1.5 三角形的判定 第3课时教案2025-2026学年 浙教版八年级 数学上册

第1章 三角形的初步认识 1.5三角形全等的判定(第3课时)   一、教材分析 本课时是浙教版初中数学第一章第5节第3课时内容，是在学习了全等三角形的概念、SSS 和SAS判定方法后的深入探究内容.ASA作为判定三角形全等的基本事实，是构建全等三角形知识体系的关键环节，而AAS定理是在ASA基础上的拓展与延伸.这部分知识不仅为后续解决复杂几何证明、计算问题提供有力工具，也对培养学生逻辑推理和演绎证明能力起着承上启下的重要作用.   二、教学目标 1.掌握判定两个三角形全等的基本事实ASA和证明定理AAS． 2.会利用“SAS或AAS”判定三角形全等，证明线段或角相等． 3.在探索三角形全等的条件及其运用的过程中，能进行有条理的思考，体会分类思想在数学活动中的应用，积累数学活动经验． 4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略．   三、教学重难点 重点：掌握判定两个三角形全等的基本事实ASA和证明定理AAS． 难点：会利用“SAS或AAS”判定三角形全等，证明线段或角相等.   四、教学过程 · 复习回顾 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？ 1.全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形全等. 2.边边边（SSS） 三边对应相等的两个三角形全等. 3.边角边（SAS） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等. 思考：还有其它判定两个三角形全等的方法吗？ 师生活动：教师引导学生回顾已学的判定两个三角形全等的方法，再提出问题，学生思考后并回答． · 探究新知 　　活动一：探究全等三角形的判定ASA 如果给出3个条件画三角形，有4种可能的情况：三个角对应相等，三条边对应相等，两边一角对应相等，两角一边对应相等. 其中三个角对应相等不一定能画出全等的三角形，三条边可以画出全等的三角形，由此我们得到了基本事实SSS.当两边及其夹角可以画出全等的三角形，由此我们得到了基本事实SAS，当两边及其中一边的对角，不一定能画出全等的三角形. 那么两角一边对应相等呢？ 如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ 预设：两角及两角所夹的边，两角及其中一角的对边. 师生活动：教师提出问题，让学生回顾上节课内容并继续探究三个条件未完成的内容． 设计意图：通过回顾三个条件画三角形的情形，自然过渡到对 “两角一边” 情况的探究，培养思维连贯性与探究能力. 思考：有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形一定全等吗? 猜想：△ABC≌△A'B'C' 1.已知∠α，∠β和线段a(如图)，用直尺和圆规作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=a. ①作线段AB=a 用直尺画一条射线AH.用圆规量取线段a的长度，以A为圆心，a长为半径画弧，交射线AH于点B，则AB =a. ②作∠BAX=∠α 以已知角∠α的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交∠α的两边于点P，Q. 以A为圆心，同样的长度为半径画弧，交AB于点D. 以D为圆心，PQ长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点E. 过A，E作射线AX，则∠BAX=∠α. ③作∠ABY=∠β 以已知角∠β的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交∠β的两边于点M，N， 以B为圆心，同样的长度为半径画弧，交AB于点F 以F为圆心，MN长为半径画弧，与前面所画的弧相交于点G 过B，G作射线BY，BY与AX相交于点C . 此时△ABC就是所求作的三角形. 2.将你作的三角形与其他同学所作的三角形进行比较，你发现了什么? 预设：所作的三角形都全等，理由如下： 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，当把它们叠在一起时，可以使边AB与A'B'重合，边AC与A'C'重合.边BC与B'C'重合.又因为AB=A'B'，所以点A与点A'重合，点B与点B'重合，点C与点C'重合，所以△ABC与△A'B'C'重合，所以△ABC≌△A'B'C'. 师生活动：教师引导学生从满足两角及夹边进行作图探究，鼓励学生推理证明验证所得的结论. 总结：一般地，我们有如下基本事实： 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”). 几何语言：如图，在△ABC与△A'B'C'中， 所以△ABC≌△A'B'C'(ASA). 师生活动：教师引导学生思考讨论，并让学生尝试用几何语言说一说所得到的基本事实． 活动二：ASA的应用 一块三角形玻璃被摔成三片(如图).如果只带上其中的一片，玻璃店的师傅就能重新配一块与原来相同的三角形玻璃，那么你知道应带哪一片碎玻璃吗?请说明理由. 预设：第①片碎玻璃，只保留了原三角形的一个角，无法确定另外两个角和边的信息，不能据此配出与原来相同的三角形玻璃. 第②片碎玻璃，同样只保留了原三角形的部分角和边的信息，不完整，不能确定整个三角形的形状和大小. 第③片碎玻璃，保留了原三角形的两个角以及这两个角的夹边 .根据“角边角”(ASA)基本事实，在配玻璃时以这两个角和夹边为条件，可以作出与原来全等的三角形玻璃，所以应带第③片碎玻璃. 师生活动：观察思考，小组讨论交流，代表发言并听取意见完善思路，教师展示三角形玻璃碎片引导思考，巡视提示，组织交流并点评总结． 活动三：探究全等三角形的判定AAS 思考：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形一定全等吗? 猜想：△ABC≌△A'B'C'. 验证：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'，AC=A'C'.证明：△ABC≌△A'B'C'.(教材例6) 证明：因为∠A=∠A'，∠B=∠B'(已知) 所以∠C=∠C'(三角形内角和定理) 在△ABC和△A'B'C'中 所以△ABC≌△A'B'C'(ASA) 总结：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. 能判定两个三角形全等的还有以下定理： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言：在△ABC和△A'B'C'中，因为 所以△ABC≌△A'B'C'(AAS) 师生活动：鼓励学生思考、猜想、验证，并小组讨论，总结归纳得到定理AAS，教师及时纠正并展示结论. · 应用新知 【典型例题】 例1已知：如图，AC与BD相交于点O中，且∠A=∠C，OA=OC.求证：△AOB≌△COD． 　　 分析：由已知及对顶角相等，依据ASA可证明△AOB≌△COD. 证明:在△AOB和△COD中，因为 所以△AOB≌△COD(ASA) 总结：证明三角形全等时，要注意公共边或公共角往往是隐藏条件. 【教材例题】 例2如图，AC与DB相交于点P，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB.求证：AP=DP，BP=CP. 分析：要证AP=DP，BP=CP，可通过证明△ABP≌△DCP得到.而在△ABP和△DCP中，只有∠APB=∠DPC，还缺两个条件，需要通过证明△ABC≌△DCB得到. 证明:在△ABC和△DCB中， 因为 所以△ABC≌△DCB(SAS) 所以AB=DC，∠A=∠D. 在△ABP和△DCP中， 因为 所以△ABP≌△DCP(AAS)， 所以AP=DP，BP=CP. 师生活动：教师讲解例1、例2的解题思路和方法，引导学生分析问题，让学生自己思考解答，然后教师进行讲解和总结，强调解题的关键和注意事项． 探究：如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一直线上.下面给出四个论断： ①AB=DE；②AC=DF； ③∠ABC=∠DEF； ④BE=CF. 任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到几个命题？其中真命题有几个？分别给出证明. 解：命题1：条件①②③，结论④；假命题. 命题2：条件①②④，结论③；真命题. 命题3：条件①③④，结论②；真命题. 命题4：条件②③④，结论①.假命题. 任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，可得到4个命题，其中真命题有2个. 1.命题2：条件①②④，结论③. 如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：∠ABC=∠DEF. 证明:因为BE=CF，所以BE+CE=CF+CE即BC=EF 在△ABC和△DEF中， 因为 所以△ABC≌△DEF(SSS)， 所以∠ABC=∠DEF. 2.命题3：条件①③④，结论②. 如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一直线上，AB=DE，∠ABC=∠DEF，BE=CF.求证：AC=DF. 证明:因为BE=CF，所以BE+CE=CF+CE即BC=EF 在△ABC和△DEF中， 因为 所以△ABC≌△DEF(SAS)， 所以AC=DF. 师生活动：教师引导学生自由组合，并用所学的知识进行验证，最后小组讨论，教师给出结论，再引导学生分析问题，证明自己的论断． · 课堂练习 自选练习 1.如图，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的依据是( ) A.AAS B.ASA C.SAS D.SSS 解：从图形中可以确定三角形的两个角以及这两个角所夹的边，故依据ASA就可以画出与这个三角形全等的三角形.故选B. 2.如图，∠ABC＝∠DCB，只需补充条件__________；就可以根据“AAS”得到△ABC≌△DCB. 答案：∠A＝∠D 教材练习 3.已知：如图，点D，E分别在AC，AB上，∠B=∠C，AB=AC.求证：AE＝AD. 证明:在△ABD和△ACE中，因为 所以△ABD≌△ACE(ASA)， 所以AD=AE. 4.已知：如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.求证：BD=CD. 证明：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD. 在△ABD和△ACD中， 因为 所以△ABD≌△ACD(AAS) 所以BD=CD. 5.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2．求证：AB=CD． 证明：因为AB⊥BC，AD⊥DC， 所以∠B=∠D=90° 在△ABC和△CDA中， 因为 所以 △ABC≌△CDA(AAS) 所以 AB=CD． 6.如图，AD∥BE，BD∥CE，B是线段AC的中点．求证：BD=CE． 证明：因为AD∥BE，BD∥CE， 所以∠A=∠EBC，∠DBA=∠C 因为B是线段AC的中点，所以AB=BC 在△ABD和△BCE中， 因为 所以 △ABD≌△BCD(ASA) 所以 BD=CE． 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.判定两个三角形全等的第三个基本事实是怎样的呢？ 3.判定两个三角形全等的证明定理又是怎样的？ 学科网（北京）股份有限公司 $$