专题05 平面向量重难点题型专训（6个知识点+4大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题05 平面向量的线性运算重难点题型专训 （6个知识点+4大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 实数与向量相乘 题型二 向量的相关概念 题型三 向量的线性运算 题型四 计算与向量有关的方程 拓展训练一 向量与平行线分线段成比例的综合应用 拓展训练二 向量与几何图形的综合应用 拓展训练三 向量的作图问题 拓展训练四 向量与重心性质的综合应用 知识点一： 向量的概念 1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 知识点二： 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法: ①字母表示法：如等. 3、几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【即时训练】 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知点在线段上，，如果，那么用表示正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 知识点三： 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（    ） A．向量与方向相同，且向量与方向相同 B．向量与方向相同，且向量与方向相同 C．向量与方向相反，且向量与方向相反 D．向量与方向相反，且向量与方向相反 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 知识点四： 向量的减法运算 1、相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. 2、向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3、向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）计算： ． 知识点五： 向量的加法运算 1、向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 2、多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·单元测试）化简的结果等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：＝ ． 知识点六： 向量的数乘运算 1、向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. 2、向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. 3、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）若与的方向相反，且，，则下列用表示的式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【经典例题一 实数与向量相乘】 【例1】（24-25九年级上·上海青浦·期末）已知平行四边形，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）化简： . 3．（24-25九年级·上海松江·课后作业）如果是单位向量，与的方向相反，且长度为，则 ． 4．（24-25九年级·上海松江·课后作业）已知非零向量，求作、、． 【经典例题二 向量的相关概念】 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．平行向量的方向可能相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向可能相反 D．方向相反的向量是平行向量 1．（24-25九年级上·上海·期中）下列说法中不正确的是（    ） A． B．对于非零向量、、，，，则 C．若，那么或 D．若、均为单位向量，那么 2．（2025·上海黄浦·模拟预测）任何向量都平行于0向量，这是一个 ．（选填“真命题”或“假命题”） 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 【经典例题三 向量的线性运算】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）计算： ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是 ． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）（要求该题不得使用全等）已知为上的中线，求证： 【经典例题四 计算与向量有关的方程】 【例4】（2025·上海徐汇·模拟预测）阅读理解：设，，若，则，即．已知，，且，则的值为　　 A． B．1或 C．或4 D．1 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（　　） A．＝（3，20190），＝（﹣3﹣1，1） B．＝（﹣1，1），＝（+1，1） C．＝（），＝（（﹣）2，8） D．＝（+2，），＝（﹣2，） 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是 ． 4．（24-25九年级上·上海静安·课后作业）已知、都是已知向量，、都是未知向量，且+，，求、． 【拓展训练一 向量与平行线分线段成比例的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图， 在 中，点D在边上，，、分别交边、于点E、F， 且 (1)求 的值； (2)连接，设，，用含的式子表示． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC． （1）如果AC=6，求AE的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【拓展训练二 向量与几何图形的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，． (1)试用、的式子表示向量； (2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论． 2．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． (1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)如图2所示，若，，则 = ． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，． (1)求的值； (2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示) 【拓展训练三 向量的作图问题】 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）    2．（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，已知四边形与四边形都是平行四边形． (1)图中与相等的向量是___________；，则___________； (2)填空：___________；___________； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【拓展训练四 向量与重心性质的综合应用】 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ． (1)直接写出向量 关于 的分解式， ______ (2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论） 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知非零向量、、，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．， B． C．， D． 2．（2025·上海·模拟预测）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图平行四边形中，对角线，交于点，下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海奉贤·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海浦东新·模拟预测）计算： ． 7．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知：是单位向量，且，若（是一个实数），则 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则 ． 9．（2025·上海金山·模拟预测）如图，点是的重心，过点作，分别交于点，如果，，那么 ． 10．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示） 11．（24-25九年级·上海·阶段练习作业）已知非零向量，求作，．    12．（24-25九年级·上海松江·课后作业）作图题： （1）已知向量、，求作向． （2）已知两个不平行的向量，，求作向量． 13．（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的边、上的中线，、相交于点，联结，设，． (1)用、来表示 ， ， ． (2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 14．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）如图，点在平行四边形的对角线的延长线上． （1）填空： ； ； （2）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）． 15．（2025·上海金山·模拟预测）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个） ⑴作两个相邻的正方形(如图一)．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑶作个相邻的正方形(如图三)排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑷作个相邻的正方形(如图四)排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值．      学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面向量的线性运算重难点题型专训 （6个知识点+4大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 实数与向量相乘 题型二 向量的相关概念 题型三 向量的线性运算 题型四 计算与向量有关的方程 拓展训练一 向量与平行线分线段成比例的综合应用 拓展训练二 向量与几何图形的综合应用 拓展训练三 向量的作图问题 拓展训练四 向量与重心性质的综合应用 知识点一： 向量的概念 1、向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2、数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平面向量的定义，由，，且与反向，根据平面向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：，， ， 与反向， ． 故选：D． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，根据平行线的判定进行解答即可．本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 知识点二： 向量的表示法 1、有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 2、向量的表示方法: ①字母表示法：如等. 3、几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 【即时训练】 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）已知点在线段上，，如果，那么用表示正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则，即可得到答案. 【详解】∵点在线段上，，， ∴BA=， ∵与方向相反， ∴=， 故选D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则，是解题的关键. 2．（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 知识点三： 向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知在四边形中，记，，，．如果向量、、、都是单位向量，那么下列描述中，正确的是（    ） A．向量与方向相同，且向量与方向相同 B．向量与方向相同，且向量与方向相同 C．向量与方向相反，且向量与方向相反 D．向量与方向相反，且向量与方向相反 【答案】D 【分析】本题考查了向量的定义，根据题意作出图形，根据向量的定义及数形结合即可求解，熟练掌握向量的定义，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：如图： 向量与方向相反，且向量与方向相反， 故选D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·期中）向量和单位向量的方向相反，且，那么 ．（用表示）． 【答案】 【分析】本题考查了向量的定义，根据向量和单位向量的方向相反，且向量的长度为即可求解． 【详解】解：由题意得：； 故答案：． 知识点四： 向量的减法运算 1、相反向量 我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 零向量. 2、向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算叫做向量的减法. 3、向量减法的三角形法则 如图，已知向量,，在平面内任取一点O，作=，=，则=-=-.即-可以 表示 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·期末）如果点C是线段AB的中点，那么下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据点C是线段AB的中点，可以判断||=||，但它们的方向相反，继而即可得出答案． 解：由题意得：||=||，且它们的方向相反， ∴有=， 故选C． 2．（24-25九年级上·上海长宁·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先计算出，再计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点五： 向量的加法运算 1、向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量,，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量,，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 2、多个向量相加 为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一 个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示. 向量加法的运算律 (1)交换律：； (2)结合律：. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海·单元测试）化简的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了的向量的加减，解题的关键是掌握向量的加减运算法则．根据向量的加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（2025·上海宝山·模拟预测）计算：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了向量的线性计算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据向量的线性计算，即可求解． 【详解】解：原式， 故答案为：． 知识点六： 向量的数乘运算 1、向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. 2、向量的数乘的运算律 设,为实数，那么①()=()；②(+)=+；③ (+)=+. 特别地，我们有(-)=-()=(-)，(-)=-. 3、向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量,，以及任意实数,,，恒有( )=. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）若与的方向相反，且，，则下列用表示的式子中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由与的方向相反，且，，即可求得与的关系，继而可求得答案． 解：∵与的方向相反，且，， ∴用表示为：=． 故选B． 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了向量计算，根据实数与向量的运算进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【经典例题一 实数与向量相乘】 【例1】（24-25九年级上·上海青浦·期末）已知平行四边形，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的定义及平行四边形的性质判断即可． 【详解】如图，    ∵平行四边形， ∴，，， ∴，故选项A不符合题意； ，选项B符合题意； ，故选项C不符合题意； 故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查向量相等和平行，注意向量相等的条件是方向一致，长度相等是解题的关键． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）下列命题正确的个数是（    ） ①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量； ②如果，，那么的模是； ③如果，或，那么； ④如果，的方向与的方向相反． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据实数与向量的乘积结合向量的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①设是一个实数，是向量，那么与相乘的积是一个向量，故①正确； ②如果，，那么的模是，故②正确； ③如果，或，那么，故③错误； ④如果，的方向与的方向相反，故④错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了实数与向量的乘积，熟练掌握平面向量的定义是解题关键． 2．（24-25九年级上·上海松江·课后作业）化简： . 【答案】 【分析】先去括号，然后合并计算 【详解】解： = = 【点睛】本题考查向量的化简，掌握去括号法则准确进行计算是本题的解题关键. 3．（24-25九年级·上海松江·课后作业）如果是单位向量，与的方向相反，且长度为，则 ． 【答案】 【分析】由与的方向相反，可知是负的，又由长度为，即可得到. 【详解】∵是单位向量，与的方向相反，且长度为， ∴. 【点睛】本题考查向量的表示问题，关键是知道向量及单位向量的定义. 4．（24-25九年级·上海松江·课后作业）已知非零向量，求作、、． 【答案】见解析 【分析】与方向相同，长度是的3倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的2倍，据此作图即可； 与方向相反，长度是的倍，据此作图即可. 【详解】解：（1） （2） （3） 【点睛】本题考查了向量的作图，明确各向量与已知向量的方向及长度关系是作图的关键. 【经典例题二 向量的相关概念】 【例2】（24-25九年级上·上海徐汇·期末）下列说法中，错误的是（    ） A．平行向量的方向可能相同 B．方向相反的向量是相反向量 C．平行向量的方向可能相反 D．方向相反的向量是平行向量 【答案】B 【详解】本题考查向量的基本概念，涉及平行向量和相反向量的定义，需逐一分析选项，判断其是否符合定义，熟练掌握定义是解此题的关键． 【分析】解：A.、平行向量定义为方向相同或相反的向量，因此方向可能相同，故正确，不符合题意； B、相反向量需满足方向相反且长度相等，仅方向相反但长度不等时，不是相反向量，此说法缺少“长度相等”的条件，故错误，符合题意； C、平行向量包含方向相同或相反的情况，因此方向可能相反，故正确，不符合题意； D、平行向量包含方向相反的情况，因此方向相反的向量属于平行向量，故正确，不符合题意； 故选：B． 1．（24-25九年级上·上海·期中）下列说法中不正确的是（    ） A． B．对于非零向量、、，，，则 C．若，那么或 D．若、均为单位向量，那么 【答案】C 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】A．，说法正确，不符合题意； B．对于非零向量、、，，，则，说法正确，不符合题意； C．若，那么或，说法错误，模相等的两个向量不一定平行，符合题意； D．若、均为单位向量，那么，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．（2025·上海黄浦·模拟预测）任何向量都平行于0向量，这是一个 ．（选填“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【分析】本题考查了真命题及0向量，了解0向量的特征是解题的关键，根据零向量的特点作答即可。 【详解】解：因为0向量平行于任何向量，所以任何向量都平行于0向量，这是一个真命题． 故答案为：真命题。 3．（2025·上海松江·模拟预测）如图，点、在平行四边形的对角线上，且，则图中与互为相反向量的向量是    【答案】或 【分析】本题考查平面向量知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据相等平面向量的意义即可判断； 【详解】解： ， ， 图中与互为相反向量的向量是或． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量、，求作，满足． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．） 【答案】见解析 【分析】本题考查本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用． 根据平面向量的加减运算法则求出，再由平面向量的几何意义作图． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 作图如下： 其中，，则，为所求向量． 【经典例题三 向量的线性运算】 【例3】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如果向量、、满足，那么用、表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，利用一元一次方程的求解方法，求解此题即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 1．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，的对角线AC和BD交于点O，下列选项中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的大小和方向两个方面判断即可． 【详解】∵的对角线AC和BD交于点O， ∴，AB∥CD ∴和大小相同、方向相同， ∴，A选项正确； ∵和大小相同、方向相反， ∴，故B选项错误； ∵和的模相等 ∴，C选项正确； ∵和方向相同， ∴，D选项正确； 故选：B． 【点睛】本题考查平面向量的知识，需要注意向量的大小和方向． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的计算，直接利用平面向量的计算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，是边的中线，设向量，，那么用向量、表示向量是 ． 【答案】 【分析】本题考查了向量运算，先由中点得出，根据三角形法则列式，然后计算，即可作答． 【详解】解：∵是边的中线， ， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）（要求该题不得使用全等）已知为上的中线，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形中线，向量的运算，利用中线的性质得出，根据平面向量的运算法则，将用与表示，最后根据向量加法即可得证． 【详解】证明：∵为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题四 计算与向量有关的方程】 【例4】（2025·上海徐汇·模拟预测）阅读理解：设，，若，则，即．已知，，且，则的值为　　 A． B．1或 C．或4 D．1 【答案】B 【分析】根据题中材料定义，由得到，进而列出方程，由十字相乘法分解因式解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即，整理得，解得，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了新定义问题，读懂题意，解题的关键是根据新定义得到关于的一元二次方程求解． 1．（24-25九年级上·上海松江·期中）规定：在平面直角坐标系中，如果点P的坐标为（m，n），向量可以用点P的坐标表示为：＝（m，n）．已知＝（x1，y1），＝（x2，y2），如果x1•x2+y1•y2＝0，那么与互相垂直，在下列四组向量中，互相垂直的是（　　） A．＝（3，20190），＝（﹣3﹣1，1） B．＝（﹣1，1），＝（+1，1） C．＝（），＝（（﹣）2，8） D．＝（+2，），＝（﹣2，） 【答案】A 【分析】根据向量互相垂直的定义作答． 【详解】A、由于3×（﹣3﹣1）+20190×1＝﹣1+1＝0，则与互相垂直，故本选项符合题意． B、由于（﹣1）（+1）+1×1＝2﹣1+1＝2≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． C、由于×（﹣）2+×8＝4+4＝8≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． D、由于（+2）（﹣2）+×＝5﹣4+1＝2≠0，则与不垂直，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了平面向量，解题的关键是掌握向量垂直的定义. 2．（24-25九年级上·上海·期中）已知向量、、满足，试用向量、表示向量，那么= ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，先去括号，然后移项合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·上海闵行·模拟预测）我们规定：若，则．例如，则．已知，且，则的最大值是 ． 【答案】8 【分析】根据平面向量的新定义运算法则，列出关于的二次函数，根据二次函数最值的求法解答即可． 【详解】解：根据题意知：． 因为， 所以当时，． 即的最大值是8． 故答案是：8． 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题时，利用了配方法求得二次函数的最值． 4．（24-25九年级上·上海静安·课后作业）已知、都是已知向量，、都是未知向量，且+，，求、． 【答案】=； 【分析】由向量的线性运算的运算法则进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵+， ∴=； ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了向量的加减的运算和向量的几何意义，属于基础题．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 【拓展训练一 向量与平行线分线段成比例的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图， 在 中，点D在边上，，、分别交边、于点E、F， 且 (1)求 的值； (2)连接，设，，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据,可知，再由可得； （2）由可知，据此可得，同理可知，根据平行四边形法则可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，与方向相反， ∴， 同理可得：， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，比例的性质以及向量的线性运算，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理以及向量的运算． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE=BC． （1）如果AC=6，求AE的长； （2）设，，求向量（用向量、表示）． 【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）由平行线截线段成比例求得AE的长度； （2）利用平面向量的三角形法则解答． 【详解】（1）如图， ∵DE∥BC，且DE=BC， ∴． 又AC=6， ∴AE=4． （2）∵，， ∴． 又DE∥BC，DE=BC， ∴ 【点睛】考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，在中，点、分别在边、延长线上，，，已知，． (1)用向量、分别表示向量、； (2)作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】(1)， (2)图见解析，， 【分析】本题考查了平面向量的知识与平行线分线段成比例定理．熟练掌握三角形法则，平行四边形法则是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理可得出，，即可得出，根据即可得答案； （2）过点分别作，，可得、是向量分别在、方向上的分向量，根据平行线分线段成比例定理求出和即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵与的方向相同，，与的方向相同，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点分别作，，则、是向量分别在、方向上的分向量， ∵，， ∴，， ∴，， ∵与的方向相同，与的方向相反， ∴，． 【拓展训练二 向量与几何图形的综合应用】 1．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，设，． (1)试用、的式子表示向量； (2)在图中作出向量在、方向上的分向量，并写出结论． 【答案】(1) (2)图形见解析，向量在方向上的分向量分别为， 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平面向量定理，解决本题的关键是掌握平面向量定理． （1）根据平行线分线段成比例可得，结合平面向量定理即可表示； （2）根据平面向量定理画图即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ， ，即， ，，，方向相同， ， ， ； （2）如图所示：即为向量在方向上的分向量分别为，． 2．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． (1)请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） (2)如图2所示，若，，则 = ． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）作的平分线交于点M，作的垂线交于点N，则点M和点N即为所求作的点；由可知，向量即为所求作的向量； （2）连接，，证明是等边三角形得，然后根据即可求解． 【详解】（1）如图，点M和点N即为所求作的点，向量即为所求作的向量． （2）如图，连接， ∵点A和点N关于直线对称， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了尺柜作图，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，向量的运算等知识，熟练掌握向量的知识是解答本题的关键． 3．（2025·上海普陀·模拟预测）如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，． (1)求的值； (2)设，，如果，那么________，________．(用向量、表示) 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量； （1）由三角形中位线定理易得为的中位线，进而可得为的中位线，于是； （2）根据题意可得，根据三角形法则得出，证，得到，进而，以此即可得到答案． 【详解】（1）解：，点为的中点， 为的中位线， 点为的中点， 又点为的中点， 为的中位线， ，，即 （2）解：，， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：，． 【拓展训练三 向量的作图问题】 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知两个不平行的向量．先化简，再求作：． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量．）    【答案】见解析 【分析】根据平面向量的加减运算法则解答；由平面向量的几何意义作图． 【详解】解： ． 作图：    ∴如图，为所求向量． 【点睛】本题主要考查了平面向量，注意：三角形法则在解题过程中的应用． 2．（24-25九年级上·上海崇明·期末）如图，已知四边形与四边形都是平行四边形． (1)图中与相等的向量是___________；，则___________； (2)填空：___________；___________； (3)求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）． 【答案】(1)，；4 (2)；或 (3)见解析 【分析】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及三角形和平行四边形法则的熟练掌握． （1）根据平行四边形的性质和平面向量的性质求解即可； （2）利用平行四边形法则和三角形法则求解即可； （3）以点A为圆心，为半径画弧，以点D为圆心，为半径画弧，两弧交于点F，连接即为所求． 【详解】（1）∵四边形与四边形都是平行四边形 ∴， ∴， ∴图中与相等的向量是，； ∵ ∴； （2）∵四边形是平行四边形 ∴； ∵四边形都是平行四边形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形，， ∴； ∴； （3）如图所示， 由作图得，， ∴四边形是平行四边形 ∴，， 由以上得，， ∴． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：． （2）解：如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【拓展训练四 向量与重心性质的综合应用】 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，已知在中，中线、交于点，交于点． (1)如果，求和的长； (2)如果，，那么________．（用含向量、的式子表示） 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了三角形的重心，平面向量，相似三角形的性质与判定，掌握三角形的重心是解题的关键． （1）根据三角形的重心，再证明，得出比例式，即可求解； （2）先求出，即可得到． 【详解】（1）解：中线、交于点， 点为重心， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：， ， ，， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，点、分别在边和上，，且经过的重心． (1)设，____________（用向量表示）； (2)如果，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形重心的性质，以及向量的线性运算，综合运用各知识点是解答本题的关键． （1）连接并延长交于点，由，可得，由重心的性质可得，进而可求出； （2）利用（1）求出的长，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接并延长交于点． ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵是的重心， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25九年级上·上海闵行·期末）如图， 是 的中线， 交于点 ， 且 ． (1)直接写出向量 关于 的分解式， ______ (2)在图中画出向量 在向量 和 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论） 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD=BC，AG=AD，由求解即可； （2）过点G分别作AB、BC的平行线，分别交BC、AB于H、F，作向量、即可． 【详解】（1）解：∵ 是 的中线， 交于点 ， ∴BD=BC，AG=AD， ∵， ∴=， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，、是向量 在向量 和 方向上的分向量． 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知非零向量、、，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的性质是解答本题的关键．根据向量平行的定义，两个非零向量平行当且仅当它们的方向相同或相反，即存在实数使得．需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】选项A：且．由平行的传递性可知，与方向均与相同或相反，故，可判定平行． 选项B：．仅说明模长相等，无法确定方向是否相同或相反，不能判定平行． 选项C：，．和均为的标量倍数，方向相同，故，可判定平行． 选项D：，即．方向相反，满足平行定义，可判定平行． 综上，选项B不能判定与平行． 故选：B． 2．（2025·上海·模拟预测）在正方形中，的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了向量、向量的加法及向量模，理解这些知识是关键；在正方形中，向量相加的模长即为正方形对角线的长，它与边长的比值可通过勾股定理直接计算即可． 【详解】解：设正方形边长为，由勾股定理得：； 在正方形中， 表示从A到B再到C的路径，其结果为向量，即； ∴． 故选：C． 3．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图平行四边形中，对角线，交于点，下列等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面向量，平行四边形的性质. 利用平行四边形的性质结合平面向量一一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B错误，不符合题意； ，故选项C正确，符合题意； ，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，根据平行四边形的性质以及三角形法则求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形法则． 【详解】解：、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 5．（2025·上海奉贤·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则向量，已知，，若，则与互相垂直．下列选项中两向量互相垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查向量的性质，特殊角的三角函数值的运算，零指数幂，负整数指数幂以及二次根式的运算，根据新定义，逐一列出算式，进行计算判断即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解：A、∵，； ∴不垂直，不符合题意； B、∵，， ∴不垂直，不符合题意； C、∵，， ∴不垂直，不符合题意； D、∵，， ∴垂直，符合题意； 故选：D． 6．（2025·上海浦东新·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查向量的线性计算，根据向量的计算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知：是单位向量，且，若（是一个实数），则 【答案】/ 【分析】本题主要考查了线性向量，掌握向量的线性运算成为解题的关键． 根据向量的线性运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图，平面内有三个非零向量、、，它们的模都相等，并且两两的夹角均为120度，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，线性向量的加减，掌握三角形法则是解题的关键．延长到T，使得，连接，根据题意可得是等边三角形，根据三角形法则可得，进而即可求解． 【详解】解：延长到T，使得，连接． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 9．（2025·上海金山·模拟预测）如图，点是的重心，过点作，分别交于点，如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．连接延长交于T．由G是的重心，推出，由，得出，从而，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接延长交于T． ∵G是的重心， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海静安·期末）如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得：，，，，从而得出，，再根据即可得出答案，熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 根据题意得：，，，， ，， ， 故答案为：． 11．（24-25九年级·上海·阶段练习作业）已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【详解】解：如图，向量和向量即为所作． 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 12．（24-25九年级·上海松江·课后作业）作图题： （1）已知向量、，求作向． （2）已知两个不平行的向量，，求作向量． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案； （2）先将向量化简，然后根据三角形法则即可求出答案. 【详解】解：（1）原式=， 如图，，，，则即为所求； （2）原式=， =， 如图，，，，则即为所求. 【点睛】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算及三角形法则解题的关键． 13．（24-25九年级上·上海·期中）如图，、是的边、上的中线，、相交于点，联结，设，． (1)用、来表示 ， ， ． (2)在图中，画出向量在和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】(1)；； (2)图见解析 【分析】（1）根据平面向量运算法则即可求出答案； （2）根据平面向量的基本定理进行求解即可． 【详解】（1）解：，分别是边，上的中线， 是的重心，是的中位线， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：；； （2）解：作图如下：为所求， 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于中等题型． 14．（24-25九年级上·上海黄浦·期末）如图，点在平行四边形的对角线的延长线上． （1）填空： ； ； （2）求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）． 【答案】（1）；；（2）见解析 【分析】（1）根据向量的平行四边形法则写出即可，根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后根据向量的三角形法则求解即可； （2）根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后根据向量的平行四边形法则作出以、为邻边的平行四边形，其对角线即为所求． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案为：；． （2）如图，即为所求． 【点睛】本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键． 15．（2025·上海金山·模拟预测）定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．如以正方形的四个顶点中某一点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出8个不同的向量:、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个） ⑴作两个相邻的正方形(如图一)．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑵作个相邻的正方形(如图二)“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑶作个相邻的正方形(如图三)排开．以其中的一个顶点为起点,另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值； ⑷作个相邻的正方形(如图四)排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量,可以作出不同向量的个数记为，试求的值． 【答案】⑴   ；⑵   ；⑶；⑷. 【分析】（1）根据图形，即可求得f（2）的值； （2）首先求f（1），f（2），f（3），f（4），所以得到规律为：f（n）=6n+2； （3）根据图形，即可求得f（2×3）的值； （4）先分析特殊情况，再求得规律：f（m×n）=2（m+n）+4mn． 【详解】（1）作两个相邻的正方形，以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数f（2）=14； （2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同的向量个数，找出规律， ∵f（1）=6×1+2=8，f（2）=6×2+2=14，f（3）=6×3+2=20，f（4）=6×4+2=26， ∴f（n）=6n+2； （3）f（2×3）=34； （4）∵f（2×2）=24，f（2×3）=34，f（2×4）=44，f（3×2）=34，f（3×3）=48，f（3×4）=62 ∴f（m×n）=2（m+n）+4mn． 【点睛】此题考查了向量的知识．注意解此题的关键是找到规律：f（n）=6n+2与f（m×n）=2（m+n）+4mn． 学科网（北京）股份有限公司 $$