广西玉林市第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测试题（8月29日）

玉林一中高二数学周测（8月29日） 姓名：___________ 班级：___________ 一、单选题 1．在空间直角坐标系中，已知点，B，则线段AB的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知空间中三角形的三个顶点的坐标分别为，，，则边上的中线的长度为（     ） A． B． C． D． 3．已知向量，则与同向共线的单位向量（      ） A． B． C． D． 4．已知为空间任意一点，若，则四点（     ） A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 5．如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（     ） A． B．6 C． D． 6．如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知空间中，，则下列结论正确的有（    ） A． B．与共线的单位向量是 C． D．平面的一个法向量是 9．若是空间向量的一组基，则下列各组中能构成空间向量的一组基的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（     ） A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 三、填空题 11．若直线的方向向量，平面的一个法向量，且，则实数 . 12．已知，若平面的一个法向量为，则 ． 13．已知点，直线l过点，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为 . 四、解答题 14．如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 15．在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD． （1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD． （2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长． 16．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. （1）求证：平面. （2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《玉林一中高二数学周测（8月29日）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B C D B ACD ABC ABD 1．C . 2．C 【详解】由题可得的中点坐标为，所以边上的中线的长度， 3．C 【详解】因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：， 4．B 【详解】由题设，所以，则，故四点共面. 5．C 【详解】解法一：在内过点C作，且，连接，， 所以为二面角的平面角.易知平面，而四边形为矩形，所以，故平面，因而， ，； 解法二：由，，得，，．因为，所以，则，解得，． 6．D 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，，，设平面的法向量为，则 令，则，，所以平面的一个法向量．点到平面的距离为． 7．B 【详解】因为平面，平面，平面，所以，． 因为底面为矩形，所以．所以DP，DC，DA两两互相垂直． 以为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，． 所以，．因为， 所以，则． 设直线MN与BD所成角为，则．因为，则， 化简得，即，解得或（舍去）． 8．ACD 【详解】对于A，，故，A正确；对于B，不是单位向量，且与不共线，B错误；对于C，，，C正确； 对于D，设，则，，所以，，又，所以平面的一个法向量是，D正确． 9．ABC 【详解】对A，因为是空间向量的一组基，则可以构成空间向量的一组基，故A正确；对B，设，其中，则，无解，则能构成空间向量的一组基，故B正确；对C，显然不存在实数使得成立， 则能构成空间向量的一组基，故C正确；对D，因为，则不能构成空间向量的一组基，故D错误. 10．ABD 【详解】A选项，平面，直线与平面所成角, ， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，则，设直线与所成的角大小为，则， 故，A正确；B选项，设直线与所成的角大小为，则，故，B正确； C选项，可取为平面的法向量，设直线与平面所成的角大小为， 则，故直线与平面所成的角为，C正确； 因为四边形为正方形，所以⊥，又平面，平面，故， 因为，平面，所以⊥平面，故可取为平面的法向量， 故点到面的距离，D正确. 11．2 【详解】因为，所以的方向向量与平面的法向量共线， 所以存在实数λ，使，即 12．. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则，解得，所以. 13． 【详解】由题设，，∴，故， ∴P到直线l的距离为. 14． 【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图所示：在中，因为，分别是为棱，的中点，所以为中位线，所以，且，又，，所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）平面，平面，所以，又， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 取的中点，连接，如图所示：因为，，且，所以四边形是边长为2的正方形， 所以，因为为棱的中点，所以，所以， 设平面的一个法向量为，则，令，则， 即平面的一个法向量为，又平面，平面,所以，由，且，所以平面，即平面，所以为平面的一个法向量， 所以，所以平面和平面夹角的余弦值为 （3）由（2）知，平面的一个法向量为，所以点到平面的距离为： ，所以点到平面的距离为. 15． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA=A，则BD⊥平面PAC，∵BD在平面QBD内，∴平面PAC⊥平面QBD； （2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设P(0,1，a)(a>0)， 则，设平面PBC的一个法向量为， 则，则，同理可求平面PDC的一个法向量为，∴，解得a2=2，∴． 16．【详解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的法向量为，则，令，解得：，，，又，，即，又平面，平面. （2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为.设，则，.设平面的一个法向量为， 则，令，解得：，，，又平面的一个法向量为，，即，解得：或(舍去)，此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为，此时. 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$