导数中的综合问题：构造函数证明不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

导数中的综合问题：构造函数证明不等式 方法提炼 对于利用导数研究不等式问题的求解策略 (1) 若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的最值，利用最值证明不等式. (2) 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． (3) 若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．含与的混合式不能直接构造函数，一般地，要将指对分离，常构造与，与的积、商形式，分别计算它们的最值，借助最值进行证明. (4) 导数方法证明不等式中，若所证明的不等式中含与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对不等式进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下： 1　 . 2　 切线不等式 ; 当时，; 当时，. 3　 飘带不等式 当时，有; 当时，有. 将不等式中的变成，得 ； . 【例1.】 已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：． 【例2.】 （1）证明：当时，； （2）已知函数.求证：当时，. 【例3.】 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：. 【例4.】 已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【例5.】 已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 【例6.】 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【例7.】 已知函数． (1)求的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 【例8.】 已知函数. (1)若，，求实数a的取值集合； (2)设， （i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）； （ii）证明：. 【例9.】 设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【例10.】 已知函数. (1)证明：当时，； (2)若恒成立，求实数的值； (3)证明：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数中的综合问题：构造函数证明不等式 方法提炼 对于利用导数研究不等式问题的求解策略 (1) 若待证不等式的一边含有自变量，另一边为常数，可直接求函数的最值，利用最值证明不等式. (2) 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． (3) 若直接求导比较复杂或无从下手时，或两次求导都不能判断导数的正负时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．含与的混合式不能直接构造函数，一般地，要将指对分离，常构造与，与的积、商形式，分别计算它们的最值，借助最值进行证明. (4) 导数方法证明不等式中，若所证明的不等式中含与其他代数式结合的问题，对于这类问题，可以考虑先对不等式进行放缩，使问题简化，简化后再构建函数进行证明．常见的放缩公式如下： 1　 . 2　 切线不等式 ; 当时，; 当时，. 3　 飘带不等式 当时，有; 当时，有. 将不等式中的变成，得 ； . 【例1.】 已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后分及讨论即可得； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【详解】（1），，则， 故在处的切线方程为； （2）由题意可得：的定义域为， 当时，则在上恒成立，可知在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 可知在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （3）令， 则， 由可知，令． 因为在上单调递增，则在上单调递增， 且， 可知在上存在唯一零点， 当，则，即； 当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则， 可得， 即，所以． 【例2.】 （1）证明：当时，； （2）已知函数.求证：当时，. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式 【分析】（1）令，求导，利用导数判断的单调性，进而可得，即可证明结果； （2）由于即，故分别构造函数和，利用导数求它们的最值，即可证明. 【详解】（1）要证，需证明， 令，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 即对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以； （2）要证， 只需证明， 只需证明， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，所以； 再令，则， 当时，，当时，， 知在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 因为与不同时为0，所以， 故原不等式成立． 【例3.】 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出导函数，然后对m进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由题把所证不等式化为，构造函数，利用导数求得，再构造函数，利用导数求得，通过即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，则恒成立，所以在上单调递增； 当时，， 令，解得或（舍去）， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）即，也即，也即. 设，则，令，解得， 又在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 设，则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，所以， 所以， 由题意，所以， 所以，得证. 【例4.】 已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时， ，，求出，，即可写出点处的切线方程. （2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情况下的单调性. （3）要证，即证，求出，再构造新函数求证即可. 【详解】（1）当时， ，所以. 得，点处的切线斜率为， 所以函数的图像在点处的切线方程为：， 即：. （2）由得， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增. 综上所述， 当时， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知，当时， 的最小值. 要证， 只需证 只需证 设. 则，令得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以在处取最小值，且， 所以得证， 即得证. 【例5.】 已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)证明：在上单调递增. (3)若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，二次求导，得到函数的单调性； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增，结合零点存在性定理和特殊点函数值得到的单调性和最值，结合基本不等式求出，证明出结论； 证法二：当时，等价于，令，则有，令，求导得到单调性，证明出结论. 【详解】（1）当时，，， 则，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为，则， 令函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增； （3）证法一：由（2）得，在上单调递增， 因为，由，， 可知存在唯一实数，使得， 即，两边取对数，变形可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以的极小值为 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 所以. 证法二：当时，等价于， 即， 令，则有， 先证当时，， 令函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，即当时，得证； 再证， 令函数，则， 当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； 综上，，即当时，得证. 【例6.】 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）直接使用导数并分类讨论即可； （2）先证明熟知的结论，然后在条件中的不等式里取直接得到，再利用不等式及其取对数后的，直接得出时不等式恒成立； （3）结合及其对数版本的取等条件，得到，然后即可直接得到要证明的结果. 【详解】（1）由，有. 当时，， 所以在上单调递减； 当时，有， 故当时，当时. 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）先证明一个结论：对任意实数都有，且不等号两边取等当且仅当. 证明：设，则， 从而当时有，当时有. 从而在上递减，在上递增， 故，即，且等号只在时成立，这就证明了结论. 回到原题. 代入的表达式，将题目中的不等式等价变形为. 整理得到，故我们要求的取值范围使得对恒成立. 一方面，若该不等式恒成立，则特别地对于成立，即，从而； 另一方面，若，则对，利用之前证明的结论可以得到，再取对数又能得到， 所以，故原不等式对任意恒成立. 综上，的取值范围是. （3）对，由于，故由（2）证明的结论，有，再取对数得到. 所以 ，这就证明了结论. 【例7.】 已知函数． (1)求的极值点； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）先求出导函数，再根据参数和分类讨论计算单调性及极值； （2）根据不等式恒成立计算最值计算求解得出参数范围； （3）构造函数计算得出不等式，再应用不等式性质，结合数列求和计算证明. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，，在上是增函数，故在上无极值点． 当时，令，则． 当时，，在上是增函数； 当时，，在上是减函数． 所以当时，取得极大值． 综上可知，当时，无极值点； 当时，有唯一极大值点． （2）由（1）可知，当时，，不恒成立，故只需考虑． 由（1）知，， 若恒成立，只需即可， 化简得，所以的取值范围是． （3）设， 当单调递增； 当单调递减； 所以，所以 因为，所以， 则有， 从而， 所以． 【例8.】 已知函数. (1)若，，求实数a的取值集合； (2)设， （i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，根据函数的单调性求解函数的最值，即可得解. （2）（i）根据导数，结合分类讨论，可得的单调性，即可求解零点， （ii）先构造函数由导数证明不等式,进而利用该不等式以及，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）由可得， 记，则， 当时，此时在上单调递增，当时，此时在上单调递减， 故当时，取到最大值，且最大值为，故， 实数a的取值集合为. （2）（i）证明：则， 当时，由得，此时无零点，不符合题意， 当时，单调递增， 由于，， 故在有唯一的零点， 综上可知：对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点， （ii）设，， 则当时，，在单调递减， 当时，在单调递增， 故，故当且仅当时取等号， 由得， 故， 所以，则， 又因为，所以 即， 再由可得，当且仅当时取等号， 由得， ，即，则， 当且仅当时取等号， 当时， ， 由得， 所以， 故， 则,当且仅当时取等号。 【例9.】 设函数. (1)当时，讨论的单调区间； (2)已知. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)减区间，增区间 (2)（i），（ii）证明见详解 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数证明不等式 【分析】（1）求导，判断导数的正负得解； （2）（i）根据题意，只需让的所有极值均在内即可，求出极值运算得解；（ii）当时，显然成立；当时，由可证；当时，等价于证明，先证明，设，利用导数证明，得证；当时，取，可判断是偶函数，从而证明成立. 【详解】（1）当时，，则， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为， 单调减区间为. （2）（i），由，解得， ， 记，，， 记，则，， 因为恒成立，故， 则，解得， 所以的取值范围是. （ii）当时，等号成立； 下面证明当时，， 当时，有，故，此时，符合题意； 现考虑当时，成立，等价于证明， 不妨先证明，设，则， 故在上单调递增，于是，故， 于是，而， 故， 故当时，成立； 于是当时，成立； 取，当时，， 设， 且， 故是奇函数， 所以是偶函数，于是当时，成立， 综上，，即成立. 【例10.】 已知函数. (1)证明：当时，； (2)若恒成立，求实数的值； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)2； (3)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）构造函数，求导函数，根据函数在的单调性求解值域即可证明. （2）就分类讨论后可得，再利用导数可证明此时不等式恒成立. （3）利用，转化为，然后利用导函数的单调性证明即可. 【详解】（1）令函数，则， 当时，，所以在上单调递增，则， 所以，证毕. （2）恒成立，即恒成立， 记，则， 若，因此， 当时，由， 故存在，使得且任意的，总有， 故在上为减函数，故任意的，总有， 这与题设不合，舍； 若，则，因的图像连续不间断， 故存在，使得任意的，总有， 故在上为增函数，故任意的，总有， 这与题设不合，舍； 故，此时， 当时，，故在上为减函数； 当时，令， 则， 可得即在为减函数， 故，， 故在上为增函数，故， 故恒成立，故. （3）由（2）可知，，当且仅当时取等号， 所以， ， 因为， 所以即证， 令，则， 所以即证：，，由（1）证明可得， 故，，， 即. 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