专题02 比例线段重难点题型专训（4个知识点+7大题型+5大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版）

专题02 比例线段重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 比例中项 题型六 由平行判断成比例的线段 题型七 由平行截线求相关线段的长或比值 拓展训练一 与黄金分割点有关的证明问题 拓展训练二 比例线段与几何图形综合应用 拓展训练三 平行线分线段成比例多结论问题 拓展训练四 三角形一边的平行线一梯子型问题 拓展训练五 三角形一边的平行线一X字型问题 知识点一：线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期末）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质求解即可．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义得，将，及的值代入即可求得． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据比例线段的定义得：， 代入，，，得：， 解得：， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是熟记比例线段的定义．由四条线段、、、成比例，根据比例线段的定义，即分类讨论，即可求得的值． 【详解】解：∵四条线段，，，成比例， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 故答案为：． 知识点二： 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，利用“设法”求解更简便． 设，得出，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：设，则，， ， 故答案为：D． 2．（2025·上海静安·模拟预测）若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 知识点三： 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海青浦·期末）已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义，；则，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）人的上半身长与下半身长的比约为（黄金比），这时人的身长比例看上去更美观．小明的妈妈身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，根据“黄金比”，她购买的高跟鞋鞋跟最合适的高度是 （结果精确到）． 【答案】 【分析】根据比例关系列出方程求解即可． 【详解】解：设高跟鞋的高度为，根据题意可得， ∴ ∴ 解方程可得， ∵结果精确到， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例关系与一元一次方程，审清题意是解题的关键． 知识点四：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， ∴，即， 解得， 故答案为：3． 【经典例题一 比例的性质】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例，根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度、比例性质，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得．又， 则． 故选：A． 2．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则 ． 【答案】或2 【分析】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．分两种情况讨论：与时，再进行计算即可． 【详解】解：若，则，，， 此时，， 若，则， 综上所述，k的值为或2． 故答案为：或2． 3．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知非零实数，，满足，则的值为 ． 【答案】8或 【分析】本题主要考查比例的性质，设，求出，分或求解即可． 【详解】解：设，则有： 得，， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时， ∴ 故答案为：8或． 4．（2025八年级·全国·专题练习）看谁力量大（打一数学名词），谜底就是比例（力）．比例有很多性质，在数学证明和计算中有着广泛的应用．人教版八年级第十五章：分式，章末数学活动1就是探究比例的性质． 【答案】一、活动目的 1.通过探究比例的性质，熟练掌握分式的运算； 2.在活动中，培养学生观察、分析、概括的能力； 二、活动过程 1. 活动基本信息 时间 地点 参与者 2.寻找符合条件的数 找一组不为0的数a、b、c、d，使得成立（即a、b、c、d成比例）． 示例：，，，． 依照示例，寻找四组符合条件的数，填入下表． 符合的数记录表 a b c d 的值 的值 3.开展探究 利用符合的a、b、c、d，探究下列问题． （1）探究1.探究和的关系． 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． 已知：， 求证：= 证法1：用分式的运算． ∵， 两边同时乘以，得， 两边同时除以，得=； 证法2：用参数法， 设， 则， ∵． （2）探究2. 探究和的关系． 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． （3）探究3.探究和的关系． 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． （4）探究4.探究和的关系．（） 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． 三、活动评价 1.小组展示 一般以6－8人为一小组，组内展示探究的结论和证明的过程．并将这些内容和活动图片制作成展板或小视频． 1.班级展示 各小组展出展板或播放小视频，全体学生学习和评价． 2.评价表 采用自评、小组评价、班级对小组的评价和教师评价相结合． 自我评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 组内评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 班级对小组的评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 教师评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 评价结果 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 【分析】本题主要查了比例的基本性质，分式的运算； 根据比例的基本性质，分式的运算明确活动目的；制定活动基本信息，寻找符合条件的数，开展探究，最后作出合理的评价，即可． 【详解】一、活动目的 1.通过探究比例的性质，熟练掌握分式的运算； 2.在活动中，培养学生观察、分析、概括的能力； 二、活动过程 1. 活动基本信息 时间 地点 参与者 2.寻找符合条件的数 找一组不为0的数a、b、c、d，使得成立（即a、b、c、d成比例）． 示例：，，，． 依照示例，寻找四组符合条件的数，填入下表． 符合的数记录表 a b c d 的值 的值 3.开展探究 利用符合的a、b、c、d，探究下列问题． （1）探究1.探究和的关系． 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． 已知：， 求证：= 证法1：用分式的运算． ∵， 两边同时乘以，得， 两边同时除以，得=； 证法2：用参数法， 设， 则， ∵． （2）探究2. 探究和的关系． 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． （3）探究3.探究和的关系． 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． （4）探究4.探究和的关系．（） 利用2中表格中的数，计算和的值，填入下表． 计算和的值记录表 a b c d 的值 的值 从上表中可以看出，和的关系是： ； 证明上述的关系． 三、活动评价 1.小组展示 一般以6－8人为一小组，组内展示探究的结论和证明的过程．并将这些内容和活动图片制作成展板或小视频． 1.班级展示 各小组展出展板或播放小视频，全体学生学习和评价． 2.评价表 采用自评、小组评价、班级对小组的评价和教师评价相结合． 自我评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 组内评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 班级对小组的评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 教师评价 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 评价结果 A（    ）    B（    ）   C（    ）    D（    ） 【经典例题二 比例线段】 【例2】 （24-25九年级上·上海松江·单元测试）某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x的值即可． 【详解】解：设该地图的比例尺是1：x，根据题意得： 1：x2＝1：9000000， 解得x1＝3000，x2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B． 【点睛】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 1．（20-21九年级上·上海长宁·期末）若a：b：c＝2：4：5，且a+b+c＝22，则a的值为（　　） A．10 B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】设a=2k,b=4k,c=5k，代入a+b+c＝22，求出k，即可得到a的值． 【详解】∵a：b：c＝2：4：5， ∴设a=2k,b=4k,c=5k， 代入a+b+c＝22，得2k+4k+5k=22 解得k=2 ∴a=2k=4 故选C． 【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是根据题意设a=2k,b=4k,c=5k，求出k的值． 2．（24-25九年级·上海松江·单元测试）已知，则 . 【答案】 【分析】根据比例的基本性质可得关于a、b的关系式，进而可得答案. 【详解】解：∵，∴，整理得：，∴. 故答案为： 【点睛】本题考查了比例的基本性质，属于基本题型，熟练掌握比例的性质是解题关键. 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    【答案】共需块小矩形草皮，株杜鹃． 【分析】根据比例尺求出草坪的长和宽，进而求出面积周长，继而利用除法运算即可求出小草皮的块数与杜鹃的株数. 【详解】由于比例尺为1：100，根据图纸可知草坪的长为：5×100=500cm=5m，宽为：3×100=300cm=3m , 所以草坪的面积为：5×3=15m2，共需要草皮15÷0.02=750（块）， 周长为：（5+3）×2=16m，需要杜鹃16÷0.5=32（株）， 答：共需要小矩形草皮750块，32株杜鹃. 【点睛】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺求出草坪的长和宽是解决此题的关键. 【经典例题三 成比例线段】 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）若是8和4的比例中项，则x的值为（   ） A． B． C． D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】本题考查了比例中项的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据比例中项公式进行作答，即可求解； 【详解】解：根据比例中项公式， 可得：， 解得：； 故选：C； 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图所示某女士身高，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 【详解】设她应穿高跟鞋的高度大约为ycm， ∵模特身高155cm，下半身长x（cm）与身高l（cm）的比值是0.60， ∴， 解得：x=93， ∵下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感， ∴， 解得：y≈7， 故选：B 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．明确黄金分割所涉及的线段的比是解题关键． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）已知线段，则线段a和b的比例中项为 ． 【答案】6 【分析】本题考查成比例线段，掌握比例中项的定义是解题关键．根据比例中项的定义列比例式即可得解，注意线段不能为负． 【详解】解：设线段a和b的比例中项为c， ∴， 解得：，（舍）， 故答案为：6． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为 ．    【答案】或 【分析】先根据勾股定理得到AC＝5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4， ∴AC＝5， ∵DE∥BC， ∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5， 设AD＝x，则AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝， 在Rt△A′BC中，A′C＝， ∵△A′EC是直角三角形， ∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×cot∠ACB＝， ∴AD＝；    ②点A在线段AB的延长线上（）2+（5﹣x）2＝（x）2， 解得x1＝4（不合题意舍去），x2＝．    故AD长为或． 故答案为：或． 【点晴】本题考查了勾股定理和平行线等分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1）a＝12，b＝8；（2）x＝4． 【分析】（1）利用，可设，，则，然后解出的值即可得到、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 【详解】解：（1） 设，， ， ， ， ，； （2）是的比例中项， ， 是线段，， ． 【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． 【经典例题四 黄金分割】 【例4】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵P为的黄金分割点，， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2021个黄金三角形的腰长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由黄金三角形的定义得，同理是第二个黄金三角形，看作第三个黄金三角形，则，得出规律，即可得出结论． 【详解】，，是第一个黄金三角形， 底边与腰之比等于， 即， ， 同理：是第二个黄金三角形，是第三个黄金三角形， 则， 即第一个黄金三角形的腰长为， 第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为， 第三个黄金三角形的腰长为，， 第2021个黄金三角形的腰长是， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金三角形，等腰三角形的性质，规律型等知识；熟练掌握黄金三角形的定义，得出规律是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）若点B是线段的黄金分割点（），，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割点．掌握黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解题关键．根据黄金分割点的定义即得出，代入数据，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为 （保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 故答案为：． 4．（20-21九年级上·上海宝山·阶段练习）五角星是同学们常见的图案，在正五角星存在黄金分割数其中量得五角星，计算，的长度．（保留两位小数）    【答案】的长度为，的长度为 【分析】可得是的黄金分割点，，设，则有，，可得，即可求解． 【详解】解：， 是的黄金分割点， ， ， 设，则有， ， ， 解得：，(舍去)， ()， ()， 答：的长度为，的长度为． 【点睛】本题考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，理解定义，掌握解法是解题的关键． 【经典例题五 比例中项】 【例5】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据比例中项的定义“如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或，那么线段c是线段a和b的比例中项”进行解答即可得． 本题主要考查比例中项的定义，熟练掌握比例中项的定义解题的关键． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵线段b是线段c和线段d的比例中项，且， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海闵行·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义；根据已知线段的比例关系与已知条件，设，代入转化一元二次方程求解即可． 【详解】解：设， 依题意，， ∴ ∴ 即 解得：或（舍去） ∴ 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【经典例题六 由平行判断成比例的线段】 【例6】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图D、E分别是的边、的延长线上的点，下列不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行线分线段成比例定理的逆定理得出A、B、C正确，D不正确，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，选项A正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴选项B正确，不符合题意； ∵， ∴，选项C正确，不符合题意； ∵不能判定， ∴选项D不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查根据所给的比例线段判断平行的结论，熟练掌握平行线分线段成比例定理及推论即可求解． 2．（24-25九年级上·上海宝山·开学考试）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式即可求得的长． 【详解】 DE∥BC， ， DB＝AE， ， ， ， AB＝5，AC＝10， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，E是菱形的边上的一点，交的延长线于F，连接，交于G点，求证：．    【答案】见解析 【分析】由四边形是菱形，即可得，，又由，根据平行线分线段成比例定理，即可证得． 【详解】证明：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理与菱形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用． 4．（20-21九年级上·上海松江·阶段练习）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝ ． 【答案】2 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到,，分别计算出和，最后根据得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接DF，过点G作 ，过点A作，垂足为O， MN交AO于点H, 得， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∵D、F是中点， ∴ ∴， ， ∵， 故答案为：2． 【点睛】本题考查三角形的中线、平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用平行线分线段成比例定理计算出三角形高的比例． 【经典例题七 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例7】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线等分线段定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ，即， 解得：． 故选B． 1．（2025九年级上·上海青浦·专题练习）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段的中点以及平行线分线段成比例，过点作交的延长线于点，则为等腰三角形，由点为线段的中点可得出为的中位线，进而可得出，代入即可得出结论． 【详解】过点作交的延长线于点，如图1所示． ∵，是的平分线， ， ． ∵，， ∴， 是中点， ∴ ∴点F是的中点， 为的中位线， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两竖格线间的距离相等， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么 ； 【答案】/ 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理可得，代入数值后解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 4．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作，垂足为G，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M，则四边形是矩形，证明，得出为等腰直角三角形从而得到，即可得解； （2）设，则，求出，，再由平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】（1）解：过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M， ， 则， 四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：设，则， ， ， ∵， ∴． 【拓展训练一 与黄金分割点有关的证明问题】 1．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 【答案】是；见解析 【分析】本题主要考查了黄金分解的定义，根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可得出答案． 【详解】解：是，证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即点F是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， 即， ∴矩形是黄金矩形． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查折叠作图，黄金分割点的定义，勾股定理，掌握黄金分割的比值是解题的关键． （1）先运用勾股定理得到，然后在和中，运用解题计算即可证明； （2）先对折矩形，然后再折叠，使得点落在第一次的折痕上，即可得到角． 【详解】（1）证明：如图，连接， 设正方形的边长为，则． 在中，， 则． 设，则， 在和中， 有， 即， 解得， 即点P是的黄金分割点()； （2）方法如图所示: 第一步：对折矩形纸片,使与重合，得到折痕，把纸片展平； 第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，落点为点，并使折痕经过点，得到折痕，同时，得到线段.则 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【答案】(1) (2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析 (3)点D到线段AE的距离为 【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）先求出，再求出的值，即可得出结论； （3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 【拓展训练二 比例线段与几何图形综合应用】 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折痕EG折叠,使EB落在线段EA上，得到点B的新位置B1 ,因而线段EB1=EB，类似的，通过折痕AF折叠,使AB1落在线段AB上，得出点B1的新位置B2 ,因而线段AB2=AB1.则点B2就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论. 【答案】证明见解析 【分析】设正方形ABCD的边长为a，根据勾股定理求出AE的长，再根据E为BC的中点和翻折不变性，求出AM的长，二者相比即可得到黄金比． 【详解】证明：设正方形纸片ABCD边长为. 由折叠可知：EB=EC=a .   ∴ EB1=EB=a， ∵正方形纸片ABCD中，AB=a,∠ABC=90°. ∴在Rt△ABE中，AE= = =a, ∴ ， 由折叠可知， ，即 AB. ∴ , 即：点B2是线段AB的黄金分割点. 【点睛】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比． 2．（20-21九年级·上海松江·阶段练习作业）下面我们做一次折叠活动：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开． 第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为时，称这个矩形为黄金矩形） 【答案】答案见解析 【分析】设正方形BCNM的边长为2，利用对折的性质得ACNC＝1，再在△ABC中根据勾股定理计算出AB，接着利用对折得AD＝AB，所以CD＝AD﹣AC＝1，于是有，然后根据黄金矩形的定义进行判断． 【详解】解：由题意可得正方形BCNM的边长为2， ∵正方形BCNM沿AF对折， ∴ACNC＝1， 在△ABC中，∵BC＝2，AC＝1， ∴AB， ∵AD＝AB， ∴CD＝AD﹣AC＝1， ∴， ∴矩形BCDE就是黄金矩形． 【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了折叠的性质． 3．（20-21九年级上·上海长宁·阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【答案】（1）、、，，;（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据“共边三角形”的概念可求解，则有，，进而问题可求解； （2）由（1）及题意可进行求解； （3）由题意易得，，进而问题可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： 以BF为公共边的“共边三角形”为：、、， 由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； （2）证明：由“共边三角形”的性质： 即：， ∴， ∴； （3）解：由“共边三角形”的性质：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据“共边三角形”的概念找到成比例的线段，然后进行解决问题即可． 【拓展训练三 平行线分线段成比例多结论问题】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【答案】[填空]（1）；（2）1；（3）；[论证]见解析；[猜想] 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是通过构造三角形的中位线为使用平行线分线段成比例作铺垫． [填空]（1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； [论证]见上述解析； [猜想] 仿照（1）求解即可． 【详解】[填空]：解：（1）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：1； （3）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为：; [论证]：上述已证明； [猜想]解：取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系．      (1)问题发现：如图1，当点在线段上时，之间的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，当点在的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明； (3)问题拓展：如图3，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长． 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质由可证，得到，从而可得； （2）同（1）可证，得到，故； （3）由可知，由（2）的结论可得，根据勾股定理求正方形边长为，从而可得，延长交于，再由平行线分线段成比例定理求的长，从而可知的长，在中，根据勾股定理求的长，再由，即可求得的长． 【详解】（1）解：， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：不成立， 四边形是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：由（2）可得：，， ， ， ， 在上， 在同一条直线上， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 延长交于， ，   ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、正方形的性质、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理，是解题的关键． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （2）过点C作，交于点E，根据平行线分线段成比例定理可得，角平分线的概念和平行线性质可得出，再根据等角对等边得出，最后根据等量代换即可得证； （3）由勾股定理可得，由折叠的性质得出，，由（1）知，，从而求得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵ ，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； （2）成立；理由如下： 过点C作，交于点E， 证明： ，， 是的角平分线， ， ， ； ， ， ； （3）在中，，，， ， 由折叠性质可知：，， 由（1）可知：， ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握相关性质定理、灵活转化比例关系是解题的关键． 