1.2全等三角形1.3全等三角形的判定—2025～2026学年苏科版（2024）数学八年级上学期提优限时训练

2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上学期提优限时训练 1.2全等三角形 1.3全等三角形的判定 1．下列说法中正确的是 A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 2．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是 A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9 3．如图是三个叠在一起的三角形（三角形I、II、III），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形I、II、III完全相同的三角形，下列说法正确的是 A．只有I可以 B．只有I、II可以 C．作出三角形II的依据是AAS D．作出三角形III的依据是SAS 4．如图，点O是∠ABC的边BA上任意一点．下面是“过点O作OM∥BC”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②以点O为圆心，线段BD的长为半径画弧，交OA于点F；③以点F为圆心，线段DE的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线OM，则OM即为所求．上述方法通过判定△BDE≌△OFM得到∠AOM＝∠B，进而得到OM∥BC，其中判定△BDE≌△OFM的依据是 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 5．小李用7块长为5cm，宽为2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 A．21 B．23 C．24 D．28 6．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝，∠ABO＝，当BC∥OA时，与之间的数量关系为 A．＝ B．＝2 C．＋＝90° D．＋2＝180° 第5题 第6题 第7题 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE、CD、DE，若∠DCB＝20°，则∠CBE的度数为 A．65° B．70° C．75° D．80° 8．如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 9．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 10．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)，若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为 A．cm/s B．1cm/s C．cm/s或cm/s D．1cm/s或cm/s 第8题 第9题 第10题 11．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ ． 12．在生活中，我们常常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是 ． 13．如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是 ． 14．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为 ． 第12题 第13题 第14题 15．已知，△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边中线，则AD的取值范围是 ． 16．如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接AD、BE交于点O，AC与BE交于点P，则∠AOB的度数为 ． 17．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，四边形ABCD的周长为18，BC＝5，则AB的值为 ． 第16题 第17题 18．如图，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D． （1）证明：△ABF≌△DCE； （2）若BC＝15，EF＝7，求BE的长． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB＝BC＋AD，∠BAE＝∠BFE，判断BE与AF的位置关系，并说明理由． 20．如图1，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，AD＝CD，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）点M，N分别是AB，BC上的动点，∠ABD＝30°，∠MDN＝60°． ①如图2，若∠CDN＝18°，求∠AMD的度数； ②如图3，线段AM，MN，CN之间有什么数量关系，请加以证明． 21．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M，求证：BM＝EM； （3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若AC＝4CM，请直接写出的值． 22．如图，在△ABC中，以AB、AC为边向外作等腰△ABD、△ACE，且AB＝AD，AC＝AE，F为BC中点，∠DAB＝∠CAE＝，连接DE、DC、BE、AF． （1）证明△ADC≌△ABE； （2）当DE＝2AF时，①求的大小；②判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由． 23．如图，在△ABC中，AD为高，AC＝24，点E为AC上的一点，CE＝3AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC． （1）求∠BEC的度数； （2）动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ①设△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； ②点F是直线BC上一点，且CF＝AO，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025—2026学年苏科版（2024）数学八年级上学期提优限时训练 1.2全等三角形 1.3全等三角形的判定 1．下列说法中正确的是 A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 【答案】C 【解析】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，故选C． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是 A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9 【答案】C 【解析】A、5＋4＜10，不能构成三角形，故A不符合题意； B、∠A是边BC的对角，不能画出唯一的△ABC，故B不符合题意； C、由AAS判定能画出唯一的△ABC，故C符合题意； D、由∠C＝90°，AB＝9，不能画出唯一的△ABC，故D不符合题意． 3．如图是三个叠在一起的三角形（三角形I、II、III），部分图形被遮盖，要作出与图中三角形I、II、III完全相同的三角形，下列说法正确的是 A．只有I可以 B．只有I、II可以 C．作出三角形II的依据是AAS D．作出三角形III的依据是SAS 【答案】B 【解析】由SAS或ASA或AAS作出三角形I，由ASA作出三角形II，三角形III的三边都被遮盖，不能作出三角形，所以可以作出三角形I、II．故选B． 4．如图，点O是∠ABC的边BA上任意一点．下面是“过点O作OM∥BC”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交BA，BC于点D，E；②以点O为圆心，线段BD的长为半径画弧，交OA于点F；③以点F为圆心，线段DE的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线OM，则OM即为所求．上述方法通过判定△BDE≌△OFM得到∠AOM＝∠B，进而得到OM∥BC，其中判定△BDE≌△OFM的依据是 A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解析】由作图痕迹，得BE＝BD＝OF＝OM，DE＝FM，在△BDE和△OFM中，BD＝OF，BE＝OM，DE＝FM，△BDE≌△OFM(SSS)，故选A． 5．小李用7块长为5cm，宽为2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°），点B在DE上，点A和C分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 A．21 B．23 C．24 D．28 【答案】B 【解析】由题意可得AD＝3×5＝15(cm)，CE＝4×2＝8(cm)，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠CBE＝90°，∵∠ABD＋∠DAB＝90°，∴∠CBE＝∠DAB，在△ADB和△BEC中，∠DAB＝∠CBE，∠ADB＝∠BEC＝90°，AB＝BC，∴△ADB≌△BEC(AAS)，∴DB＝CE＝8cm，BE＝AD＝15cm，∴DE＝DB＋BE＝8＋15＝23(cm)，所以两堵木墙之间的距离为23cm．故选B． 6．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝，∠ABO＝，当BC∥OA时，与之间的数量关系为 A．＝ B．＝2 C．＋＝90° D．＋2＝180° 【答案】B 【解析】∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝，在△ABC中，∠ABC＝(180°﹣)，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴＋(180°﹣)＝90°，整理得，＝2，故选B． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接BE、CD、DE，若∠DCB＝20°，则∠CBE的度数为 A．65° B．70° C．75° D．80° 【答案】D 【解析】∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠BAD＝∠CAE＝60°，AB＝AD，AE＝AC，∴∠BAD﹣∠DAE＝∠CAE﹣∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD，在△BAE和△DAC中，AB＝AD，∠BAE＝∠CAD，AE＝AC，∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴∠AEB＝∠ACD，∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＋∠ACD＋∠BCD＝90°，∵∠DCB＝20°，∴∠DAC＋∠ACD＝10°，∴∠AEB＋∠BAE＝10°，∴∠ABE＝180°﹣10°＝170°，∴∠CBE＝∠ABE﹣∠ABC＝80°，故选D． 8．如图，由25个同样大小的小正方形组成的正方形网格中，△ABC是格点三角形（每个顶点都是格点），在这个正方形网格中画另一个格点三角形，使得它与△ABC全等且仅有一条公共边，则符合要求的三角形共能画 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【解析】如图，∵△ABC≌△GCB≌△BAW≌△CDA≌△AEC≌△BAQ≌△ABF，∴△ABC全等且仅有1条公共边的三角形共6个，故选B． 9．如图，AO⊥OM，OA＝8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化 【答案】B 【解析】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N， ∵∠AOB＝∠ABE＝∠BNE＝90°， ∴∠ABO＋∠BAO＝∠ABO＋∠NBE＝90°， ∴∠BAO＝∠NBE， ∵△ABE、△OBF均为等腰直角三角形， ∴AB＝BE，BF＝BO， 在△ABO与△BEN中，∠BAO＝∠NBE，∠AOB＝∠BNE，AB＝BE， ∴△ABO≌△BEN，∴BO＝NE，BN＝AO，∵BO＝BF，∴BF＝NE， 在△BPF与△NPE中，∠FBP＝∠ENP，∠FPB＝∠EPN，BF＝NE， ∴△BPF≌△NPE，∴BP＝NP＝BN，而BN＝AO，∴BP＝AO＝×8＝4，故选B． 10．如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)，若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为 A．cm/s B．1cm/s C．cm/s或cm/s D．1cm/s或cm/s 【答案】D 【解析】当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP≌△BQP， ∴P、Q同时运动，运动的路程相等，∴Q和P运动的速度相同是lcm/s； 当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BPQ， ∴AP＝AB＝×4＝2(cm)，∴P运动的时间t＝2÷1＝2(s)， ∴Q运动的速度是3÷2＝(cm/s)， 综上所述，Q运动的速度是lcm/s或cm/s，故选D． 11．一个三角形的三边为3、5、x，另一个三角形的三边为y、3、6，若这两个三角形全等，则x﹣y＝ ． 【答案】1 【解析】∵两个三角形全等，∴x＝6，y＝5，∴x﹣y＝6﹣5＝1． 12．在生活中，我们常常会看到如图所示的情况，在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，这样做的依据是 ． 【答案】三角形的稳定性 【解析】结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性． 13．如图，在3×3的正方形网格中，线段AB，CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是 ． 【答案】∠1＋∠2＝180° 【解析】在△ABM和△DCN中，AM＝DN，∠CND＝∠AMB，BM＝CN，∴△ABM≌△DCN，∴∠1＝∠ABM，∴∠1＋∠2＝∠ABM＋∠2＝180°． 14．如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M、N、K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝40°，则∠P的度数为 ． 【答案】100° 【解析】在△MAK和△KBN中，AM＝BK，∠A＝∠B，AK＝BN，∴△MAK≌△KBN ( SAS )，∴∠BKN＝∠AMK，∵∠MKB是△AMK的外角，∴∠BKN＋∠MKN＝∠A＋∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠B＝∠A＝40°，∴∠P＝180°﹣40°﹣40°＝100°． 15．已知，△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是BC边中线，则AD的取值范围是 ． 【答案】1＜AD＜4 【解析】延长AD到E，使DE＝AD，连接CE，则有AE＝2AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵∠ADB＝∠EDC，DE＝AD，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝CE＝5，在△ACE中，由三角形三边关系得CE﹣AC＜AE＜AC＋CE，∴5﹣3＜AE＜3＋5，∴2＜AE＜8，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4． 16．如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接AD、BE交于点O，AC与BE交于点P，则∠AOB的度数为 ． 【答案】60° 【解析】∵△ABC，△CDE均为等边三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，CD＝CE，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，AC＝BC，∠BCE＝∠ACD，CE＝CD，∴△BCE≌△ACD，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠APO＝∠BPC，∴∠AOP＝∠BCP＝60°，即∠AOB＝60°． 17．如图，在四边形ABCD中，E是边BC的中点，AE平分∠BAD，且∠AED＝90°，若CD＝2AB，四边形ABCD的周长为18，BC＝5，则AB的值为 ． 