安徽省桐城市第二中学2023-2024学年九年级上学期学科竞赛数学试题

桐城二中2024年五科总分赛数学试题 本试卷满分150分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题5分，共6小题，共30分） 1. 若实数，，满足，且，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知，则与最接近的整数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，在四边形中，，，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4. 设二次函数的图象的顶点为，与轴的交点为．当为等边三角形时，的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在反比例函数图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 6. 如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（每小题5分，共8小题，共40分） 7. 8点15分，时针与分针的夹角是______________． 8. 已知，是二次函数图象上不同两点，那么当时，值为_____． 9. 若关于x的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是___________． 10. 如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE=CE，连接BE，则tan∠EBC=____． 11. 不透明的袋子中有大小相同的5个红球，6个黑球，7个白球，现从袋中摸出15个球，则摸出的球中恰好有3个红球的概率是_____． 12. 某前驱式汽车，现有两对全新轮胎，每对轮胎若安装在前轮，则行驶公里后报废；若安装在后轮，则行驶公里后报废．为了延长总使用里程，可以行驶一段路程后交换前、后两对轮胎，那么最多可行驶______公里． 13. 设自然数m，n，，且，则__________． 14. 如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为_________． 三、解答题（共5题，共计80分，解答应写出文字说明，证明过程等解题步骤） 15. 已知，为实数，关于的方程恰有三个不相等的实数根． （1）求证： （2）若该方程的三个不等实根恰为某三角形的三内角的角度．求证：该三角形中必有一内角为． 16. 刘勰在《文心雕龙》中说：“造化赋形，支体必双；神理为用，事不孤立；夫心生文辞，运裁还虑，高下相须，自然成对．”在数学中也经常用对仗（对偶）思想解决有关问题，比如的对偶式是，可以用来无理式的有理化．请运用上述方法解决以下问题： （1）已知实数，满足，求的值． （2）求不超过的最大整数． 17. 如图，内接于，点是的内心，延长交于点，连接交于点E，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，且，求的长． 18. 爱好思考的小强同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3，，是的中线，于点，像这样的三角形均为“中垂三角形”，设，，． 【特例探究】 （1）如图1，当，时，_____，_____；如图2，当，时，_____，_____． 【归纳证明】 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想，，三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图4，在中，点E，F分别是，的三等分点，且，，连接，，，与交于点，若，，，求的长． 19. 【知识背景】 当且时，∵， 从而（当时取等号） 设函数由上述结论易得： 当时，该函数有最小值， 【应用举例】 已知函数与函数，则当时，函数有最小值． 【解决问题】 （1）当时，函数有最_____值为_____，此时_____． （2）已知某扇形的面积为4，求其周长的最小值及此时扇形的半径长． （3）如图所示，直线与双曲线的图象交于，两点． ①在轴上存在一点，使得最小，求出点坐标； ②线段上有一动点，双曲线上有一动点D，且平行于轴，试求的最大值． 桐城二中2024年五科总分赛数学试题 本试卷满分150分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题5分，共6小题，共30分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 二、填空题（每小题5分，共8小题，共40分） 【7题答案】 【答案】157°30′ 【8题答案】 【答案】2023 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】16 【14题答案】 【答案】## 三、解答题（共5题，共计80分，解答应写出文字说明，证明过程等解题步骤） 【15题答案】 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴或， 设这两个方程的判别式分别为，， 则，， ∴恒成立， ∵恰有三个不相等的实数根， ∴，， ∴； （2） 证明：设方程的根为，的两个根为，， 由根与系数的关系得，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴该三角形中必有一内角为． 【16题答案】 【答案】（1）2024 （2）3903 【17题答案】 【答案】（1） 证明：∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）5 【18题答案】 【答案】（1），，，； （2），证明如下： ∵， ∴， ∴，，， ∵，是的中线， ∴点是的重心， ∴，， ∴ ， ， ∴， 即； （3）4 【19题答案】 【答案】（1）小；；； （2）周长的最小值是8，此时扇形的半径长为2； （3）①点；②的最大值是1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $