精品解析：云南省玉溪第一中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题

玉溪一中2025—2026学年上学期高一年级开学考 数学学科试卷 命题人：2028届数学备课组 一、单项选择题（每小题5分，共8小题，满分40分，每个小题只有一个正确选项.） 1. 若与互为相反数，则（ ） A. B. 4 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用多个非负数的和为零，则每个数均为零的性质即可求解. 【详解】若与互为相反数，则， 又，所以，解得， 所以. 故选：A. 2. 将因式分解，所得结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式和平方差公式即可得到答案. 【详解】. 故选：D 3. 集合，将集合分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用图象求得正确答案. 【详解】， 所以: A选项，阴影部分表示，不符合题意. B选项，阴影部分表示，符合题意. C选项，阴影部分表示，不符合题意. D选项，阴影部分表示，不符合题意. 故选：B 4. 如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直角三角形内角关系判断A；利用相似三角形性质判断BCD. 【详解】在中，，于点D， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，则，即，B正确； 对于C，由，得，则，即，C正确； 对于D，，则，即，D错误. 故选：D 5. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分、必要性定义，结合条件间的推出关系，即可得. 【详解】当，则，充分性成立， 当，则，可得或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，且相等的实数根为，逐一判断选项即可得解. 【详解】已知方程满足， 所以是方程的根， 所以成立，不成立， 故A选项正确；C选项错误； 因为一元二次方程有两个相等的实数根， 即， 所以，， 即， 故B，D选项错误. 故选：A． 7. 如图，已知PA是的切线，A为切点，PC与相交于B，C两点，，，则PA的长等于（ ）. A. 4 B. 16 C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，可知，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】取的中点，连接，设圆的半径为， 则，且， 因为，且， 即，解得，即. 故选：D. 8. 已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知：菱形ABCD的边长是5，则AO2+BO2＝25，则再根据根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3；代入AO2+BO2中，得到关于m的方程后，求得m的值． 【详解】由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2＝25，又有根与系数的关系可得：AO+BO＝﹣2m+1，AO•BO＝m2+3，∴AO2+BO2＝（AO+BO）2﹣2AO•BO＝（﹣2m+1）2﹣2（m2+3）＝25，整理得：m2﹣2m﹣15＝0，解得：m＝﹣3或5． 又∵△＞0，∴（2m﹣1）2﹣4（m2+3）＞0，解得m，∴m＝﹣3， 故选：A． 【点睛】将菱形的性质与一元二次方程根与系数的关系，以及代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，满分18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 下面变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于各选项中的左边式子进行化简变形，判断和右侧是否相等，即得答案. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误， 故选：ACD 10. (多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】依题意可得，即可得到或，即可求出，再代入检验即可； 【详解】解：因为，所以．因为，，所以或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意； 当时，，，符合题意．综上，或； 故选：AD 11. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】从图象分析，得到各个参数的正负与关系，并结合特殊点的函数值进行判断，得到答案. 【详解】从图象可以看出，的图象与轴的交点在原点上方，故， 的图象与轴交点为2个，故，即得， 对称轴为，即，所以， 当时，，即，，，ABD正确； 与时，相等且为正，故，即，C错误； 故选：ABD 三、填空题（每小题5分，共3小题，满分15分.） 12. 如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行线的性质进行求解即可. 【详解】因为，，所以． 因为，所以，解得， 所以． 故答案为：16. 13. 如图，中，已知，，，则它的内切圆的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】作于，利用勾股定理及三角形面积公式计算即得. 【详解】过作于，设，由， 得，解得，， 令内切圆半径为，由， 得，所以. 故答案为： 14. 若，且满足，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用可得，，，代入原式，再借助完全平方公式可化简求值. 【详解】∵，且， ∴，，， 原式 ． 故答案为：3 三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 分解因式: （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据因式分解法的步骤，有公因式的首先提取公因式，且一般首项系数变为正数．找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低指数次幂． 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 【小问4详解】 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，； （3）解不等式：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据根式、特殊角三角函数值等运算求得正确答案； （2）化简所求表达式，从而求得正确的答案； （3）分段去绝对值结合一元一次不等式来求得正确答案. 【详解】（1）原式； （2）原式， 因为，，所以，， 所以原式； （3）当时，有，解得，此时无解， 当时，有，解得，此时， 综上，不等式的解为. 17. 2024年3月10日，享有“地球王国世界花园”的百里杜鹃景区正式进入花季．今年杜鹃花季从3月10日持续至4月底，吸引了许多国内外游客前来观赏．现对某校初中生就“2024中国百里杜鹃花季”的了解情况进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． （1）根据以上信息可知：____补全条形统计图； （2）估计该校1500名初中学生中“基本了解”的人数约有____人； （3）样本中“很了解”的4名学生中，有3名八年级学生和1名七年级学生，现从这4人中随机抽取两人去参加教育局举办的“2024中国百里杜鹃花季”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是多少？ 【答案】（1）32，答案见解析 （2）600 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出总人数，即可求得的值及的人数，即可补全条形图； （2）由扇形统计图求解即可； （3）把3名八年级学生分别记为、、，1名七年级学生记为，画出树状图，即可得解. 【小问1详解】 抽样调查的学生人数为：（人）， ； 的人数为：（人）， ， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 估计该校1500名初中学生中“基本了解”的人数约有（人）； 【小问3详解】 把3名八年级学生分别记为、、，1名七年级学生记为， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的结果有6种， 刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是． 18. 一商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售数量为______件； （2）为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ （3）设商场每天盈利为元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？ 【答案】（1）32 （2）元 （3）每件商品降价15元，最多是元． 【解析】 【分析】（1）由题意可直接求得答案； （2）设每件商品应降价元，由题意列方程，即可求得答案； （3）设每件商品应降价元，由题意列出每天盈利的表达式，结合二次函数性质求解，即得答案. 【小问1详解】 平均每天可售出20件，单价每降低1元，平均每天可多售出2件， 若降价6元，则平均每天销售数量为件， 【小问2详解】 设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元， ，则， ，解得或， 为尽快减少库存，取， 所以每件商品应降价元； 【小问3详解】 设每件商品应降价元，则平均每天销售数量为件，每件盈利元， ， 当时，取到最大值1250， 故此时商场每天盈利最多，最多是元． 19. 在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交，于点，． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当和不平行，且点，分别在线段，上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由并结合平行线所截线段比相等即可证得； （2）过点作交的延长线于点，与的延长线相交于点，结合相似比得出，再转化得出，最后结合重心以及平行的性质即可得出. 【小问1详解】 因为是重心，所以， 又因为，所以，则； 【小问2详解】 （1）中的结论成立，理由如下： 如图2，过点作交的延长线于点，与的延长线相交于点， 则，，所以，， 所以， 又因为是的中点，即， 所以， 所以， 又因为，是重心，则，所以， 故（1）中的结论成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年上学期高一年级开学考 数学学科试卷 命题人：2028届数学备课组 一、单项选择题（每小题5分，共8小题，满分40分，每个小题只有一个正确选项.） 1. 若与互为相反数，则（ ） A. B. 4 C. 0 D. 2 2. 将因式分解，所得结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 集合，将集合分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，于点D，下列结论中错误的是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知PA是的切线，A为切点，PC与相交于B，C两点，，，则PA的长等于（ ）. A. 4 B. 16 C. 20 D. 8. 已知菱形的边长为5，两条对角线交于点，且、的长分别是关于的方程的根，则等于（ ） A. -3 B. 5 C. 5或-3 D. -5或3 二、多项选择题（每小题6分，共3小题，满分18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.） 9. 下面变形错误的是（ ） A. B. C. D. 10. (多选)已知集合，．若，则实数m的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 11. 二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共3小题，满分15分.） 12. 如图，点，分别在，上，，，若，则的长为________． 13. 如图，中，已知，，，则它的内切圆的半径为______. 14. 若，且满足，则的值为________． 三、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 分解因式: （1） （2） （3） （4） 16. （1）计算：； （2）先化简再求值：，其中，； （3）解不等式：. 17. 2024年3月10日，享有“地球王国世界花园”的百里杜鹃景区正式进入花季．今年杜鹃花季从3月10日持续至4月底，吸引了许多国内外游客前来观赏．现对某校初中生就“2024中国百里杜鹃花季”的了解情况进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题． （1）根据以上信息可知：____补全条形统计图； （2）估计该校1500名初中学生中“基本了解”的人数约有____人； （3）样本中“很了解”的4名学生中，有3名八年级学生和1名七年级学生，现从这4人中随机抽取两人去参加教育局举办的“2024中国百里杜鹃花季”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，刚好抽到两名八年级学生参加这次知识竞赛的概率是多少？ 18. 一商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售数量为______件； （2）为尽快减少库存，要使该商家每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ （3）设商场每天盈利为元，当每件商品降价多少元时，每天盈利最多？最多是多少元？ 19. 在中，已知是边的中点，是的重心，过点的直线分别交，于点，． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当和不平行，且点，分别在线段，上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $