4.3.2 等比数列的前n项和公式 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教案聚焦等比数列前n项和公式及推导，以“国王赏麦故事”创设情境，通过复习等比数列定义、通项公式及等差数列倒序相加法，搭建从旧知到新知的探究支架，引导学生从特殊到一般构建求和模型。 特色在于融合数学史与问题驱动，以归纳猜想→推理论证突破错位相减法难点，通过多方式推导（乘q或1/q）培养逻辑推理与运算能力，结合古代诗词例题渗透数学文化，为教师提供公式课教学范式，助力学生提升数学抽象与建模素养。

课题：等比数列的前n项和 教材：人教A版2019年选择性必修第二册第四章第三节 内容解析 内容本质：等比数列定义的代数变形 内容解析：既是特殊函数，又是后续研究微积分问题能力的有力工具，起到承上启下的作用。 蕴含的思想方法：归纳推理，分类讨论。 育人价值：数学抽象，逻辑推理，数学建模，数学运算。 学情分析 认知基础：1.经历了探索等差数列通项公式，求和公式以及等比数列通项公式的过程，积累了特殊数列求和的研究经验。 2.初步具备了从函数与方程的角度看待数列问题的思维习惯。 认知困难：1.等比数列的前n项和公式导出。 2.“倒序相加法”和“错位相减法”思维方法不同，容易产生知识的负迁移。 重点难点 教学重点：等比数列前n项和公式的导出及其应用。 重点突出策略：“趣”设情境，激发兴趣；“巧”搭阶梯，逐步递进；“重”在思考，深入理解；“用”于生活，形成结构。 教学难点：用错位相减法推导等比数列前n项和公式。 难点突破策略：1.“归纳猜想→推理论证→行程结构→应用迁移”等活动过程。 2.通过问题串层层深入。 目标达成 目标设置：1.能够导出等比数列前n项和模型。 2.能够推导等比数列前n项和公式。 3.能够应用公式解决简单问题。 目标达成：1.能够从情境中抽象并建立等比数列前n项的数学模型； 2.能够理解错位和相减的意义，并能够推导公式； 3.能够运用公式解决具体的，简单的问题。 教学资源 1. 数学史短剧，中国古代诗词：激发学生学习兴趣和探究欲望。 2. PPT教学课件。 3. 手机拍摄，实物投影：及时传输学生书写内容，丰富互动方式，激发学生的成就感。 教学组织 认知过程：猜想公式→推导公式→分析公式→应用公式——突出教学重点，突破教学难点。 学生活动：归纳猜想→推理论证→内化认知→应用迁移——认知暗线 教师活动：引导归纳→点拨释疑→补充完善→总结提升——活动明线 以本节课为载体，提炼公式课教学的一般路径，站在上号一节课的角度去体会如何上好一类课，进而上号一门课。 教学方法 问题探索法及启发式讲授法 教学过程： 一、复习回顾 回顾等比数列定义，通项公式。 （1）等比数列定义：（， （2）等比数列通项公式： （3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。 根据等差数列的定义 （1） （2） （1）+（2）得： 二、情境引入 阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”：国王舍罕王，宰相达依尔（国际象棋发明者）。 问题1:如何计算（观察法，图形法）　 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨 问题2：一般化： n 1 2 3 4 5 …… n 1 3 7 15 31 ？ 问题3：首相是1，公比是q等比数列的前n项和 =？（数学猜想，特殊值检验） 特殊值特征研究： n 1 2 3 4 5 …… n 1 11 111 1111 11111 ？ 公式猜想：= 等比数列前n项公式： 一般地，首相为，公比为q的等比数列前n项和 = 如何推导证明？ 学生活动：理解公式推导的过程 建议同学们阅读教材P34-P35，如何求一个等比数列前n项和的相关内容。 学生活动讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现： 由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 （1） （2） 由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。 当q=1时， 当时， 问题4：等比数列前n项和公式的推导步骤是什么？ 第一步:两边同乘以q，书写要错开； 第二步：两式相减，提取公因式； 第三步：化简，注意两边能否同时除以。 问题5：是不是两边只能同时乘以q，能不能乘以其他数？ 方式1：两边同乘以，过程如下： （1） （2） （1）-（2）可得： 方式2：两边同乘以，过程如下： （1） （2） （1）-（2）可得： 选择乘以哪个数的标准：运算简洁明了。 回归情境： 以1000粒40g为标准，超过7000亿吨。 ①以2023年世界粮食年产量26.28亿吨为标准，需要连续种植270年。 ②全世界人口80亿计算，每人每天吃1kg为标准，可以连续吃240年。 ③堆到一起，可以堆成长10米，宽8米，高从地球到太阳的距离的举行长方形柱体。 总结：指数爆炸式增长的威力。 ( 高斯用首尾相加法来消项 )四.对比教学 1.等差数列求和公式 倒序相加法 ( 高斯 ) 本质利用等差数列定义 ( 欧拉用错位相减法来消项 ) 2.等比数列求和公式 错位相减法 本质利用等比数列定义 ( 欧拉 ) 五、例题精讲 例1．运用公式解决国王赏麦故事中的难题。 变式练习：⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63. ⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和. 例2.我国明代数学家程大位所著《算术统宗》记载： 远望魏巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 翻译：已知等比数列中， .例3（教材P35例7）.已知数列是等比数列. 总结：等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，，五个量中“知三求二”（方程思想）。 例4．已知等比数列的首项为，前n项和为，若 总结：等比数列前n项和公式中，q的分类讨论。 六、课堂小结 1、等比数列的前n项和公式： 当q=1时， （特殊情况） 当时， 2、等比数列的前n项和推导方法：错位相减法。 3、数学思想：从特殊到一，分类讨论，归纳猜想。 七、课后作业 基础题：课本P37 练习1,3,4,5 提高题：1.课本P37 练习2 2.求和 探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其它推导方法？ 八、板书设计 ( 4.3.2 等比数列的前n项和 公式： 例1 例2 特征 例3 例4 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$