5.2.2同角三角函数的基本关系 学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.2 同角三角函数的基本关系 【自主学习】 同角三角函数的基本关系 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝. 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2.诱导公式 公式一：； 公式二：s； 公式三：s； 公式四：s； （口诀：函数名不变，符号看象限） 公式五：s 公式六：s （口诀：函数名改变，符号看象限） 注意：(1) “同角”，这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立，即与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． (2)sin2α是(sinα)2的简写，读作“sinα的平方”，不能将sin2α写成sinα2，前者是α的正弦的平方，后者是α2的正弦． (3)注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tanα＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立．(　　) (2) 对任意角α，＝tan 都成立．(　　) (3) (3)若sin α＝，则cos α＝.(　　) (4)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立. (　　) (5)若cosα＝0，则sinα＝1.(　　) (6)若sinα＝，则cosα＝＝.(　　) (7)因为sin2 π＋cos2 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角． (　　) 2.化简的结果是(　　) A．cos　 B．sin C．－cos D．－sin 3．化简的结果是(　　) A．cos　 B．－cos C．sin D．－sin 4．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于(　　) A．－ B． C．± D．± 5．已知tan α＝2，则＝________. 【经典例题】 题型一 利用同角三角函数的基本关系式求值 角度1：已知一个三角函数值求其余两个值 例1例1 (1)若，求cos α，tan α的值； (2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值． 【变式探究】1 已知cosα＝－，求sinα和tanα. 题型二 三角函数式的化简、求值 例2　(1)化简：； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α. 跟踪训练二 1．化简：(1)； (2). 例3 已知＝2，计算下列各式的值． (1)； (2)sin2α－2sin αcos α＋1. 【变式探究】3 已知tanα＝3，求的值． 角度3：利用sin α±cos α与sin αcos α之间关系求值 若已知 中的一个,则利用方程思想进一步可以求得 的值,从而求出其余的三角函数值．涉及的三角恒等式有： (1)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α； (2)(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α； (3)(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (4)(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α. 例4 已知sin α+cos α=，α∈(0,π),求tan α的值. 1. 求2sin αcos α的值； 1. 求sin α-cos α的值； 1. 求sin α,cos α,tan α的值. 【变式探究】3已知sin α·cos α＝－，α∈(0，π)，求cos α－sin α. 题型二 利用同角三角函数的基本关系化简 点拨：三角函数式化简的常用方法 例5化简：(1)－；(2). 【变式探究】4化简： (1). (2) 题型三 利用同角三角函数的基本关系证明 例6 求证：＝. 【变式探究】5求证：·＝1. 【当堂检测】 1．下列各式中成立的是(　　) A．sin2α＋cos2β＝1 B．tan α＝(α任意) C．cos2＝1－sin2 D．sin α＝ 2．已知α∈，cos α＝，则tan α＝(　　) A．± B． C．－ D． 3．已知tan α＝－，则的值是 ． 4．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________. 5．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值． 6．(1)化简，其中α是第二象限角； (2)求证：1＋tan2α＝. 课后练习： 1.已知α是第四象限角，cosα＝，则sinα等于(　　) A. B．－ C. D．－ 2.已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 3.已知tan α＝－，则的值是(　　) A. B．3　　 C．－　　　 D．－3 4.已知α是第二象限角，tan α＝－，则cos α＝ . 5.化简：tanα，其中α是第二象限角． 6.求证：sin4α－cos4α＝2sin2α－1. 7.已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，求： (1)sinαcosα；(2)sinα－cosα；(3)sin3α＋cos3α. 学科网（北京）股份有限公司 $$