7.4.1二项分布 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦二项分布核心知识点，通过复习离散型随机变量方差、概率模型等旧知，结合问题链引导学生观察随机试验特征、判断n重伯努利试验，搭建从已有知识到伯努利试验、二项分布的学习支架，梳理知识脉络。 其亮点是以问题驱动和实例探究为主，借助飞碟射击、产品检验等实例引导学生用数学眼光观察现实，通过公式推导和赛制分析培养数学思维，用分布列和概率计算强化数学语言表达。助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

二项分布 《 高中数学 · 选择性必修三 》 1 离散型随机变量的方差： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， 方差的性质： 则称 为随机变量X的方差，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 复习回顾 3 复习回顾 本节将研究两类重要的概率模型---二项分布和超几何分布. (1) P(A∪B) = P(A) + P(B) (当A与B互斥时); (2) P(AB) = P(A)·P(B) (当A与B相互独立时). 前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义, 这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型, 吻合模型用公式去求概率简便. 除古典概型外，那么求概率还有什么模型呢？ (3) P(AB) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A) 问题1 观察以下随机试验，它们有什么相同的特征？ （1）掷硬币时正面朝上或反面朝上； （2）检验一件产品结果为合格或不合格； （3）飞碟射击时中靶或脱靶； （4）医学检验结果为阳性或阴性. 上述随机试验都只包含两个可能结果. 伯努利试验 定义：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： （1）同一个伯努利试验重复做n次； （2）各次试验的结果相互独立. (1)每次试验是在同样的条件下进行的; (2)各次试验中的事件是相互独立的; (3)每次试验都只有两种结果:发生与不发生; (4)每次试验,某事件发生的概率是相同的. “重复”意味着各次试验的条件相同, 试验成功的概率也相同. 解: 随机试验 是否是n重伯努利试验 伯努利试验 重复试验的次数 (1) (2) (3) 问题2 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少? (1).抛掷一枚质地均匀的硬币10次. (2).某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8,连续射击3次. (3).一批产品的次品率为5 ,有放回地随机抽取20次. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)， 用下图的树状图表示试验的可能结果： 试验结果 X的值 3次独立重复试验的结果两两互斥，每个结果都是由3个相互独立事件的积. 则X的概率分布列为: P(X=0) 你能求出剩下的概率吗？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题3 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的? 用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)， 则X的概率分布列为: P(X=0) P(X=1) P(X=2) P(X=3)= P(A1A2A3) = 3×0.8×0.22 = 3×0.82×0.2 = 0.83 于是,中靶次数X的分布列可简写为: P(X=k) =×0.8k×0.23-k , (k=0, 1, 2, 3). 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题4 如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些? 写出中靶次数X的分布列. （1）连续射击4次，中靶次数X＝2的结果有 共6个. (2)中靶次数X的分布列为 P(X=k)=×0.8k×0.24-k, (k=0, 1, 2, 3, 4). 中靶次数X的分布列可简写为： 二项分布 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). = [(1-p)+p]n = 1. X 0 1 … k … n p … … 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 问题5 对比二项分布与二项式定理，你能看出它们之间的联系吗? 如果把p看成b ，1-p看成a ，则 就是二项式定理[(1-p)+p]n的展开式的第k＋1项，由此才称为二项分布. 服从二项分布的事件A恰好发生k次的概率 正好是二项式定理 展开式的第k＋1项，故有 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 追问 二项分布和两点分布有什么联系？ 两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布； 二项分布可以看做两点分布的一般形式. 二项分布的分布列如下表 当n=1时，可以得到两点分布的分布列如右表： 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 甲、乙、丙三人分别射击同一个目标，都是“中”与“不中”两种结果，是3重伯努利试验 (2) 12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12, 0.25)； (3) 100 件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6, 0.1). 判断正误 @《创新设计》 考点聚焦突破 基础知识诊断 16 【例1】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次, 求： (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内等价于4≤X≤6, 于是 (1)恰好出现5次正面朝上的概率; (2)正面朝上出现的频率在[0.4, 0.6]内的概率. 解: 设A= “正面朝上”, 则P(A)=0.5. 用X表示事件A发生的次数, 则X~B(10, 0.5). (1) 恰好出现5次正面朝上等价于X=5, 于是 P(X=5)= ×0.55×(1-0.5)5 = ×0.510 P(4≤X≤6)= ×0.510+ ×0.510 + ×0.510 【例2】图7.4-2是一块高尔顿板的示意图. 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉, 小木钉之间留有适当的空隙作为通道, 前面挡有一块玻璃. 将小球从顶端放入, 小球下落的过程中, 每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下, 最后落入底部的格子中, 格子从左到右分别编号为0, 1, 2, …, 10. 用X表示小球最后落入格子的号码, 求X的分布列. 解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5. 因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10, 0.5). X的概率分布图如右图所示： 于是，X的分布列为 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0009765625 0.009765625 0.0439453125 0.1171875 0.205078125 0.24609375 0.205078125 0.1171875 0.0439453125 0.009765625 0.0009765625 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ 解法1：采用3局2胜制, 甲最终获胜有两种可能的比分2:0或2:1, 前者是前两局比赛全胜, 后者是前两局甲、乙各用一局且第3局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为 = 0.648. 类似地, 采用5局3胜制, 甲最终获胜有3种比分3:0或3:1或3:2. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为 因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利. p1 = 0.62+[ ×0.61×(1-0.6)1]×0.6 = 0.62+ ×0.62×0.4 p2=0.63+ ×0.63×0.4+ ×0.63×0.42 = 0.68256. 【例3】甲、乙两选手进行象棋比赛, 如果每局比赛甲获胜的概率为0.6, 乙获胜的概率为0.4, 那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？ = 0.68256. p1 = P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) 采用5局3胜制, 不妨设赛满5局, 用X表示5局比赛中甲获胜的局数, 则X~B(5, 0.6). 甲最终获胜的概率为 因为p2>p1, 所以采用5局3胜制对甲更有利. 实际上, 比赛局数越多, 对实力较强者越有利. 解法2：采用3局2胜制, 不妨设赛满3局, 用X表示3局比赛中甲获胜的局数, 则X~B(3, 0.6). 甲最终获胜的概率为 = 0.648. p1 = P(X=2)+P(X=3)= ×0.62×0.4+ ×0.63 = ×0.63×0.42+ ×0.64×0.41+ ×0.65 思考 为什么假定赛满3局或5局，不影响甲最终获胜的概率? 采用3局2胜制赛满3局时，若前2局获胜，那第3局的胜负并不影响甲获胜；同样，采用5局3胜制赛满5局，若前3局获胜，那后2局的胜负并不影响甲获胜，若前4局胜3局，那第5局的胜负也不影响甲获胜. 所以赛满3局或5局，均不会不影响甲最终获胜的概率. 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下: (1) 明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； (2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； (3) 设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X~B(n, p). 如果 三、二项分布的均值与方差 探究:假设随机变量X服从二项分布B(n, p), 那么X的均值和方差各是什么？ 1. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次, X表示 “正面朝上”出现的次数. (1) 求的分布列; (2) 解： 1. 二项分布： 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~B(n，p). 若X~B(n, p)，则有 2. 二项分布的均值与方差： 在 重伯努利试验中， 记 是“第 次试验的结果” 显然， = ∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响, ∴上面等式成立. 答案　 例1.设随机变量X～B，则P(X＝3)等于________. 解析　X～B，由二项分布可得，P(X＝3)＝C·＝. $$