江苏省镇江第一中学等校2025～2026学年度高三上学期8月期初考试数学试题

高三学情调研 数学试题 命题单位：江苏省扬中高级中学 2025.08.20 注意事项：考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ） A. 0.484 B. 0.628 C. 0.936 D. 0.968 3. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线与平面平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某医疗研究所为了检验某种血清能起到预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，利用列联表计算得的观测值. 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 则作出“这种血清能起到预防感冒的作用”出错的可能性不超过（ ） A. B. C. D. 5. 从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组，则在甲被选中的条件下，乙被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个圆锥的体积为，圆锥内有一圆柱，圆柱的一个底面在圆锥的底面上，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ） A. 这组数据的极差为4 B. 这组数据的方差为2 C. 这组数据的众数等于平均数 D. 这组数据的第70百分位数为2025 10. 在正方体中，点满足，则（ ） A. 与一定是异面直线 B. 与一定是异面直线 C. D. 平面 11. 已知函数，则（ ） A. 在内单调递增 B. 当方程有三个不等的实根时， C. 当不等式恰有三个不等的正整数解时， D. 当过点可作曲线的三条切线时， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中常数项为__________. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 14. 一个箱子里有6个球，分别以标号，若有放回地取三次，每次取一个球，记至少取出一次的球的个数为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求； （2）证明：. 16. 如图，四棱柱的底面为平行四边形，，，动点在线段上（含端点）. （1）求的长； （2）记与所成的角为，求的最大值并指出此时点的位置. 17. 强基计划某试点高校为选拔基础学科拔尖人才，对考生设置两项能力测试：学科知识整合能力指标x（考察数学、物理等学科知识的交叉应用）和创新思维能力指标y（考察逻辑推理、问题建模等能力）.随机抽取5名考生的测试结果如下表： 6 8 9 12 2 3 4 5 6 （1）若学科知识整合能力指标的平均值， （ⅰ）求t的值； （ii）求y关于x的经验回归方程，并估计学科知识整合能力指标为14时的创新思维能力指标； （2）现有甲、乙两所试点高校的强基计划笔试环节均设置了三门独立考试科目，每门科目通过情况相互独立； 甲高校：每门科目通过的概率均为，通过科目数记为随机变量X； 乙高校：第一门科目通过概率为，第二门科目通过概率为，第三门科目通过概率为，通过科目数记为随机变量Y； 若以笔试环节通过科目数的期望为决策依据，分析考生应选择报考哪所高校. （附:经验回归方程中和的最小二乘估计分别为：） 18. 如图，四棱锥的底面为梯形，，为直角三角形，. （1）设平面平面，证明：； （2）已知在同一个球面上，且球心在平面上. （i）证明：平面平面； （ii）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求的长. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若，判断的零点个数并证明； （3）若对任意，求实数的取值范围. 高三学情调研 数学试题 命题单位：江苏省扬中高级中学 2025.08.20 注意事项：考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】-160 【13题答案】 【答案】2 【14题答案】 【答案】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）集合 （2）证明：依题意，集合， ，， 令，即，，解得或， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，，即集合， 由（1）得，集合， 因此. 【16题答案】 【答案】（1）； （2）；点与点重合 【17题答案】 【答案】（1）（i）；（ⅱ），7.5 （2）该考生通过甲高校的考试科目数为X，则， 则. 设该考生通过乙高校的考试科目数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以， 当时，此时，得， 当时，此时，又，得， 当时，此时，又，得， 所以，当时，该考生报考甲高校或乙高校都可以； 当时，该考生更应报考甲高校； 当时，该考生更应报考乙高校. 【18题答案】 【答案】（1） 在四棱锥中，，平面，平面， 因此平面，而平面平面，平面， 所以. （2）（i） 取中点，连接，由，得四边形为平行四边形， 则，，是外接圆圆心， 又四边形是等腰梯形，则点在外接圆上，即点与点重合， 取中点，连接，由为直角三角形，，得为外接圆圆心， 而是四棱锥外接球球心，于是平面，又平面， 所以平面平面. （ii）. 【19题答案】 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2） 当时，，  ，所以是一个零点， 求导得，令， ， 当时，， 当时，， 综上 ，即在上单调递增， 又， 所以存在唯一的零点， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，又， 所以在上还有一个零点， 综上，在上有且仅有两个零点； （3）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $