2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系及一元二次不等式解法，通过回顾一次函数与方程、不等式联系，结合园艺围矩形实例导入，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实例引入培养数学眼光，通过探究三个“二次”关系并用口诀强化数学思维，例题讲练结合提升数学表达。助力学生建立知识体系，为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第一课时 1 回顾引入 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系是怎样的? 一次函数y=2x+3 一元一次方程2x+3=0 一元一次不等式2x+3>0 O x y 3 一元一次不等式解集的端点, 是对应一元一次方程的根, 也是对应一次函数图象与x轴交点的横坐标. kx+b>0(<0)的解集, 是对应一次函数y=kx+b的图象在x轴上方(下方)的部分对应的x的取值范围. x=－ x>－ 2 回顾引入 根据下列一次函数的图象, 直接写出下列不等式的解集. (1)2x+4>0 ____________ y=2x+4 O x y 4 －2 y=－x+3 O x y 3 3 (2)2x+4≤0 ____________ (3)－x+3≥0 ____________ (2)－x+3<0 ____________ (即y>0) (即y≤0) (即y≥0) (即y<0) {x|x>－2} {x|x≤－2} {x|x≤3} {x|x>3} 3 实例引入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉. 若栅栏的长度是24m, 围成的矩形区域的面积要大于20m2, 则这个矩形的边长为多少米? 12－x x x(12－x)>20 整理得x2－12x+20<0 又0<x<12 4 一、一元二次不等式的概念 一般地, 我们把只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的不等式, 称为一元二次不等式. 其一般形式为: ax2+bx+c>0 (≥0) 或ax2+bx+c<0 (≤0) 其中a, b, c均为常数, 且a≠0 x2－12x+20<0 －x2+3x－4>0 x2－4x<5 x2－4x≥5 它们都是关于x的一元二次不等式 不等式(a+1)x2+x－2<0是不是一元二次不等式? 5 二、二次函数的零点 一般地, 对于二次函数y=ax2+bx+c, 我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 思考: 二次函数y=x2－12x+20的零点是什么? 函数的零点不是点, 而是一个实数, 是使函数值等于0的自变量的值. 注意: 6 探究 一元二次不等式x2－12x+20<0与二次函数y=x2－12x+20之间的关系? 一元二次不等式x2－12x＋20>0的解集就是二次函数y＝x2－12x＋20的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合； x2－12x＋20<0的解集就是二次函数y＝x2－12x＋20的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. 7 推广 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是相应二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合； ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是相应二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合. a>0 8 新知应用 教材P53练习T2 练习 2. 当自变量x在什么范围取值时, 下列函数的值等于0?＞0?小于0? 9 新知应用 教材P53练习T2 练习 2. 当自变量x在什么范围取值时, 下列函数的值等于0?＞0?小于0? y=－3(x2－4x+4) =－3(x－2)2 10 三、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 R 一元二次不等式解集的端点, 恰好是对应一元二次方程的根, 也恰好是对应二次函数与x轴交点的横坐标, 也即相应二次函数的零点. 三个”二次” 的关系: 注意:二次项系数的符号和不等号的方向的关系. 口诀:大于取两边,小于取中间. ——大前提:二次项系数大于0 11 四、一元二次不等式的解法 教材P52例1,例2,例3 例1 求不等式x2－5x+6>0的解集. 12 四、一元二次不等式的解法 教材P52例1,例2,例3 例2 求不等式9x2－6x+1>0的解集. 13 四、一元二次不等式的解法 教材P52例1,例2,例3 例3 求不等式－x2+2x－3>0的解集. 14 四、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤： (1)标准化： 二次项系数为正, 右边为0的形式; ax2+bx+c>0 (≥0)或ax2+bx+c>0 (≥0)的形式, 其中a>0. (2)求根： 计算Δ, 判断并利用因式分解法或求根公式法求方程的根; (3)得解： 画二次函数草图, 数形结合, 得不等式解集. “大于取两边，小于取中间” ——大前提: 二次项系数大于0 口诀: 化正 判别、求根 画图、得解 15 新知巩固 练习 1. 求下列不等式的解集: ——解简单的一元二次不等式 题型 教材P53练习T1 16 新知巩固 练习 1. 求下列不等式的解集: ——解简单的一元二次不等式 题型 17 新知巩固 巩固练 求下列不等式的解集: ——解简单的一元二次不等式 题型 18 新知巩固 巩固练 求下列不等式的解集: ——解简单的一元二次不等式 题型 19 例题讲练 概念辨析 1.判断正误(正确的打“√”, 错误的打“×”). 2.不等式6x2+x－2≤0的解集为__________. (1)不等式ax2+x－1<0是关于x的一元二次不等式. ( ) (2)二次函数y=x2－4的零点是(2, 0), (－2, 0). ( ) (3)若函数y=ax2+bx+c(a>0)的两个零点分别是1, 2, 则关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|1<x<2}. ( ) (4)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根, 则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R. ( ) 思考.当a满足什么条件时, 不等式(a+1)x2+x－2<0是一元二次不等式? 20 例题讲练 ——简单一元二次不等式的解法 题型 1. 不等式x2－2x－5>2x的解集是_____________. 2. 不等式－x2+6x－10>0的解集为_____________. 21 例题讲练 ——简单一元二次不等式的解法 题型 3. 已知集合A={x| 3x－2－x2<0}, B={x| x－a<0}, 且B⊆A, 则实数a的取值范围为____________. 22 例题讲练 ——简单一元二次不等式的解法 题型 解一元二次不等式的一般步骤: (1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0); (2)求出相应一元二次方程的根, 或判断出方程没有实根; (3)画出相应二次函数图象, 方程有根的将根标在图中; (4)观察图象位于x轴上方或下方的部分, 对比不等式中不等号的方向, 写出解集. 23 24 $$