅”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．根据代数式的书写要求判断各项． 【详解】解：A、要写成，故本选项不符合题意； B、要写成，故本选项不符合题意； C、要写成，故本选项不符合题意； D、符合书写要求，故本选项符合题意； 故选：D． 题型三 列代数式 【例3】一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字大3，请用含x的代数式表示这个两位数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了列代数式，先表示出个位上的数字，再根据数的表示列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，个位上的数字是， 所以，． 故答案为：． 【变式3-1】梯形的上底和下底分别为，高为，用表示梯形的面积，则 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据梯形的面积等于上底与下底的和乘高除以列出代数式即可，掌握梯形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3-2】某校组织“爱心捐款”活动，九年级（1）班学生共捐款1260元，其中23名女生人均捐款元，则该班男生共捐款 元（用含有的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查了列出代数式，解题的关键是找到题目中的等量关系．根据题意列出代数式即可求解． 【详解】解：由题意可知，男生捐款金额总的金额女生捐款金额， 所以男生捐款金额为：． 故答案为：． 【变式3-3】填空题． （1）每包书有10册，6包书有 册，n包书有 册； （2）王芳今年m岁，她去年 岁，6年后 岁； （3）将糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋糖 ； （4）棱长为a的正方体的体积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式； 根据题意列代数式即可． 【详解】解：（1）每包书有10册，6包书有册，n包书有册； （2）王芳今年m岁，她去年岁，6年后岁； （3）将糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋糖； （4）棱长为a的正方体的体积是． 故答案为：（1），；（2），；（3）；（4）． 题型四 用代数式表示数、图形的规律 【例4】如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高 cm， 个杯子叠起来高55cm． 【答案】 37 16 【分析】本题考查列代数式，图形的规律，掌握知识点是解题的关键． 用高度差除以杯子的个数差求出第一个杯口到第二个杯口的高度，再求出一个杯子的高度，据此解答即可． 【详解】解：依题意得 第一个杯口到第二个杯口的高度为：， ∴一个杯子的高度为：(厘米)， 则10个杯子叠起来高为， ∴(个)，所以16个杯子叠起来的高度是55cm． 故答案为：37，16． 【变式4-1】某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 【答案】 【分析】本题主要考查图形的规律探索，掌握从前几个图形出发，仔细观察，由此得出图形的规律，然后推广到一般情况，从而求得结论，是解题的关键．观察不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，然后根据此规律写出第n个图形的火柴棒的根数即可． 【详解】解：第1个图形有8根火柴棒，即根； 第2个图形有14根火柴棒，即根；， 第3个图形有20根火柴棒，即根 第n个图形有根火柴棒． 故答案为：． 【变式4-2】如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形，第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，则第个图由 个小正方形拼成． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，观察图形变化，发现小正方形的个数为连续奇数的平方，列出代数式即可，分析图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第1个图形中小正方形的个数为：， 第2个图形中小正方形的个数为：， 第3个图形中小正方形的个数为：， ， ∴第个图形中小正方形的个数为：， 故答案为：． 【变式4-3】用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，先结合图形，得出第n个图形中小正方形的总个数是：；结合第n个图形中白色正方形的个数记为，则故，即可作答． 【详解】解：第1个图形：小正方形的总个数是； 第2个图形：小正方形的总个数是； 第3个图形：小正方形的总个数是； 第4个图形：小正方形的总个数是； …… 以此类推：第n个图形中小正方形的总个数是：； ∵第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ …… 以此类推：第n个图形中白色正方形的个数记为， ∴ ． 故答案为：． 题型五 已知字母的值，求代数式的值 【例5】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查偶次方、绝对值的非负性，理解绝对值、偶次方的非负性是正确解答的前提，求出、的值是解决问题的关键．根据偶次方，绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：，而，， ，， 解得，， ， 故答案为：． 【变式5-1】当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握利用整体思想求解代数式的值是解题的关键． 把代入整式可得，然后把代入整式得，再把整体代入即可． 【详解】解：把代入整式可得， ， ∴把代入整式可得：； 故答案为：10． 【变式5-2】当时，代数式的值为2024，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，利用整体思想求值即可． 【详解】∵当时，代数式的值为2024， ∴ ∴， ∴当时，代数式， 故答案为：． 【变式5-3】若都是有理数，且，则的值是 ． 【答案】3或/或3 【知识点】化简绝对值、有理数加法运算、有理数的除法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了相反数的意义，绝对值的意义，有理数的除法法则，分类讨论是解题的关键．由变形可得：，从而原式可化为：；再由可知：在x、y、z中必有一负两正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， ∵， ∴在x、y、z中必为两正一负， ∴当x为负时，原式， 当y为负时，原式， 当z为负时，原式， 故答案为：3或． 题型六 已知式子的值，求代数式的值 【例6】若，则 ． 【答案】5 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式的值．正确变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式6-1】若，则 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查代数式求值，根据已知，将所求代数式恒等变形，得到，代值求解即可得到答案，熟练掌握代数式求值方法，整体代入是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】若，则代数式的值是 ． 【答案】2038 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了代数式求值，将代数式化为，再将代入求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：2038． 【变式6-3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键． （1）根据题意得出，整体代入，即可求解； （2）先化简代数式，将，整体代入，即可求解； （3）依题意得出，，整体代入，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）， ； （3），， ，， ． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)21； (3)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、合并同类项 【分析】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则以及整体思想是解答本题的关键． （1）将原式合并即可解答； （2）原式变形后，把已知等式代入计算求值即可； （3）原式去括号整理后，把已知等式代入计算即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 题型七 程序流程图与代数式求值 【例7】下图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【答案】B 【知识点】程序流程图与代数式求值 【分析】本题考查了求代数式的值，依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案． 【详解】解：第1次，， 第2次，， 第3次，， 第4次，， 第5次，， 第6次，， ， 以此类推，从第2次开始以9，3，1循环， ， 第2024次输出的结果为9． 故选：B． 【变式7-1】解答题：龙龙在学习电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动把初始显示值加上，同时B区就会把初始显示值自动乘以2，并在各自区域显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示值的分别是16和．    (1)将如图所示的初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)计算（1）中A区整式减去B区整式的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 【答案】(1)A，B两区显示的结果分别为，； (2)这个差不能为负数，理由见解析 【知识点】整式加减的应用 【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． （1）根据题意给出的运算过程即可求出答案． （2）根据（1）中得出的结果进行相减，化简即可判断． 【详解】（1）解：按两次后，A区显示为：， B区显示为：． 答：A，B两区显示的结果分别为，； （2）解：这个差不能为负数，理由如下： 由题意可知： ， 故这个差不可能是负数． 【变式7-2】有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和--16，如图． 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： (1)从初始状态按4次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)从初始状态按2次后，求并直接比较A，B大小． 【答案】(1)； (2)； 【知识点】整式加减的应用 【分析】（1）直接依题意计算即可． （2）先计算，比大小即通过差的正负直接判断即可． 【详解】（1）A区显示的结果为： B区显示的结果为：； （2） 即 【点睛】此题考查程序类题型，主要是整式加减，解题关键是明确每一步的计算法则，重难点是比大小即作差看正负判断大小． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，准确理解代数式的概念是解题的关键．根据代数式的概念：用运算符号（、乘方）将数与表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．单独一个数或者一个字母也称代数式．据此逐一进行判断即可得到答案． 【详解】解：由代数式的定义可得，只有A选项中的式子不是代数式， 故选：A． 2．用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了列代数式，熟知先读的先写这一原则是解题的关键．根据先读的先写这一原则，写出代数式即可． 解：由题知， “a与b两数的倒数和”用代数式可表示为：． 故选：D． 3．如果，那么代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值，把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查代数式的书写要求，根据代数式的书写规则：分数不能为带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，数与字母相乘，乘号省略或者用“．”表示，对各项代数式逐一判定即可． 【详解】①中分数不能为带分数； ②2•3中数与数相乘不能用“”，应该用“”； ③中不能出现除号； ④20%x，书写正确； ⑤书写正确； ⑥书写正确； 不符合代数式书写要求的有①②③共3个． 故选：C． 二、填空题 5．根据题意填空： （1）将“与两数和的平方”列式为 ； （2）某水果批发商，第一天以每斤3元的价格出售西瓜斤，第二天又以每斤2元的价格出售西瓜斤，则该水果批发商这两天卖出西瓜的平均售价为 元； （3）某中学七年级有学生人，其中男生占总人数的一半还多2人，则男生的人数为 人； （4）若两数的和为48，其中一个数为，则这两个数的积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了列代数式，关键是正确理解文字语言中的关键词，正确地列出代数式． （1）先计算和，再计算和的平方，即可列出代数式； （2）分别求出这两天该水果的总售价和总质量，再代入平均售价的等量关系式即可； （3）首先表示出总人数的一半，再加即可； （3）首先表示出另一个数是，再表示出两数积即可 ． 【详解】解：（1）先求与的和，即，再平方，故列式为 ．   （2）总销售额为第一天销售额元加上第二天销售额元，即元；总销量是斤．   所以平均售价列式为元 ．   （3）总人数的一半是人，还多人， 所以男生人数为人 ．   （4）根据题意另一个数是， 所以两数积为 ． 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4） ． 6．填空题． （1）当时，代数式的值是 ； （2）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求代数式的值，解题的关键是代入计算． （1）把代入代数式，计算即可； （2）把代入计算即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：． （2）当时，， 故答案为：． 7．如图分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“”的个数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查图形规律探索．由图可得，甲烷中“”的个数是；乙烷中“”的个数是；丙烷中“”的个数是；按此规律即可求解． 【详解】解：由图可得，甲烷中“”的个数是； 乙烷中“”的个数是； 丙烷中“”的个数是； 则可知丁烷中“”的个数是． 故答案为：． 8．若代数式，则代数式值是 ． 【答案】2000 【分析】本题主要考查了整体代入代数式进行求值，理解题意，将所求代数式进行化简是解题关键．由可知，将所求代数式进行变形，然后将式子值代入即可得解． 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：2000． 三、解答题 9．甲、乙两地相距千米，一辆汽车的行驶速度为千米/小时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶多长时间？ (2)若速度增加千米/小时，则需多长时间？速度增加后比原来早到多长时间？分别用代数式表示． 【答案】(1)小时 (2)从甲地到乙地需小时，可早到小时 【分析】（）根据时间路程速度列出代数式即可； （）由题意得现在速度变为千米/小时，进而可表示出现在从甲地到乙地需要的时间，再用提速前的时间减去提速后的时间可表示出早到的时间； 本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，汽车从甲地到乙地需行驶小时； （2）解：由题意得，现在速度变为千米/小时， ∴从甲地到乙地需小时，可早到小时． 10．当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)25 (2)4 【分析】本题考查了求代数式的值，熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键． （1）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． （2）把所给字母代入代数式，然后按照有理数的运算顺序计算即可． 【详解】（1）解：当，，时， ． （2）解：当，，时， ． 11．若、互为相反数，、互为倒数，，是最大的负整数， (1)填空：_____，_____，_____，=______； (2)求的值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（）根据相反数、倒数的定义、绝对值的意义及有理数的概念解答即可； （）由可得，再把（）中的结果代入计算即可求解； 本题考查了代数式求值，根据相反数、倒数的定义、绝对值的意义及有理数的概念求出、、、的值，再代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵、互为相反数，、互为倒数，是最大的负整数， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （2）解：∵， ∴， ∴原式 ． 12．如图是某同学制作的“火炬模型”截面图，该图分别由半圆、长方形、三角形三个图形组成．已知三角形的高和长方形的长记为，长方形的宽记为． (1)用含，的式子表示该模型截面图的面积； (2)若有理数，满足，求该模型截面图的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，解题关键是理解题意，列出算式． （1）根据该模型截面图的面积=半径为a的半圆的面积+长为，宽为b的长方形的面积+底为，高为b的三角形的面积，列出算式进行计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b，再代入（1）中所求式子进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：有理数，满足， ，， ，， ． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式，解题的关键是熟练掌握代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“”“”“”“”等符号的不是代数式．根据代数式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、 0 是代数式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、不是代数式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中符合代数式书写要求的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了代数式，代数式的书写要求：在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式；根据代数式的书写要求逐项判断即可得解，熟练掌握代数式的书写要求是解此题的关键． 【详解】解：①应写成，故错误； ②应写成，故错误； ③符合书写要求，故正确； ④符合书写要求，故正确； ⑤应写成，故错误； ⑥应写成，故错误； 综上所述，书写正确的有③④，共个， 故选：B． 3．若，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】此题考查代数式的求值，根据代数式的特点将原式变形，再整体代入已知条件是解题的关键． 先将代数式变形后，再整体代入即可得结论． 【详解】解：， 故选：A． 4．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要16根，第③个图形需要23根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（   ） A．85 B．81 C．76 D．72 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律，理解数量关系，找出规律是关键． 根据题意得到第n个图形需要（根），由此即可求解． 【详解】解：第①个图形需要9根小木棒， 第②个图形需要16根，即， 第③个图形需要23根，即， ∴第n个图形需要（根）， 第⑩个图形需要（根）， 故选：D． 5．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，那么的值（   ） A．2或3 B．3 或 C．1或 D．不确定 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值等知识，根据题意，a和b互为相反数，则；c和d互为倒数，则；m的绝对值为2，故．将已知条件代入代数式中计算即可． 【详解】解∶∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2， ∴，，， ∴或， 故选∶C． 二、填空题 6．若，则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，有理数的减法运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性． 利用绝对值的非负性求得的值，代入代数式求值即可． 【详解】解：由得， ， 解得， ∴， 故答案为：8． 7．已知，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减法，代数式求值，正确化简计算是解题的关键． 先把进行化简得到，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴原式． 故答案为：． 8．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．当，，时，剩余铁皮的面积的值为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，求不规则阴影图形的面积和三角形与圆的面积公式的知识，掌握以上知识是解题的关键． 本题需要先分别求得三角形与半圆的面积，然后三角形面积减去半圆的面积，即可求解； 【详解】解：剩余铁皮的面积， 当，，时， 即． 9．如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入的值为81，则第2024次输出的结果为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了代数式求值，规律型，利用程序图进行计算，通过观察计算结果找出规律，利用规律即可求得结论． 【详解】解：当时，第1次输出的结果为， 第2次输出的结果为， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次，输出的结果为， 第7次，输出的结果为， …， 以此类推，从第2次开始以9，3，1循环， ∵， ∴第2024次输出的结果为9． 故答案为：9． 10．（1）当时，代数式 ； （2）当，时，代数式的值是 ； （3）当时，代数式的值是 ； （4）已知，，则代数式的值为 ． 【答案】 2 15 100 137 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． （2）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． （3）直接将字母的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． （4）直接将式子的值代入代数式，根据有理数运算法则计算即可． 【详解】解：（1）将代入代数式得 ， 故答案为：2； （2）将，代入代数式得 ， 故答案为：15； （3）将代入代数式得 ， 故答案为：100； （4）把，，代入代数式得 ， 故答案为：137； 三、解答题 11．求下列代数式的值： (1)，其中，，． (2)如图，一块边长为米的正方形铁皮，如果截去一个长5米，宽3米的一个长方形． ①用含的代数式表示剩余（阴影）部分的面积； ②当时，求剩余（阴影）部分的面积． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）直接代值计算即可得到答案； （2）①阴影部分面积等于大正方形面积减去空白长方形面积，据此求解即可；②根据（2）①所求代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：当，，时，； （2）解：①由题意得，； ②当时，， ∴此时阴影部分的面积为34． 12．2024年，常州持续大力实施“常有安居”民生实事工程，一批老旧小区焕然一新．某社区为有效解决老百姓“停车难”问题，计划将一块长、宽的长方形空地改造为一个停车场，如图是停车场的设计方案，其中的阴影部分是四个完全相同的长方形停车区域，空白部分均为宽度相等的通道，设通道的宽为． (1)每个长方形停车区域的长为_______，宽为_______（用含的代数式表示）； (2)当时，求四个停车区域的总面积； (3)在（2）的条件下，如果每个车位宽度为，这次“空地改造”可以为小区新增停车位_______个． 【答案】(1)， (2) (3)80 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，正确列出代数式，熟练掌握代数式求值的方法是解题关键． （1）利用长方形空地的长减去2个通道的宽即可得每个长方形停车区域的长，利用长方形空地的宽减去2个通道的宽，再除以4即可得每个长方形停车区域的宽； （2）将代入，求出每个长方形停车区域的长与宽，再根据长方形的面积公式计算即可得； （3）求出每个长方形停车区域的长，再除以每个车位的宽度，然后乘以4即可得． 【详解】（1）解：由题意得：每个长方形停车区域的长为，宽为， 故答案为：，． （2）解：当时，每个长方形停车区域的长为，宽为， 则四个停车区域的总面积为， 答：四个停车区域的总面积为． （3）解：由（2）可知，当时，每个长方形停车区域的长为， ∵每个车位宽度为， ∴小区新增停车位（个）， 故答案为：80． 13．请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 【答案】(1)4 (2)0 (3)19 【分析】本题考查代数式求值，掌握整体思想，是解题的关键： （1）利用整体代入法进行求解即可； （2）根据，得到，再利用整体代入法进行求解即可； （3）根据的值为最大的负整数，得到，将代数式展开，利用整体代入法求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由题意，得：， ∴， ∴； （3）∵的值为最大的负整数， ∴， 又∵， ∴ ． 14．如图，先将边长为厘米的正方形硬纸板剪下四个边长为厘米的小正方形纸板，然后用剩余的纸板拼成一个无盖的长方体形收纳盒，如何裁剪能使得该收纳盒的容积最大？ 【问题初探】 小华采用一般问题特殊化的策略，令，探究为何值时收纳盒的容积最大．观察下表，并回答问题： 剪去小正方形的边长（厘米） 1 容积（厘米） _____； 结合表格信息，当剪下的小正方形的边长增大时，请描述出所得的无盖长方体形收纳盒容积的变化情况． 【问题解决】 小华通过查阅资料核实，当时．所得收纳盒的容积最大．求容积最大的收纳盒的容积（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 根据小华在【问题解决】中的发现，将边长为厘米的正方形硬纸板按照上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒，若该长方体形收纳盒其中一个面的相邻两边长分别为厘米和厘米，求该收纳盒的容积． 【答案】【问题初探】先增大后减小 【问题解决】 【拓展应用】立方厘米或立方厘米或 【分析】本题考查代数式，乘方运算，熟练掌握求代数式的值是解题的关键； 【问题初探】根据题意，列代数式求解即可；当剪下的小正方形的边长增大时，所得的无盖长方体形收纳盒的容积的变化情况为先增大后减小； 【问题解决】把代入中，即可求解； 【拓展应用】当底面相邻边长分别为厘米和厘米时；当侧面相邻边长分别为厘米和厘米时，分别讨论即可求解； 【详解】解：[问题初探]如图，边长为厘米的正方形剪下四个边长为厘米的小正方形，用剩余纸板拼成一个长和宽均为厘米、高为厘米的无盖长方体形收纳盒,此时其容积（长宽高）为立方厘米， 当，时， ； 故答案为： 当剪下的小正方形的边长增大时，所得的无盖长方体形收纳盒的容积的变化情况为先增大后减小； [问题解决]解：当时，收纳盒容积为立方厘米； [拓展应用]解：∵要将边长为厘米的正方形硬纸板按上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒， ∴其长和宽均为， ∴其容积为立方厘米， 当底面相邻边长分别为厘米和厘米时， 解得 ， ， 八该收纳盒容积为立方厘米； 当侧面相邻边长分别为厘米和厘米时， 分两种情况：当，时 解得， ， ， ∴容积为立方厘米； 当，时， 解得： ， ， ∴容积为立方厘米 综上，若该容积最大的无盖长方体形收纳盒其中一面的相邻边长分别为厘米和之厘米，该收纳盒的容积为立方厘米或立方厘米或立方厘米； 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 代数式（复习讲义） 1. 了解代数式的定义，明晰其是由数字、字母经有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式，体会代数式各知识板块（定义、书写、求值 ）间的整体联系。 2. 能用代数式的书写规则规范书写，包括掌握乘号省略或用“·”、除法用分数线，数字与字母相乘数字在前，带分数化假分数等写法。 3. 理解并利用代数式代入求值的方法（直接代入、整体代入、间接求值等 ），当字母取特定值时，准确求出代数式表示的数，解决求值问题。 【知识点01】代数式的定义 代数式是由数字、字母通过有限次加、减、乘、除和乘方等代数运算得到的数学表达式。它可以表示为一个或多个项的和，每个项由系数、字母和字母的指数组成。 【知识点02】代数式的书写规则 乘号可以省略或用“·”表示，除法运算用分数线表示。 数字和字母相乘时，数字应写在字母的前面。 带分数应写成假分数的形式。 【知识点03】代数式代入求值 代数式的值：当代数式中的字母取某些特定值时，代数式所表示的数。求代数式的值的方法有直接代入法、整体代入法、间接求值法等。 题型一 代数式的识别 【例1】下列各式： ，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-1】在式子，，，，，中，代数式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列各式：，，，，，其中代数式的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1-3】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①  ②  ③  ④ ⑤  ⑥a  ⑦  ⑧． A．5 B．6 C．7 D．8 题型二 代数式书写方法 【例2】下列代数式书写规范的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列各式中，书写格式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】下列各式中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】下列代数式符合书写要求的是（    ）． A． B． C． D． 题型三 列代数式 【例3】一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字大3，请用含x的代数式表示这个两位数为 ． 【变式3-1】梯形的上底和下底分别为，高为，用表示梯形的面积，则 【变式3-2】某校组织“爱心捐款”活动，九年级（1）班学生共捐款1260元，其中23名女生人均捐款元，则该班男生共捐款 元（用含有的代数式表示）． 【变式3-3】填空题． （1）每包书有10册，6包书有 册，n包书有 册； （2）王芳今年m岁，她去年 岁，6年后 岁； （3）将糖装入n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋糖 ； （4）棱长为a的正方体的体积是 ． 题型四 用代数式表示数、图形的规律 【例4】如图，3个杯子叠起来高16cm，5个杯子叠起来高22cm，照这样计算，10个杯子叠起来高 cm， 个杯子叠起来高55cm． 【变式4-1】某校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图所示：按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为 【变式4-2】如图，用大小相同的小正方形拼图，第个图是一个小正方形，第个图由个小正方形拼成；第个图由个小正方形拼成，依此规律，则第个图由 个小正方形拼成． 【变式4-3】用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放，依此规律，第n个图形中小正方形的总个数是： ； 若第n个图形中白色正方形的个数记为，计算：＝ ． 题型五 已知字母的值，求代数式的值 【例5】已知，则的值为 ． 【变式5-1】当时，代数式的值为4，则当时，代数式的值为 ． 【变式5-2】当时，代数式的值为2024，当时，代数式的值为 ． 【变式5-3】若都是有理数，且，则的值是 ． 题型六 已知式子的值，求代数式的值 【例6】若，则 ． 【变式6-1】若，则 ． 【变式6-2】若，则代数式的值是 ． 【变式6-3】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则 ______ ；我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ______； (2)如果，求的值； (3)若，，求的值． 10．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 请根据上面的提示和范例，解决下面的题目： (1)把看成一个整体，求合并的结果； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 题型七 程序流程图与代数式求值 【例7】下图是一个运算程序的示意图，若第一次输入x的值为81，则第2024次输出的结果为（    ） A．27 B．9 C．3 D．1 【变式7-1】解答题：龙龙在学习电脑编程时，设计了一个小程序：程序界面分为A，B两区，每按一次按键，A区就会自动把初始显示值加上，同时B区就会把初始显示值自动乘以2，并在各自区域显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示值的分别是16和．    (1)将如图所示的初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)计算（1）中A区整式减去B区整式的差，请判断这个差能为负数吗？说明理由． 【变式7-2】有一电脑程序，每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和--16，如图． 如，第一次按键后，A，B两区分别显示： (1)从初始状态按4次后，分别求A，B两区显示的结果； (2)从初始状态按2次后，求并直接比较A，B大小． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列各式中，不是代数式的是（   ） A． B． C． D． 2．用代数式表示“a与b两数的倒数和”，下列选项中正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．如果，那么代数式的值是（    ） A． B．1 C．3 D． 4．下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中不符合式子书写要求的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 二、填空题 5．根据题意填空： （1）将“与两数和的平方”列式为 ； （2）某水果批发商，第一天以每斤3元的价格出售西瓜斤，第二天又以每斤2元的价格出售西瓜斤，则该水果批发商这两天卖出西瓜的平均售价为 元； （3）某中学七年级有学生人，其中男生占总人数的一半还多2人，则男生的人数为 人； （4）若两数的和为48，其中一个数为，则这两个数的积为 ． 6．填空题． （1）当时，代数式的值是 ； （2）当时，代数式的值是 ． 7．如图分别是甲烷、乙烷、丙烷分子结构模型，按照此规律，则丁烷中“”的个数是 ． 8．若代数式，则代数式值是 ． 三、解答题 9．甲、乙两地相距千米，一辆汽车的行驶速度为千米/小时． (1)用代数式表示这辆汽车从甲地到乙地需行驶多长时间？ (2)若速度增加千米/小时，则需多长时间？速度增加后比原来早到多长时间？分别用代数式表示． 10．当，，时，求下列各代数式的值： (1)； (2)． 11．若、互为相反数，、互为倒数，，是最大的负整数， (1)填空：_____，_____，_____，=______； (2)求的值． 12．如图是某同学制作的“火炬模型”截面图，该图分别由半圆、长方形、三角形三个图形组成．已知三角形的高和长方形的长记为，长方形的宽记为． (1)用含，的式子表示该模型截面图的面积； (2)若有理数，满足，求该模型截面图的面积． 能力提升进阶练 一、单选题 1．下列式子不是代数式的是（    ） A．0 B． C． D． 2．下列各式中符合代数式书写要求的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若，则代数式的值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要16根，第③个图形需要23根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（   ） A．85 B．81 C．76 D．72 5．如果a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，那么的值（   ） A．2或3 B．3 或 C．1或 D．不确定 二、填空题 6．若，则的值为 ． 7．已知，则代数式 ． 8．如图，在一个底为，高为的三角形铁皮上剪去一个半径为的半圆．当，，时，剩余铁皮的面积的值为 ．（结果保留） 9．如图是一个运算程序的示意图，若第一次输入的值为81，则第2024次输出的结果为 ． 10．（1）当时，代数式 ； （2）当，时，代数式的值是 ； （3）当时，代数式的值是 ； （4）已知，，则代数式的值为 ． 三、解答题 11．求下列代数式的值： (1)，其中，，． (2)如图，一块边长为米的正方形铁皮，如果截去一个长5米，宽3米的一个长方形． ①用含的代数式表示剩余（阴影）部分的面积； ②当时，求剩余（阴影）部分的面积． 12．2024年，常州持续大力实施“常有安居”民生实事工程，一批老旧小区焕然一新．某社区为有效解决老百姓“停车难”问题，计划将一块长、宽的长方形空地改造为一个停车场，如图是停车场的设计方案，其中的阴影部分是四个完全相同的长方形停车区域，空白部分均为宽度相等的通道，设通道的宽为． (1)每个长方形停车区域的长为_______，宽为_______（用含的代数式表示）； (2)当时，求四个停车区域的总面积； (3)在（2）的条件下，如果每个车位宽度为，这次“空地改造”可以为小区新增停车位_______个． 13．请阅读材料： 代数式的值为8，求代数式的值． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下： 由题意得，则有， ． 所以代数式的值为2． 【方法运用】 (1)若，则代数式的值为______； (2)若代数式的值为5，求代数式的值； (3)已知，的值为最大的负整数，求的值． 14．如图，先将边长为厘米的正方形硬纸板剪下四个边长为厘米的小正方形纸板，然后用剩余的纸板拼成一个无盖的长方体形收纳盒，如何裁剪能使得该收纳盒的容积最大？ 【问题初探】 小华采用一般问题特殊化的策略，令，探究为何值时收纳盒的容积最大．观察下表，并回答问题： 剪去小正方形的边长（厘米） 1 容积（厘米） _____； 结合表格信息，当剪下的小正方形的边长增大时，请描述出所得的无盖长方体形收纳盒容积的变化情况． 【问题解决】 小华通过查阅资料核实，当时．所得收纳盒的容积最大．求容积最大的收纳盒的容积（用含的代数式表示）． 【拓展应用】 根据小华在【问题解决】中的发现，将边长为厘米的正方形硬纸板按照上面的方法制作成容积最大的无盖长方体形收纳盒，若该长方体形收纳盒其中一个面的相邻两边长分别为厘米和厘米，求该收纳盒的容积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$