2.1.1 等式性质与不等式性质课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 第一课时 1 问题1 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗? (1)某路段限速40km/h； (2)某品牌酸奶的质量检查规定, 酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%, 蛋白质的含量p应不少于2.3%； (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； (4)连接直线外一点与直线上个点的所有线段中, 垂线段最短. 教材P37问题1 设△ABC的三条边为a,b,c, 则 a + b ＞ c , a – b ＜ c . A B E D C 如图，设C是直线AB外的任意一点，CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任意一点，连接线段CE，则CD＜CE. 2 问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调査，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元? 教材P37问题2 解：设提价后每本杂志的定价为 x 元. 销售量: 不等关系：销售总收入不低于20万. 销售总收入: 将不等关系表示成不等式(组)的思路: (1)读懂题意,找准不等式所涉及的量; (2)用适当的不等号连接; (3)同时成立的多个不等关系用不等式组表示. 3 一、不等式的概念 在数学中，我们用不等式来表示不等关系. 文字语言 数学符号 文字语言 大于 ＞ 大于，高于，超过 小于 ＜ 小于，低于，少于 大于或等于 ≥ 至少，不少于，不低于 小于或等于 ≤ 至多,不多于,不超过 4 新知巩固 教材P40练习 5 二、实数a，b大小的比较 实际问题蕴含的不等关系 列不等式 解不等式 抽象 不等式的性质 关于实数大小的基本事实： 比较实数大小 作差 与0比较 比较大小常用方法: 作差比较法 6 三、作差法比较大小 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 练习 若实数x,y满足x>y, xy>0, 比较 与 的大小. 作差比较法: ①作差 ②变形 ③判号 ④下结论 变形要彻底: 变为几个最简因式的积商或几个非负数的和 变形的常用方法: 配方、因式分解、通分、分子分母有理化等 7 新知巩固 教材P40练习 8 新知巩固 补充 1.比较 的大小. 2.比较1618与1816的大小. 作商比较法: ①考察两数是否为正 ②作商 ③变形 ④与1比较大小 ⑤下结论 作商法的理论依据: 设M>0,N>0,则: 注意:当M<0,N<0时也能用作商法,但结论反号. 9 探究 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 不等关系 等面积法 相等关系 10 探究 Q：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试证明。 (面积关系) a,b>0 大正方形面积>4个直角三角形的面积和 大正方形面积 =4个等腰直角三角形的面积和 赵爽弦图中的不等关系 11 四、重要不等式 作差法 4 2 可用于求最值 12 例题讲练 概念辨析 1.判断正误(正确的打“√”, 错误的打“×”). (1)a不小于b表示为a>b. ( ) (2)任意两个实数a,b之间的大小关系,有且只有a>b,a<b两种. ( ) (3)若x－y<0,我们就说x大于y. ( ) (4)∀a,b∈R,且a≠b,有a2+b2>2ab. ( ) 2.设m=2a2+2a+1,n=(a+1)2,a∈R,则m,n的大小关系是__________. “a≤b”的理解 13 例题讲练 ——用不等式(组)表示不等关系 题型 3. 如图,在一块面积小于450m2的矩形空地中心位置建造一个仓库,仓库的四周建成绿地,仓库的长x(单位:m)大于宽y(单位:m)的3倍.试用不等式组表示上面的不等关系. 1. 下面表示“a与b的差是非负数”的不等式正确的是 ( ) A. a－b>0 B. a－b<0 C. a－b≥0 D. a－b≤0 2. 某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h,同一车道上的车间距d不得小于10m,用不等式表示为( ) A.v≤120km/h且d≥10m B. v≤120km/h或d≥10m C.v≤120km/h D. d≥10m 5m 5m 5m 5m 绿地 14 例题讲练 ——作差法比较大小 题型 例1 当x<1时,比较x3－1与2x2－2x的大小. 思考3. 若x∈R且x≠1,你能比较 与1－x的大小吗? 思考2.本例中,若x>1,它们的大小关系如何? 15 例题讲练 ——作差法比较大小 题型 【探究训练】 1.若a≠2且b≠－1,则M=a2+b2－4a+2b与－5的大小关系是 ( ) A. M>－5 B. M<－5 C. M=－5 D. 不能确定 2.若实数a>b, 则a2－ab_______ba－b2.(填“>”或“<”) 16 例题讲练 ——作差法证明不等式 题型 例2 已知a>b>1, 证明下列不等式: (1) ; (2) . 【探究训练】 已知a>0,求证: . 17 18 $$