【拓展训练四 三角形一边的平行线一梯子型问题】 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算，得到答案，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14， （1）求AB的长． （2）如果AD=7，CF=14，求BE的长． 【答案】(1) 4 10 (2) 9 【详解】【详解】（1）根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例可得，从而可得，再由AC=14即可求出AB的长； （2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，运用比例关系求出BH及HE的长，后即可得出BE的长． 【详解】（1）∵AD∥BE∥CF， ∴， ∴， ∵AC=14， ∴AB=4， （2）过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示： 又∵AD∥BE∥CF，AD=7， ∴AD=HE=GF=7， ∵CF=14， ∴CG=14﹣7=7， ∵BE∥CF， ∴， ∴BH=2， ∴BE=2+7=9． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是掌握三条平行线截两条直线，得的对应线段成比例． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长． (2)如果，，线段x是线段和线段的比例中项，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列方程，解方程求出； （2）根据平行线分线段成比例定理求出，再根据比例中项的概念计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理、比例中项的概念，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【拓展训练五 三角形一边的平行线一X字型问题】 1．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． (1)与的位置关系是 ； (2)若，当F为的中点时，求的长． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据，得，据此可得与的位置关系； （2）过点F作于H，先求出得，再由勾股定理求得的长，证为的中位线得，，证为等腰直角三角形得，据此可得的长． 【详解】（1）解：与的位置关系是：，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：过点F作于H，如图所示： 在中，，，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∴点H为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵为等腰三角形，且， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，理解直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，解一元一次方程，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即的长为5． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明得出，同理可得，则， ，进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证； （2）①勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，得出，即可得证； ②根据菱形的性质结合已知条件得出，则，过点作交于点，根据平行线分线段成比例求得，然后根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ∵ ∴， 在中， ∴ ∴， 同理可得，则， 又∵ ∴ ∴四边形是菱形； （2）①证明：∵四边形是平行四边形，． ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵四边形是菱形； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点，    ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 1．（24-25九年级上·上海金山·期末）已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例性质，两外项之积等于内项之积，解答即可． 本题考查了比例性质，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 只有得到，其余都不成立， 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是理解题意，先根据，，求出，再求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，再根据平行线分线段成比例定理计算，得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理，找准对应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交于H， 则， 是的边的中点， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：C 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】本题考查了比例式，读懂题意，则根据，，，，求出，因为将减小，故把代入算出调整后的，即可作答． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵将减小， ∴调整后的， ∵电流表示数才能为0， ∴， ∵，，， 则， 解得， ∴， 即增大， 故选：A． 6．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，再把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走 米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意主持人至少走的距离为（米） 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，是的中线，E是上一点，且．连接并延长交于点F，过点A作//交的延长线于点G，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入已知数据计算即可． 【详解】∵AG//BC，AD= 4AE， ∴ ∵D为BC的中点， ∴BD=DC=BC， ∵AG// BC， ∴， ∴BE= 3(GF+ FE)， BF= 6GF， ∴6GF- EF= 3GF+ 3EF， ∴EF= GF， ∴GF: BE=4: 21， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 10．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形和相似三角形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质、平行线分线段成比例的性质是解题的关键．根据平行四边形对角线平分面积可得，，再结合O为的中点可得，，并由和平行线分线段成比例的性质可得，，最后转化得到即可解答本题． 【详解】解：平行四边形， ， 点O为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 11．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）已知线段a，用尺规作图法把它分成的两条线段，要求写出作法． 【答案】见详解 【分析】如图，设线段AB=a，在线段AB上求作一点C，使得AC∶CB=3∶4，作法如下：1、过点A画射线AM；2、以点A为圆心，以任意长AD为半径画弧，在射线AM上依次截取AF=3AD，FE=4AD；3、连接BE，再过点F作FC∥BE，交AB于点C． 【详解】解：如图，设线段AB=a，在线段AB上求作一点C，使得AC∶CB=3∶4，作法如下： 1、过点A画射线AM， 2、以点A为圆心，以任意长AD为半径画弧，在射线AM上依次截取AF=3AD，FE=4AD； 3、连接BE，以点E为圆心，AD长为半径画弧，交AM于一点H，EB于一点G，再以点F为圆心，AD长为半径画弧，交AM于点K，然后以点K为圆心，HG为半径画弧，交于一点，连接点F与这一点，交AB于点C，则FC∥BE； ∴点C即为所求，即AC∶CB=3∶4． 【点睛】本题主要考查比例线段，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键． 12．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意可设，，，再代入，即可求解； （2）根据m是a、b的比例中项，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴可设，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵m是a、b的比例中项， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 即线段的长为． 【点睛】本题主要考查了比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a、b、c三个量成连比例即，b叫做a和c的比例中项是解题的关键． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期末）探究比例的性质．已知：a，b，c，d，是一组不为0的数，且分式成立（即a，b，c，d成比例）．试猜想和两分式之间的关系，并证明你的猜想． 【答案】；见解析 【分析】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论． 【详解】解：猜想：，理由是： ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD） 【答案】见解析 【分析】连接GF，设正方形的边长为1，由折纸第一步，可知DF=，在Rt△BCF中，根据勾股定理得出BF=，则A′F=﹣1．设AG=A'G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，根据勾股定理由GF不变得出A′F2+A′G2=DF2+DG2，列出关于x的方程，解方程求出x=，即可说明点G是AD的黄金分割点． 【详解】如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=． 在Rt△BCF中，BF==， 则A′F=BF﹣BA′=﹣1． 设AG=A′G=x，则GD=1﹣x， 在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2， 即， 解得x=， 即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）． 【点睛】本题考查黄金分割的概念：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．熟记黄金分割的概念是解题关键. 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，角平分线的应用、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）根据可得，，结合条件可推出，即可求证； （2）求出，根据题意可得，进而得； （3）由题意得，结合是的中点，可得，根据可推出，进而得即可求解； 【详解】（1）证明：∵， ，，， ∵AD平分， ∴， ， ， ． （2）解：∵，，， ∴， ∵平分， 由题意得：， ∴， ∴； 故答案为： （3）解：是的平分线，，， 是的中点，， ∵， ， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 比例线段重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+5大拓展训练+自我检测） 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 比例中项 题型六 由平行判断成比例的线段 题型七 由平行截线求相关线段的长或比值 拓展训练一 与黄金分割点有关的证明问题 拓展训练二 比例线段与几何图形综合应用 拓展训练三 平行线分线段成比例多结论问题 拓展训练四 三角形一边的平行线一梯子型问题 拓展训练五 三角形一边的平行线一X字型问题 知识点一：线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海虹口·期末）若，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）四条线段，，，成比例，若，，，则线段的长为 ． 知识点二： 比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海长宁·期中）若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海静安·模拟预测）若，则 ． 知识点三： 黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 【即时训练】 1．（24-25九年级上·上海青浦·期末）已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·期末）人的上半身长与下半身长的比约为（黄金比），这时人的身长比例看上去更美观．小明的妈妈身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，根据“黄金比”，她购买的高跟鞋鞋跟最合适的高度是 （结果精确到）． 知识点四：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【即时训练】 1．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，在中，，，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，这是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是 ． 【经典例题一 比例的性质】 【例1】（2025·上海奉贤·模拟预测）若，则（　　） A． B． C． D． 1．（2025·上海奉贤·模拟预测）北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 2．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则 ． 3．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知非零实数，，满足，则的值为 ． 4．（2025八年级·全国·专题练习）看谁力量大（打一数学名词），谜底就是比例（力）．比例有很多性质，在数学证明和计算中有着广泛的应用．人教版八年级第十五章：分式，章末数学活动1就是探究比例的性质． 【经典例题二 比例线段】 【例2】 （24-25九年级上·上海松江·单元测试）某地图上1cm2面积表示实际面积900m2，则该地图的比例尺是（   ） A． B． C． D． 1．（20-21九年级上·上海长宁·期末）若a：b：c＝2：4：5，且a+b+c＝22，则a的值为（　　） A．10 B．6 C．4 D．8 2．（24-25九年级·上海松江·单元测试）已知，则 . 3．（24-25九年级上·上海青浦·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 4．（24-25九年级上·上海松江·期中）小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    【经典例题三 成比例线段】 【例3】（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）若是8和4的比例中项，则x的值为（   ） A． B． C． D．以上答案均不对 1．（24-25九年级上·上海杨浦·期末）美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近时，越给人一种美感．如图所示某女士身高，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿高跟鞋的高度大约为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·上海松江·专题练习）已知线段，则线段a和b的比例中项为 ． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是边AB上一点，DE∥BC交AC于点E，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，则AD长为 ．    4．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）已知线段a、b满足a：b＝3：2，且a＋2b＝28 （1）求a、b的值． （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【经典例题四 黄金分割】 【例4】（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点，看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2021个黄金三角形的腰长是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）若点B是线段的黄金分割点（），，则的长为 ． 3．（2025·上海虹口·模拟预测）二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图，一把二胡的弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长为 （保留根号）．    4．（20-21九年级上·上海宝山·阶段练习）五角星是同学们常见的图案，在正五角星存在黄金分割数其中量得五角星，计算，的长度．（保留两位小数）    【经典例题五 比例中项】 【例5】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）已知线段c是线段a、b的比例中项，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025·上海闵行·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段 ． 3．（24-25九年级上·上海闵行·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段分割成长、短两条线段，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段叫做线段的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点．若，则的长为 ． 4．（24-25九年级上·上海闵行·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【经典例题六 由平行判断成比例的线段】 【例6】（24-25九年级上·上海宝山·期末）如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图D、E分别是的边、的延长线上的点，下列不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海宝山·开学考试）如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长是 ． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，E是菱形的边上的一点，交的延长线于F，连接，交于G点，求证：．    4．（20-21九年级上·上海松江·阶段练习）如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC上的中点，连接AE，BF，CD交于点G，AG：GE＝2：1，△ABC的面积为6，设△BDG的面积为S1，△CGF的面积为S2，则S1＋S2＝ ． 【经典例题七 由平行截线求相关线段的长或比值】 【例7】（24-25九年级上·上海杨浦·期末）某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中，，，，（单位：），则的长度是（   ） A． B． C． D． 1．（2025九年级上·上海青浦·专题练习）如图，中，是中点，是的平分线，交于．若，，则的长为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 2．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两竖格线间的距离相等．不同竖格线上的三点，，在同一直线上，若线段，则线段的长为 ． 3．（24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，与分别相交于点A、B、C，与分别相交于点D、E、F，，，那么 ； 4．（2025九年级上·上海松江·专题练习）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作，垂足为G，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【拓展训练一 与黄金分割点有关的证明问题】 1．（2025九年级上·上海虹口·专题练习）宽与长之比为的矩形叫黄金矩形．如图：如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，正方形纸片．现对纸片做如下操作：第一步，对折纸片，使边与重合，得到折痕；第二步，将折叠，得到折痕；第三步，将折叠，使顶点落在折痕上点处． (1)求证：点恰为线段的黄金分割点； (2)现有矩形纸片，其中，如图所示．请你借助这张纸片，设法折出一个的角．要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述），并在图中画出各步骤的折痕位置，注明角的位置，不需要证明． 3．（24-25九年级上·上海宝山·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． (1)黄金矩形的长 ； (2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； (3)在图②中，连接，求点到线段的距离． 【拓展训练二 比例线段与几何图形综合应用】 1．（24-25九年级上·上海静安·阶段练习）如图,用纸折出黄金分割点：裁一张正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折痕EG折叠,使EB落在线段EA上，得到点B的新位置B1 ,因而线段EB1=EB，类似的，通过折痕AF折叠,使AB1落在线段AB上，得出点B1的新位置B2 ,因而线段AB2=AB1.则点B2就是线段AB的黄金分割点.请你证明这个结论. 2．（20-21九年级·上海松江·阶段练习作业）下面我们做一次折叠活动：第一步：在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图1的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展开． 第二步：如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处． 第四步：展平纸片，按照所得的点D折出DE，矩形BCDE就是黄金矩形，你能说明为什么吗？（注：当矩形的宽与长的比为时，称这个矩形为黄金矩形） 3．（20-21九年级上·上海长宁·阶段练习）【新概念定义】若有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”．如图（1）与是以为公共边的“共边三角形”．“共边三角形”的性质：如图（1）共边与，连结第三个顶点并延长交于，则． 【问题解决】 如图（2），已知在中，为的中点，为的中点，的连线交于． （1）找出以为公共边的所有“共边三角形”，若的面积为？，分别求出这些“共边三角形”的面积； （2）求证：； （3）若将“为的中点”条件，改为“”，则______． 【拓展训练三 平行线分线段成比例多结论问题】 1．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期末）问题背景：如图，已知四边形是正方形，点是射线上一点，连接，在右侧以为边作正方形，连接，探究之间的数量关系．      (1)问题发现：如图1，当点在线段上时，之间的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，当点在的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论，再给予证明； (3)问题拓展：如图3，当点在的延长线上时，设与交于点，若，，求的长． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）【问题背景】一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．已知是的角平分线．求证：． (1)【初步探究】小慧想到了构造角平分线的平行线来解决问题，所以她给出的证明思路是：如图1，过点C作，交的延长线于点E，……就可以运用所学知识予以证明．请你沿着小慧提供的思路写出下面的证明过程； (2)【类比研究】小慧类比上面的思路继续研究，如图2，已知是一个外角的平分线，是否还成立？请说明理由； (3)【应用拓展】直接利用上面的结论解决问题：如图3，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．若，，请直接写出的长． 【拓展训练四 三角形一边的平行线一梯子型问题】 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，，求的长． 2．（24-25九年级上·上海松江·阶段练习）如图，已知AD∥BE∥CF，它们以此交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F．若，AC=14， （1）求AB的长． （2）如果AD=7，CF=14，求BE的长． 3．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F． (1)如果，，，求的长． (2)如果，，线段x是线段和线段的比例中项，求x的值． 【拓展训练五 三角形一边的平行线一X字型问题】 1．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，E是上一动点，以为直角边构造等腰直角，，交于点F． (1)与的位置关系是 ； (2)若，当F为的中点时，求的长． 2．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且． (1)如果，求的长； (2)如果，，求的长． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）课本再现 思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． (1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线，垂足为． 求证：是菱形．    (2)知识应用：如图，在中，对角线和相交于点，．    ①求证：是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求的值． 1．（24-25九年级上·上海金山·期末）已知（a，b，x，y均不为零），则把它改写成比例式后，正确（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·期中）地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（    ） A．33 B．330 C．550 D．600 3．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，点C把线段分成两条线段和，如果，则称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点D把线段分成两条线段和，若，则称点D是线段的黄金“左割”点，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·上海青浦·期末）如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图所示为一测量电路，为待测电阻，为可调电阻，R，，为已知电阻，E为直流电压源，A为电流表，调节的电阻时会出现一种现象，即当电流表读数为0时，有，这个现象叫做电桥平衡，并且此时的电阻R对电路无影响．由上式便可通过的电阻求得的电阻，现已知，．当时电流表读数为0，那么此时将减小，则需要如何变，电流表示数才能为0？ A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 6．（2025·上海长宁·模拟预测）若，则 ． 7．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）为庆祝中华人民共和国成立75周年，我校开展了以“奋进新征程，歌声献给党”为主题的红歌大合唱比赛活动，如图，汇演舞台的形状为矩形，宽度为10米，如果主持人站立的位置是宽度AB的黄金分割点，那么主持人从台测点沿方向走到主持人的位置至少需走 米． 9．（24-25九年级上·上海虹口·期末）如图，是的中线，E是上一点，且．连接并延长交于点F，过点A作//交的延长线于点G，则 ． 10．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，平行四边形的对角线、相交于点E，点O为的中点，连接并延长，交的延长线于点D，交于点G，连接、，若平行四边形的面积为54，则的面积为 ． 11．（20-21九年级上·上海嘉定·期中）已知线段a，用尺规作图法把它分成的两条线段，要求写出作法． 12．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长． (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 13．（24-25九年级上·上海虹口·期末）探究比例的性质．已知：a，b，c，d，是一组不为0的数，且分式成立（即a，b，c，d成比例）．试猜想和两分式之间的关系，并证明你的猜想． 14．（24-25九年级上·上海松江·单元测试）折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点： 第一步：如图(1)，先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF. 第二步：如图(2)，将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD） 15．（24-25九年级上·上海嘉定·期末）阅读材料，并解决问题． 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则，下面是这个定理的部分证明过程． 【证明】如图②，过点作，交的延长线于点E． 【任务】 （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分： （2）填空：如图③，在中，，，，平分，则的长是______； （3）如图④，在中，是的中点，是的平分线，交于点，，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$