3.3 幂函数 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件围绕幂函数展开，先复习函数性质，再结合奥运后勤、正方形面积等现实情境问题引入，引导学生从旧知过渡到幂函数概念，搭建知识学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实抽象数量关系，通过研究五个具体幂函数的图象绘制、性质归纳及单调性证明培养数学思维。采用从特殊到一般的路径，用表格呈现性质，助力学生掌握函数研究方法，也为教师提供结构化教学方案。

3.3幂函数 复习回顾 前面学习了函数的概念,接着借助对图象的观察(数形结合),研究了函数的一些性质。本节我们将利用这些知识研究一类新的函数。 图象 图象+单调性 一、情境引入,激活旧知 问题1:阅读下列材料,回答问题: (1)如果奥运后勤人员以1元的价格购买了某种蔬菜,那么需支付的金额= (元),这里是的函数. (2)自由体操项目的场地为正方形,设其边长为,那么该正方形面积= ,这里S是的函数. (3)如果奥运村中某房间恰为立方体,设其棱长为,那么该立方体的体积= ,这里V是b的函数. (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= ,这里c是S的函数. (5)公路自行车比赛中,某运动员t秒内骑车行进了1,那么他骑车的平均速度= (),这里是的函数. 观察这些函数的解析式,他们在结构上有什么共同特征? 二、知识还原,获得新知 追问1:五个函数解析式是否可以变换成以为自变量,为因变量的形式?请进一步归纳变换后五个函数的解析式的共同特征。 (1); (2); (3); (4); (5). 都是以幂的底数为自变量; 幂的指数都是常数, 追问2:类似这样的函数你还能再举几个例子吗? 二、知识还原,获得新知 3. 取值可以是实数 幂函数定义 一般地,函数 叫做幂函数( ) ,其中 为自变量, 为常数。 注:1. 中前的系数为1,且后面没有其他项 2. 定义域与的取值有关 形如:, , , . 三、建立联系,明确目标 问题2:类比初中对三类具体函数的学习过程,我们知道幂函数的概念后,接下来应该研究什么? 追问2:你打算如何研究幂函数的性质? 一般函数的研究路径 追问1:你打算研究幂函数的哪些性质? 背景 概念 图象 性质 应用 四、任务探究,知识编译 作图象 观察图象 (分析性质) 归纳与猜想 证明或说明 幂函数的研究思路 中学阶段一般研究1,2,3,,-1这五种的幂函数 四、任务探究,知识编译 作图象 观察图象 (分析性质) 归纳与猜想 证明或说明 幂函数的研究思路 中学阶段一般研究1,2,3,,-1这五种的幂函数 R [0,+∞) {x|x≠0} R R R [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} R 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增 增函数 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递减 四、任务探究,知识编译 作图象 观察图象 (分析性质) 归纳与猜想 证明或说明 幂函数的研究思路 请尝试探究函数 四、任务探究,知识编译 请证明幂函数是增函数. 四、任务探究,知识编译 作图象 观察图象 (分析性质) 归纳与猜想 证明或说明 幂函数的研究思路 R [0,+∞) {x|x≠0} R R R [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} R 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增 增函数 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递减 四、任务探究,知识编译 作图象 观察图象 (分析性质) 归纳与猜想 证明或说明 幂函数的研究思路 请尝试探究函数 四、任务探究,知识编译 R [0,+∞) {x|x≠0} R R R [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} R 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增 增函数 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递减 请尝试归纳这五个函数的共性 四、任务探究,知识编译 问题3:研究这五个函数的目的是为了掌握幂函数这一类函数的性质,你能从中总结出幂函数更一般的特征吗? 幂函数的性质: (1)过定点(1,1); (2)幂函数的图象一定会在第一象限,一定不在第四象限; (3)当时,函数在区间)上是增函数; (4)当时,函数在区间上是减函数; (5) (6) 五、情境匹配,思想升华 问题4:已知幂函数f(x)的图象过点,求这个函数的解析式. 五、情境匹配,思想升华 问题5:利用幂函数的性质,比较下列两组数的大小. 六、反思表达,积累经验 问题5:反思并回答下列问题. (1)本节课我们学习了什么知识? (3)你认为在后续学习中对某一类函数的研究可以沿着怎样的路径进行? (2)回顾我们的研究过程,我们是怎样研究幂函数的? 背景 概念 图象 性质 数形结合 应用 定义域 值域 奇偶性 单调性 其他性质 描点法 从特殊到一般、类比、归纳 作业 必做题:教材P91习题3.3 选做题:自主探究函数的图像与性质. 五、情境匹配,思想升华 问题6:试用描点法画出函数的图象,求函数的定义域、值域;讨论函数的单调性、奇偶性,并证明. 六、反思表达,积累经验 问题5:反思并回答下列问题. (1)本节课我们学习了什么知识? (3)你认为在后续学习中对某一类函数的研究可以沿着怎样的路径进行? (2)回顾我们的研究过程,我们是怎样研究幂函数的? ①幂函数的概念;②5个常见幂函数的图象及其性质; ③幂函数的性质;④幂函数比较大小的方法. 研究目标:定义域、值域、单调性、奇偶性、其他性质 研究方法:从特殊到一般、数形结合 研究思路:作图象-观察图象(分析性质)-归纳猜想-证明或说明 四、任务探究,知识编译 作图象 观察图象 (分析性质) 归纳与猜想 证明或说明 幂函数的研究思路 R [0,+∞) {x|x≠0} R R R [0,+∞) [0,+∞) {y|y≠0} R 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 增函数 在(-∞,0]上单调递减, 在[0,+∞)上单调递增 增函数 在[0,+∞)上单调递增 在(-∞,0)上单调递减, 在(0,+∞)上单调递减 公共点 (1,1) (0,0) 中学阶段一般研究1,2,3,,-1这五种的幂函数 $$