精品解析：2025年河南省南阳市淅川县部分学校中考数学二模试卷

2025年河南省南阳市淅川县部分学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 负数的概念最早出现在《九章算术》中．把向东走记做“”，向西走应记做（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：根据题意，把向东走记做“”，向西走应记做， 故选：B． 【点睛】本题考查正负数的应用，理解正负数是表示相反意义的量是解答的关键． 2. ，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2025年2月9日，的累计下载量已超过1.1亿次，周活跃用户规模高达9700万．其中9700万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：9700万， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相乘法则． A.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； B．根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C、D选项均根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； B．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； C．∵， ∴此选项的计算错误， 故此选项不符合题意； D．∵， ∴此选项的计算正确， 故此选项符合题意； 故选：D． 4. 如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是关键． 根据从正面看得到的图形是主视图，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可知，立体图形的主视图为：第一层是三个小正方形，第二层右边是一个小正方形． 故选：D． 5. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出的值． 【详解】解：， 得， ， ∴ ， 故选：B． 6. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形内角和定理，得到，由轴对称的性质，得到，根据外角的性质即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵与关于直线AD对称， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的进行角度的计算． 7. 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 下列结论一定正确的是（ ） ①两园样本数据的中位数均在第3组； ②两园样本数据的众数均在第3组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查频数（率）分布直方图、中位数、众数、极差，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 分别根据中位数、众数和极差定义解答即可． 【详解】解：由统计图可知，两园样本数据的中位数均在第3组，故①正确； 甲园的众数在第2组，乙园的众数在第3组，故②结论错误； 两园样本数据的最大数与最小数都是在一个范围内，不能确定具体数值，因此差不一定相等，故③结论错误； 故选：A． 8. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示： 设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD面积之比是， 故选：A． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得． ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心位于原点O处，轴于点E，F为的中点，射线l的端点为O，将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，射线l与正方形的边的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，坐标规律，正方形的性质，正比例函数的性质，先由正方形求出，，，再求出第一次旋转后的交点坐标，再根据每8次一个循环，，得到第2025次旋转结束时与第一次旋转结束时，射线l与正方形的边的交点是同一个点求解即可． 【详解】解：把绕顺时针旋转得到线段，连接交于，过作交延长线与， ∵正方形的中心位于原点O处，轴于点E，F为的中点， ∴，，，， ∴，， ∵把绕顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正比例函数解析式为， 当时，， ∴， ∵射线l的端点为O，将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转结束时射线l与正方形的边的交点， ∵， ∴每8次一个循环， ∵， ∴第2025次旋转结束时，射线l与正方形的边的交点与第一次旋转结束时射线l与正方形的边的交点是同一个点，即， 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据平方差公式计算，然后计算减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：9． 12. 中华文明源远流长，旅游资源非常丰富，“五一”期间，小娄和小金两人准备从开封、洛阳、南京、杭州四个历史古城中各选择一个景点旅游，他们通过抽签的方式确定景点，那么他们两人恰好能抽到同一景点的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及他们两人恰好能抽到同一景点的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将开封、洛阳、南京、杭州分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好能抽到同一景点的结果有4种， ∴他们两人恰好能抽到同一景点的概率为． 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】m＜2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围． 【详解】解：， ∵a＝1，b＝-4，c＝2m，方程有两个不相等的实数根， ∴△＝b2−4ac＝（-4）2-4×2m＞0， ∴m＜2． 故答案为：m＜2． 【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 14. 如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了直角三角形的性质．连接、，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，所以，接着求出，则，然后根据弧长公式计算出弧的长度，然后利用图中阴影部分的周长弧的长，求值即可． 【详解】解：连接、， ∵绳子分别与空竹相切于点C，D， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧的长度， ∴图中阴影部分的周长弧的长． 故答案为：． 15. 如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取的中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是正确作辅助线，掌握相关知识的灵活运用． 连接交于E，，可推出，，从而得出当B、Q、E共线时，最小，作于H，设，则，，利用勾股定理求出，根据相似三角形的判定和性质求出，由即可得解． 【详解】解：如图，连接交于E， ∵于D， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵Q是的中点， ∴是定值，当B、Q、E共线时，最小，即的周长最小， 作于H，设， ∵， ∴， ∵Q是的中点，，， ， ∴， 在中，， ∵的周长最小值为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和实数的运算，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据立方根的性质、零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算； （2）先通分去掉小括号，再按照分式除法的运算法则进行计算，最后将数值代入求出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 当时， 原式． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术的不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四个等级：甲：不满意；乙：比较满意；丙：满意；丁：非常满意）．下面给出了部分信息． 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据是： 82，85，87，87，87，87，87，87，89，93，93，97． 抽取对B款聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据一样多，丙组的数据是： 81，83，83，85，87，88，88，88． 数据显示A款聊天机器人的评分数据中甲组数据占，乙组数据为a个．B款聊天机器人的评分数据中甲组数据占． AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 A 80 86 c B 86 b 90 根据以上信息，解答下列问题． （1）______，______，______． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 【答案】（1）5，88，87 （2）B款，理由见解析 （3）75人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）20减去丙、丁两组的数据和甲组的数据可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：A款聊天机器人的评分数据中甲组数据为（个）， ∴； ∵抽取的对B款聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据一样多，丙组的数据有8个， ∴丁组的数据有8个， ∴把B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88， ∴， 在A款的评分数据中，87出现的次数最多， ∴； 故答案为：5，88，87； 【小问2详解】 B款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： ∵B款机器人评分数据的平均数和中位数均比A款高， ∴B款聊天机器人更受用户喜爱（合理即可）； 【小问3详解】 （人）． 答：此次调查中对聊天机器人不满意的人数约为75人． 18. 研学实践：如图1所示的建筑物是一座具有现代风格的文化地标，某数学小组利用航模搭载的扫描仪采集建筑物的相关数据．如图2，点A是建筑物顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从建筑物前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米．已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算建筑物顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，）． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 设米，先用表示出，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：延长CD交AB于点H， 由题意得：，米， 设米， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴， 解得：， ∴米， ∴（米）， 答：的高约为米． 19. 如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点． （1）求点的坐标和该反比例函数的表达式． （2）将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式． （3）若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？ 【答案】（1）， （2） （3）点在反比例函数图像上，见解析 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键. （1）根据平行四边形的性质求出点的坐标，待定系数法求出反比例函数的表达式即可； （2）求出平移后的点的坐标，根据点恰好落在反比例函数的图像上，列出表示式即可； （3）根据翻折的性质求出的坐标，判断即可． 【小问1详解】 解：∵在中，已知， ∴， ∴轴， ∴，即：， 设反比例函数的解析式为， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意，平移后， ∵点恰好落在反比例函数的图像上， ∴， ∴； 【小问3详解】 点在反比例函数的图像上，理由如下： 连接，交与点， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴，为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在反比例函数的图像上． 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，过点B且与边相切于点D，交于点E（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求的半径． （3）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）6 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． （1）利用圆的有关性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）连接，设，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的性质和勾股定理解答即可； （3）设，利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质分别表示出即可得出结论． 【小问1详解】 解：1．作的平分线，交于点D， 2．过点D作于点D，交于点O， 3．以点O为圆心，为半径画圆，交于点E，如图， 则即为所求作； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵与相切， ∴， ∴， 设， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴的半径为6； 【小问3详解】 证明：连接，如图， 设， ∵， ∴． ∴， ∵为的切线， ∴． ∴， ∴． 21. 据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶．已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元． （1）第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个 （2）按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，设A款哪吒玩偶购进x个，则B款玩偶购进个，得到，进而计算可以判断得解； （2）依据题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进个，获利y元，则，又A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半，则，得，又，再结合一次函数的性质即可判断得解． 【小问1详解】 由题意，设A款玩偶购进x个，则B款玩偶购进个， ∴， 解得． ∴（个）． 答：A款哪吒玩偶购进20个，B款哪吒玩偶购进10个． 【小问2详解】 解：由题意，设A款哪吒玩偶购进a个，则B款哪吒玩偶购进个，获利 y元， ∴． ∵A款哪吒玩偶进货数量不得超过B款哪吒玩偶进货数量的一半， ∴ 解得 ∵ ∴， ∴y随a的增大而增大． ∴时，y最大． ∴B款哪吒玩偶购进（个）． 答：按照A款玩偶购进10个，B款玩偶购进20个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是460元． 22. 为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度．分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹．通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球飞行轨迹的具体影响．从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离米处达到距地面最大高度米；在离发射点水平距离米处，距地面高度米． 问题解决： 任务：确定函数表达式．设绣球离发射点水平距离为，距地面高度为．求出关于的函数表达式； 任务：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为）时，飞行的水平距离是多少； 任务：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点、、在一条直线上，已知，，游客小李站在线段（包括点、）上，为了确保他能抢到绣球，请直接写出发射台的变化范围：______． 【答案】 任务1： 任务2：m 任务3： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式． 任务：用待定系数法求函数解析式即可； 任务：令，解方程求出的值即可； 任务：设出平移后的解析式，再把，分别代入解析式，结合题意求出的取值范围． 【详解】解：任务：依题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式， 把代入解析式得：． 解得， ∴抛物线解析式为； 任务：令， 则， 解得，（舍）， 答：水平距离为； 任务：设抛物线向上平移个单位，则平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴当抛物线经过时，， 解得； 当抛物线经过时，， 解得， ∴发射台的变化范围为：， 故答案为：． 23. （1）在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形，正方形．将正方形绕点C旋转，连接，，则与的数量关系为______； （2）创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形和矩形中，，，，将矩形绕点D旋转，直线交于点P，与有怎样的数量关系？请你给出证明． （3）善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，则的最小值是______． 【答案】（1）；（2），理由见解析（3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）证明，即可得到； （3）证明，得，作于N，交的延长线于M，然后证明，得，所以，得点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 在矩形和矩形中， ， ∴， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴． ∴； （3）∵四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 作于N，交的延长线于M，如图3， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，连接交于G，此时的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值就是的最小值， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，轴对称－最短线段问题，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河南省南阳市淅川县部分学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 负数的概念最早出现在《九章算术》中．把向东走记做“”，向西走应记做（ ） A. B. C. D. 2. ，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2025年2月9日，累计下载量已超过1.1亿次，周活跃用户规模高达9700万．其中9700万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二元一次方程组，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 如图，在中，，垂足为D，与关于直线AD对称，点的B对称点是，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 从两块柑橘园采摘的柑橘中各随机选取200个．在技术人员指导下，测量每个柑橘的直径，作为样本数据．柑橘直径用x（单位：）表示，整理所收集样本数据，并绘制甲、乙两园样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： 下列结论一定正确的是（ ） ①两园样本数据的中位数均在第3组； ②两园样本数据的众数均在第3组； ③两园样本数据的最大数与最小数的差相等． A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 8. 四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（ ） A. B. C. D. 1 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心位于原点O处，轴于点E，F为的中点，射线l的端点为O，将射线l从与重合的位置开始绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，射线l与正方形的边的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 计算的结果为______． 12. 中华文明源远流长，旅游资源非常丰富，“五一”期间，小娄和小金两人准备从开封、洛阳、南京、杭州四个历史古城中各选择一个景点旅游，他们通过抽签的方式确定景点，那么他们两人恰好能抽到同一景点的概率是______． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 14. 如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点C，D，且，连接左右两个绳柄A，B，经过圆心O，分别交于点M，N，经测量，则图中阴影部分的周长为______． 15. 如图，在中，，于点D，点E在直线上运动，取中点Q，连接，当的周长最小，且最小值为时，的面积为______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简求值：，其中． 17. 随着自然语言处理、机器学习、深度学习等技术不断进步，聊天机器人的智能化水平显著提高，能够更准确地理解用户意图并给出相应回答．预计2025年，我国对话机器人行业市场规模将达到98.5亿元．有关人员开展了对A，B两款聊天机器人的使用满意度的评分调查，并从中各随机抽取20份数据，进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，满分100分，分为四个等级：甲：不满意；乙：比较满意；丙：满意；丁：非常满意）．下面给出了部分信息． 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据是： 82，85，87，87，87，87，87，87，89，93，93，97． 抽取的对B款聊天机器人的评分数据中丙、丁两组的数据一样多，丙组的数据是： 81，83，83，85，87，88，88，88． 数据显示A款聊天机器人的评分数据中甲组数据占，乙组数据为a个．B款聊天机器人的评分数据中甲组数据占． AI聊天机器人 平均数 中位数 众数 A 80 86 c B 86 b 90 根据以上信息，解答下列问题． （1）______，______，______． （2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）在此次调查中，有400人对A款聊天机器人进行评分，300人对B款AI聊天机器人进行评分．请通过计算，估计此次调查中对聊天机器人不满意的共有多少人． 18. 研学实践：如图1所示的建筑物是一座具有现代风格的文化地标，某数学小组利用航模搭载的扫描仪采集建筑物的相关数据．如图2，点A是建筑物顶部一点，的长表示点A到水平地面的距离．航模从建筑物前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面米的点C处时，测得点A的仰角；然后沿方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角，当到达点A正上方的点E处时，测得米．已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算建筑物顶部点A到地面的距离的长（结果精确到1米．参考数据：，，）． 19. 如图，在中，已知，一个反比例函数的图像经过点． （1）求点的坐标和该反比例函数的表达式． （2）将向上平移个单位长度，再向右也平移个单位长度，得到，若此时点恰好落在反比例函数的图像上，求满足的表达式． （3）若将沿直线翻折，得到，则点是否在反比例函数的图像上？为什么？ 20. 如图，在中，． （1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，过点B且与边相切于点D，交于点E（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求的半径． （3）在（1）的条件下，求证：． 21. 据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店购进了A、B两种哪吒玩偶．已知A种哪吒玩偶每个的进价为40元，售价为56元；B种哪吒玩偶每个的进价为30元，售价为45元． （1）第一次店家用1100元钱购进了A，B两款哪吒玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个． （2）第二次进货时，规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，店家计划购进两款哪吒玩偶共30个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 22. 为了增加趣味性，万岁山旅游城把传统的抛绣球项目进行改良，他们定制了一种器械，类似中国古代一种投石器，为了解发射平台高度对绣球飞行轨迹的影响，我们可以设定不同的发射平台高度，并分别记录绣球在不同水平距离上的飞行高度．分析不同发射平台高度下绣球的飞行轨迹．通过比较不同高度下绣球的飞行高度和飞行距离，我们可以得出发射平台高度对绣球飞行轨迹的具体影响．从而有目的地调整发射高度，通过实验发现绣球运动轨迹是抛物线的一部分，并且在离发射点水平距离米处达到距地面最大高度米；在离发射点水平距离米处，距地面高度米． 问题解决： 任务：确定函数表达式．设绣球离发射点水平距离为，距地面高度为．求出关于的函数表达式； 任务：探究飞行距离，当绣球从地面发出到落地（高度为）时，飞行水平距离是多少； 任务：如图，工作人员在水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台，当弹射口高度变化时，绣球被弹出后的飞行轨迹形状不变，可视为抛物线上下平移得到，点、、在一条直线上，已知，，游客小李站在线段（包括点、）上，为了确保他能抢到绣球，请直接写出发射台的变化范围：______． 23. （1）在数学活动课上，老师出示了这样一个问题；如图1，已知正方形，正方形．将正方形绕点C旋转，连接，，则与的数量关系为______； （2）创新小组受到启发，将背景图形由正方形改为矩形继续进行探究，如图2，在矩形和矩形中，，，，将矩形绕点D旋转，直线交于点P，与有怎样的数量关系？请你给出证明． （3）善思小组受此启发，举一反三，提出新问题：如图3，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，则的最小值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $