专题5.1 一元二次方程（单元卷）-基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版 ）

专题5.1 一元二次方程 （年级：八年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用苏科版教材地区考题进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·江苏南京·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·江苏扬州·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 7．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 10．（23-24九年级上·江苏·期中）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程的解是 ． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若化简后的二次根式与是同类二次根式，则 ． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）用配方法解方程，方程可化为，则 ． 14．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为 ． 16．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 17．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时， ． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 21.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 22.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． （1）求证； （2）若，的面积为，求菱形的面积． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 24.（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． （1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题5.1一元二次方程 (年级：八年级考试时间：90分钟，满分120分) 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用苏科版 教材地区考题进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中 只有一项符合题目要求) 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B B B D D 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分) 11.x=0,5=1. 12.3. 13.4. 14.-1. 15.48. 16.-4048. 17.9. 18.5-1 2 三、解答题（本大题共6个小题，共58分） 19.(本小题满分8分) 解：(1)x2-6r-7=0, X2-6x=7, …1分 x2-6x+9=7+9,… 42分 (x-32=16, 3分 1/5 x-3=±4， 1=7,X2=-l;… 4分 (2)3x2+2x-2=0, d=3nb=2,c=-2, 1分 4=b2-4ac=22-4×3×-2)=28>0, 方程有两不等实数根，… 2分 x=-b±-4ae-2士28-1t5 3分 2a 6 3 3 ÷斯=+ 44分 3 20. (本小题满分8分) 解：（1)2t x-33x 3r2x+x-3=3xx-3 6r2+x-3▣3x2-9x 3x2+10x-3=0 1分 :4=102-4×3×-3=136>0, …2分 “x=-5tV34 3 -5+34-5-√34 x1= 32= 3分 3 5是该方程的解， 经检验，，=-5+34 .4分 3 ÷方程的解为5=-5+34 3 (2)解：2+6=3 x-2x2-4x+2 2x+2+6r=3x-2… 1分 2x+4+6x=3x-6 5x=-10 X=-2, 2分 经检验，x=-2使得x+2)(x-2)=0,… 3分 “x=-2是该方程的增根， 2/5 故该方程无解。 …4分 21.(本小题满分10分) (1)证明：A=b2-4ac =[2(n-1]-4n2-2nl… 1分 =4n2-8n+4-4n2+8n 2分 =4>0… 3分 无论n为何值方程总有两个不等实恨：4分 (2)解：方程有两个不相等实根， ABC为等腰三角形， 方程的其中一根应为10，…… 5分 .102-2n-1×10+n2-2n=0, 即：n2-22n+120=0, 6分 解得川1=12，乃2=10， 447分 当m=12时，方程为x2-22x+120=0, 解得x1=12,x2=10, .三边为10,10,12，周长为10+10+12=32， 8分 当m=10时，方程为x2-18x+80=0, 解得x1=8,x3=10, 三边为8,10,10，周长为8+10+10=28.10分 22.(本小题满分10分) (1)证明：：菱形ABCD, .AB=AD,∠B=∠D, AE⊥BC,AF⊥DC, .∠AEB=∠AFD=90°， ,△AEB2△AFD(AAS),… …3分 .AE=AF LAEF=∠AFE; 4分 3/5 (2)解：：菱形ABCD, ·BC∥AD,BC=AB, .∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°， ∠AEB=90°， .∠BAE=90°-60°=30°， B=2BE，6分 由(1)得，△AEB≌△AFD,AE=AF, ∠DAF=∠BAE=30°， ,∠EAF=120°-30°-30°=60°， .△AEF是等边三角形， 设等边△AEF的边长为a, :△AEF的面积为9√3， 5a=5 4 解得：a=6（负值已舍去)， .AE=6, 7分 设BE=x,则AB=2r, 在Rt△ABE中，BE2+AE2=AB2, x2+62=(2x)2, 解得：x=25(负值已舍去)， BE =23,BC=AB=43, 9分 菱形ABCD的面积=AE×BC=6×4V5=245.10分 23.(本小题满分10分) 解：(1)设“已升升”吉祥物的销售单价增加x元， 则当天销售量为280-10x件， 2分 (2)设该吉样物公仔的销售单价为y元（y>40), 则当天的销传量为[280-(y-40）×10件，4分 依题意，得：(y-30280-(y-40)×10=3610, 6分 4/5 整理，得y2-98y十2401=0,7分 解得：y=49.9分 答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元。…10分 24.(本小题满分12分) (1)解：把x=1,2=-2分别代入原方程 得， a1+m)2+b=0① …1分 a(-2+m)2+b=0②' ①-②得：3a2m-1=0, :a≠0， .2m-1=0, 解得：m2 1 …3分 :原方程为： 12 ax+2】 b=0, 4分 -69 6分 a 4" 将m=5和b=9代入第2个方程得， 2 a 4 解得：x=-1,x2=-4: 4444n44a4444,7分 (2)解：把第二个方程中的“r+2”看作第一个方程中的“x”,9分 :x的值为1或-2， 则”x+2”的值为1或-2：… 11分 故答案为：1或-2；… 12分 5/5 专题5.1 一元二次方程 （年级：八年级 考试时间：90分钟，满分120分） 试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，试卷结合使用苏科版教材地区考题进行精选细编，考查学生基础知识、基本技能，有较强的针对性！ 第 Ⅰ 卷（选择题，共30分） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列方程为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并正确判断是解题的关键． 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，根据定义依次判断． 解：A、符合定义，符合题意，故选项正确； B、含有两个未知数不符合定义，不符合题意，故选项错误； C、未知数的最高次数是3不符合定义，不符合题意，故选项错误； D、含有分式不符合定义，不符合题意，故选项错误； 故选：A． 2．（24-25九年级下·江苏南京·期末）一元二次方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解的方法求解方程即可． 解：， ， ∴或， ，， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 解：因为方程的两根分别是， 所以． 故选：A． 4．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，通过计算各选项对应的一元二次方程的判别式，判断是否存在实数根即可． 解：对于一元二次方程 ，判别式 ： 选项A：， ，，， ，方程有两个实数根． 选项B： ，，， ，方程无实数根． 选项C： ，，， ，方程有两个实数根． 选项D： ，，， ，方程有两个实数根． 综上，只有选项B的判别式为负，故无实数根． 故选B． 5．（2025·江苏扬州·二模）若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 6．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 7．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m是关于x的一元二次方程的一个实数根，且满足，则a的值为（   ）． A． B．1 C．或 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵m是关于x的一元二次方程的一个实数根， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理可得：， 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）平面直角坐标系中，P点坐标为，且实数，满足则点到原点的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，勾股定理，配方法，算术平方根，熟练掌握配方法是解题的关键．由点到原点的距离为：，结合逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可． 解：∵P点坐标为， ∴点到原点的距离为：， ∵， ∴ ， 故选：B． 9．（2025·江苏南京·模拟预测）已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加法，整式的混合运算，根的判别式等知识点由已知条件，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性． 解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 10．（23-24九年级上·江苏·期中）印度古算书中有一首用韵文写成的诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏．八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里．其余十二高声喊，充满活跃的空气．告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：“一群猴子分成两队，一队猴子数是猴子总数的的平方，另一队猴子数是12，那么这群猴子的总数是多少？”设这群猴子的总数是只，根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用猴子总数两队猴子数之和，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 解：这群猴子的总数是只， 一队猴子数是只． 根据题意得：． 故选：D． 第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分） 2、 填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·山东·阶段练习）方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； 将方程变形为，再解方程即可． 解：方程变形为， 或， 解得，， 故答案为：，． 12．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若化简后的二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式，解决本题的关键是熟记同类二次根式的定义， 根据同类二次根式的定义得到：，求出x的值，分别判断即可． 解：化简后的二次根式与是同类二次根式， ， 解得：，， 当时，，， 是最简二次根式，且二者相等，是同类二次根式， 故符合题意。 当时，， 不是最简二次根式，不符合题干“化简后的二次根式”的要求， 故不符合题意，应舍去， 综上所述，， 故答案为：3． 13．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）用配方法解方程，方程可化为，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 先移项，再等号两边同时加上一次项系数一半的平方即可． 解： ， ∴， 故答案为：4． 14．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的的两个实数根相等，然后计算根据，解出m的值即可． 解：∵一元二次方程的两个实数根相等， ∴，且， 解得， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，直线与轴交于点，与反比例函数交于点，将点绕点按逆时针方向旋转，其对应点恰好在轴上，则的值为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．先求得，，设，利用等积法求得，再证明，求得，据此求解即可． 解：如图，作轴于点，记直线交轴于点， 在直线中， 当时，，当时，， ∴，， ∴，，， 由旋转的性质得， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为：48． 16．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17．（2025·江苏淮安·二模）图①为淮安清晏园中的曲桥，桥身蜿蜒曲折，与周围亭台阁楼相映成趣．图②是某景区池塘的示意图，点与点由段曲桥连接，各段桥长如图所示（单位：），桥中各弯曲处均成直角．若边与边垂直，边比边长，则 【答案】9 【分析】本题考查了勾股定理，平移的性质，解一元二次方程，根据题意设，则，进而根据勾股定理，即可求解． 解：如图，作交的延长线于点，连接 设，则，依题意得 解得：或（舍去） 故答案为：． 18．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，过点A的直线与y轴交于点B．将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，设直线与y轴的负半轴交于点C，当时， ． 【答案】 【分析】过作轴于，过作交于，过作轴于，通过证明得出，，设，表示出，设，利用待定系数法求出直线的解析式，整理得①，结合，再利用勾股定理得到②，联立①②求出的值，即可解答． 解：过作轴于，过作交于，过作轴于， ∴， ∴， ∵将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，直线与y轴的负半轴交于点C， ∴，点必定在y轴的正半轴且在点下方， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵点A的坐标是， ∴， ∴，， ∴， ∴； 设，则直线解析式为， 代入，得， 解得， 整理得：①， ∵，，， ∴， 整理得：②， 得，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数与几何综合、直线的旋转、求一次函数解析式、全等三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，利用45度角构造“一线三垂直”全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共6个小题,共58分） 19.（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）先移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解； （2）代入求根公式求解即可． 解：（1）解：， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ， ∴， ∴方程有两不等实数根， ∴， ∴． 20.（本小题满分8分）（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）该方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，以及解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握相关运算步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并，再结合解一元二次方程的公式法求解，最后检验，即可解题． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，最后检验，即可解题． 解：（1）解： ， ， ， 经检验，是该方程的解， 方程的解为； （2）解： ， 经检验，使得， 是该方程的增根， 故该方程无解． 21.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． （1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （2）当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）时，为等腰三角形，的周长分别为28或32． 【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可． 解：（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，10，周长为． 22.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． （1）求证； （2）若，的面积为，求菱形的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据垂直的定义得到，进而推出，得到，再利用等边对等角即可证明； （2）根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，得到，通过证明是等边三角形，利用等边三角形的面积公式求出的边长，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 解：（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 设等边的边长为， ∵的面积为， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴菱形的面积． 【点拨】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形的性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 23.（本小题满分10分）（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是3610元； 【答案】（1）；（2）当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程为解题关键． （1）设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元，根据每增加1元，每天的销售数量将减少10件，每天的销售数量将减少10件列出代数式即可； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则每件的销售利润为元，每天可销售，利用总利润每件的销售利润每天的销售量，可列出关于y的一元二次方程求解即可． 解：（1）解：设“巳升升”吉祥物的销售单价增加元， 则当天销售量为件， 故答案为：； （2）设该吉祥物公仔的销售单价为y元（）， 则当天的销售量为件， 依题意，得：， 整理，得， 解得：． 答：当该吉祥物公仔的销售单价为49元时，该产品的当天销售利润是3610元． 24.（本小题满分12分）（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）对于问题：关于的方程的解是，、、均为常数，，求方程的解． （1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题： 小明的思路 第1步 把1，代入到第1个方程中求出的值； 第2步 把的值代入到第1个方程中求出的值； 第3步 解第2个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程中的“”看作第1个方程中的“”，则“”的值为　　　　，从而更简单地解决了问题． 【答案】（1），；（2）1或 【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）把，分别代入原方程求得，于是得到原方程为：，求得，将和代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”，即可得到答案． 解：（1）解：把，分别代入原方程得，， 得：， ∵， ∴， 解得：， 原方程为：， ， 将和代入第2个方程得，， 解得：，； （2）解：把第二个方程中的“”看作第一个方程中的“”， ∵x的值为1或, 则“”的值为1或； 故答案为：1或； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$