第27讲平面向量的概念及其线性运算讲义-2026届高三数学一轮复习

第五单元　平面向量、复数 第27讲　平面向量的概念及其线性运算 一、知识梳理 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 既有　　　　又有　　　　的量叫作向量  用a,b,c,…或,,…表示 向量的 长度 向量的　　　　称为向量的长度(或称模)  　　　　或　　　　  零向量 　　　　的向量叫作零向量,零向量的方向是不确定的  记作　　　  单位向量 长度等于　　　　的向量,叫作单位向量  用e表示,|e|=　　　  相等向量 　　　　相等且　　　　相同的向量叫作相等向量  向量a和b相等,记作　　　  平行(或共 线)向量 方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量  两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　  2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量　　　的运算,叫作向量的加法  　　　　法则  　　　　法则  (1)加法交换律:a+b=　　　.  (2)加法结合律:(a+b)+c=　　  减法 求两个向量差的运算叫作向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的　　　  　　　　法则  a-b=　　　  数乘 规定实数λ与向量a的　　　　是一个向量,这种运算叫作向量的数乘  (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　.  (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0或a=0时,λa=　　　　  λ(μa)=　　　　,  (λ+μ)a=　　　　,  λ(a+b)=　　　  3.向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=　　　　.  二、核心原则‌ （1）‌向量基本概念‌ ‌零向量‌：长度为0，方向任意，与任何向量共线。 ‌单位向量‌：长度为1，方向与原向量相同 。 ‌相等向量‌：长度和方向均相同，与起点无关。 ‌共线向量‌：方向相同或相反，平行向量即共线向量。 （2）‌线性运算规则‌ ‌加减法‌：三角形法则（首尾相接）和平行四边形法则。 ‌数乘运算‌：λa表示长度缩放|λ|倍，方向由λ的符号决定。 ‌运算律‌：交换律、结合律、分配律（向量与实数）。 （3）‌共线定理‌ ‌判定‌：a与b共线 ⇔ 存在唯一实数λ使b=λa（a≠0）。 ‌应用‌：三点共线问题、参数求解。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：向量概念辨析‌ ‌策略‌：紧扣定义，注意零向量、单位向量的特殊性。 【例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C. ‌题型2：向量线性运算‌ ‌策略‌：（1）图形法：画出向量关系图，利用几何图形简化运算。 （2）代数法：直接应用加减法和数乘公式。 【例2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. ‌题型3：向量共线定理应用‌ ‌策略‌：（1）构造方程b=λa，解参数λ。 （2）三点共线问题转化为向量共线。 【例3】（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，，所以， 故选：A. ‌题型4：参数求解（含参线性运算）‌ ‌策略‌：根据向量关系列方程，注意系数匹配。 【例4】（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得，又因为点在上， 所以，解得或（舍去）.故选：B. ‌题型5：几何图形中的向量表示‌ ‌策略‌：利用中点公式、重心公式等简化计算。 【例5】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 四、典例欣赏 【例6】[2024·云南昆明期末] 已知O为△ABC的内心,角A为锐角,sin A=,若=μ+λ,则μ+λ的最大值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 【详解】 法一:因为点O是△ABC的内心,所以a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c, 则a+b(+)+c(+)=0, 整理得(a+b+c)+b+c=0, 则=+,所以μ=,λ=, 所以μ+λ=,则=1+. 因为角A为锐角,sin A=,所以cos A=. 由余弦定理得cos A==,则b2+c2-bc=a2, 故==. 因为+≥2(当且仅当b=c时取等号), 所以1-≥1-=,所以=1+≥1+=, 所以μ+λ≤,故μ+λ的最大值为.故选C. 法二:示意图如图所示,延长AO,交BC于点D. 设=y,即-=y(-),则=y+(1-y). 设=x=x[y+(1-y)] =xy+x(1-y), 则 故λ+μ=x. 设△ABC的内切圆与BC切于点E,与AB切于点F, 设圆O的半径为r, 因为sin A=且A为锐角, 所以sin A=2sincos==, 则=,解得tan=或tan=(舍去), 故sin=cos, 又sin2+cos2=1,所以sin=(负值舍去), 则=,即||=4r,由图知||≥||=r, 所以x==≤,故μ+λ的最大值为. 故选C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五单元　平面向量、复数 第27讲　平面向量的概念及其线性运算 一、知识梳理 1.向量的有关概念及表示 名称 定义 表示 向量 既有　　　　又有　　　　的量叫作向量  用a,b,c,…或,,…表示 向量的 长度 向量的　　　　称为向量的长度(或称模)  　　　　或　　　　  零向量 　　　　的向量叫作零向量,零向量的方向是不确定的  记作　　　  单位向量 长度等于　　　　的向量,叫作单位向量  用e表示,|e|=　　　  相等向量 　　　　相等且　　　　相同的向量叫作相等向量  向量a和b相等,记作　　　  平行(或共 线)向量 方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量  两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　  2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律 加法 求两个向量　　　的运算,叫作向量的加法  　　　　法则  　　　　法则  (1)加法交换律:a+b=　　　.  (2)加法结合律:(a+b)+c=　　  减法 求两个向量差的运算叫作向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的　　　  　　　　法则  a-b=　　　  数乘 规定实数λ与向量a的　　　　是一个向量,这种运算叫作向量的数乘  (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　.  (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0或a=0时,λa=　　　　  λ(μa)=　　　　,  (λ+μ)a=　　　　,  λ(a+b)=　　　  3.向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=　　　　.  二、核心原则‌ （1）‌向量基本概念‌ ‌零向量‌：长度为0，方向任意，与任何向量共线。 ‌单位向量‌：长度为1，方向与原向量相同 。 ‌相等向量‌：长度和方向均相同，与起点无关。 ‌共线向量‌：方向相同或相反，平行向量即共线向量。 （2）‌线性运算规则‌ ‌加减法‌：三角形法则（首尾相接）和平行四边形法则。 ‌数乘运算‌：λa表示长度缩放|λ|倍，方向由λ的符号决定。 ‌运算律‌：交换律、结合律、分配律（向量与实数）。 （3）‌共线定理‌ ‌判定‌：a与b共线 ⇔ 存在唯一实数λ使b=λa（a≠0）。 ‌应用‌：三点共线问题、参数求解。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：向量概念辨析‌ ‌策略‌：紧扣定义，注意零向量、单位向量的特殊性。 【例1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．零向量没有方向 C．相等向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【详解】对A，由，不能得到方向相同，所以未必成立，故A错误； 对B：零向量的方向是任意的，故B错误； 对C：根据相等向量的概念，C正确； 对D：共线向量是指方向相同或相反的向量，故D错误. 故选：C. ‌题型2：向量线性运算‌ ‌策略‌：（1）图形法：画出向量关系图，利用几何图形简化运算。 （2）代数法：直接应用加减法和数乘公式。 【例2】（24-25高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. ‌题型3：向量共线定理应用‌ ‌策略‌：（1）构造方程b=λa，解参数λ。 （2）三点共线问题转化为向量共线。 【例3】（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】 因为三点共线，所以可设， 所以， 因为三点共线，所以可设， 因为 ，，所以， 所以， 所以， 即，解得，，所以， 故选：A. ‌题型4：参数求解（含参线性运算）‌ ‌策略‌：根据向量关系列方程，注意系数匹配。 【例4】（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得，又因为点在上， 所以，解得或（舍去）.故选：B. ‌题型5：几何图形中的向量表示‌ ‌策略‌：利用中点公式、重心公式等简化计算。 【例5】（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 四、典例欣赏 【例6】[2024·云南昆明期末] 已知O为△ABC的内心,角A为锐角,sin A=,若=μ+λ,则μ+λ的最大值为 ( C )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 【详解】 法一:因为点O是△ABC的内心,所以a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c, 则a+b(+)+c(+)=0, 整理得(a+b+c)+b+c=0, 则=+,所以μ=,λ=, 所以μ+λ=,则=1+. 因为角A为锐角,sin A=,所以cos A=. 由余弦定理得cos A==,则b2+c2-bc=a2, 故==. 因为+≥2(当且仅当b=c时取等号), 所以1-≥1-=,所以=1+≥1+=, 所以μ+λ≤,故μ+λ的最大值为.故选C. 法二:示意图如图所示,延长AO,交BC于点D. 设=y,即-=y(-),则=y+(1-y). 设=x=x[y+(1-y)] =xy+x(1-y), 则 故λ+μ=x. 设△ABC的内切圆与BC切于点E,与AB切于点F, 设圆O的半径为r, 因为sin A=且A为锐角, 所以sin A=2sincos==, 则=,解得tan=或tan=(舍去), 故sin=cos, 又sin2+cos2=1,所以sin=(负值舍去), 则=,即||=4r,由图知||≥||=r, 所以x==≤,故μ+λ的最大值为. 故选C. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$