【答案】 【解析】∵E是边BC的中点，∴BE＝CE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，如图，在AD上截取AF＝AB，连接EF，在△ABE和△AFE中，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴BE＝EF，∠BEA＝∠FEA，∴BE＝EF＝CE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF＋∠DEF＝90°，∵∠AEB＋∠AED＋∠DEC＝180°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠DEF，在△DEF和△DEC中，EF＝CE，∠DEF＝∠DEC，DE＝DE，∴△DEF≌△DEC，∴CD＝DF，∵CD＝2AB，∴DF＝2AB，∵四边形ABCD的周长为18，∴AB＋BC＋CD＋AD＝18，∴AB＋5＋2AB＋AB＋2AB＝18，∴AB＝． 18．如图，点E，F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，∠A＝∠D． （1）证明：△ABF≌△DCE； （2）若BC＝15，EF＝7，求BE的长． 【解析】解：（1）证明：在△ABF和△DCE中， AB＝DC，∠A＝∠D，AF＝DE， ∴△ABF≌△DCE (SAS)； （2）∵△ABF≌△DCE，∴BF＝CE，∴BF﹣EF＝CE﹣EF，即BE＝CF， ∵BC＝15，EF＝7，∴BE＋CF＝BC﹣EF＝15﹣7＝8，∴2BE＝8，∴BE＝4． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F． （1）判断FC与AD的数量关系，并说明理由； （2）若AB＝BC＋AD，∠BAE＝∠BFE，判断BE与AF的位置关系，并说明理由． 【解析】解：（1）FC＝AD，理由如下： ∵AD∥BC，∴∠D＝∠FCE，∵E是CD的中点，∴DE＝CE， 在△ADE和△FCE中，∠D＝∠FCE，DE＝CE，∠AED＝∠FEC， ∴△ADE≌△FCE(ASA)，∴FC＝AD； （2）∵BE⊥AF，理由如下： 由（1）知△ADE≌△FCE， ∴AE＝FE， ∵AB＝BC＋AD，AD＝FC， ∴AB＝BC＋CF，即AB＝FB， 在△ABE和△FBE中，AB＝FB，∠BAE＝∠BFE，AE＝FE， ∴△ABE≌△FBE，∴∠AEB＝∠FEB， 又∵∠AEB＋∠FEB＝180°，∴∠AEB＝∠FEB＝90°，即BE⊥AF． 20．如图1，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C＝90°，AD＝CD，连接BD． （1）求证：BD平分∠ABC； （2）点M，N分别是AB，BC上的动点，∠ABD＝30°，∠MDN＝60°． ①如图2，若∠CDN＝18°，求∠AMD的度数； ②如图3，线段AM，MN，CN之间有什么数量关系，请加以证明． 【解析】解：（1）在Rt△ABD和Rt△CBD中，AD＝CD，BD＝BD， ∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC； （2）①∵∠A＝∠C＝90°，∠ABD＝30°，∴∠CBD＝30°， ∴∠ADB＝∠CDB＝90°﹣30°＝60°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝120°， ∴∠ADM＋∠CDN＝∠ADC﹣∠MDN，∴∠ADM＋18°＝120°﹣60°， 解得：∠ADM＝42°，∴∠AMD＝90°﹣42°＝48°； ②AM＋CN＝MN，理由如下： 延长NC到E，使CE＝AM，连接DE， ∵∠C＝90°， ∴∠A＝∠DCE＝90°，AD＝CD， ∴△ADM≌△CDE(SAS)， ∴DM＝DE，∠ADM＝∠CDE， ∵∠ADC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠ADM＋∠CDN＝60°， ∴∠CDE＋∠CDN＝∠EDN＝60°， 即∠MDN＝∠EDN， ∵DN＝DN， ∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN＝EN，∴EN＝CE＋CN＝AM＋CN，∴AM＋CN＝MN． 21．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作AE⊥AD，且AE＝AD． （1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE，求证：EH＝AC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M，求证：BM＝EM； （3）当点D在直线CB上时，连接BE交直线AC于M，若AC＝4CM，请直接写出的值． 【解析】解：（1）证明：∵AE⊥AD，EH⊥AC，∴∠AHE＝∠EAD＝∠ACB＝90°， ∴∠DAC＋∠ADC＝90°，∠DAC＋∠EAH＝90°，∴∠EAH＝∠ADC， 又∵AE＝AD，∠AHE＝∠ACD＝90°，∴△EAH≌△ADC(AAS)，∴EH＝AC； （2）证明：如图2，过点E作EN⊥AM于N， ∵AE⊥AD，EN⊥AM， ∴∠ANE＝∠EAD＝∠ACB＝90°， ∴∠DAC＋∠ADC＝90°，∠DAC＋∠EAN＝90°， ∴∠EAN＝∠ADC， 又∵AE＝AD，∠ANE＝∠ACD＝90°， ∴△ANE≌△DCA(AAS)， ∴EN＝AC， ∵BC＝AC， ∴BC＝NE， 又∵∠BMC＝∠EMN，∠BCM＝∠ENM＝90°， ∴△BCM≌△ENM(AAS)， ∴BM＝EM； （3）或． 22．如图，在△ABC中，以AB、AC为边向外作等腰△ABD、△ACE，且AB＝AD，AC＝AE，F为BC中点，∠DAB＝∠CAE＝，连接DE、DC、BE、AF． （1）证明△ADC≌△ABE； （2）当DE＝2AF时，①求的大小；②判断△ABC与△ADE面积之间的关系，并说明理由． 【解析】解：（1）证明：∵∠DAB＝∠CAE＝， ∴∠DAB＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠DAC＝∠EAB， 在△DAC和△BAE中，AD＝AB，∠DAC＝∠EAB，AC＝AE，∴△ADC≌△ABE； （2）①延长AF至G，使得GF＝AF，∵F为BC中点，∴BF＝CF＝AG， 在△BFG和△CFA中，GF＝AF，∠BFG＝∠AFC，BF＝CF，∴△BFG≌△CFA， ∴AC＝BG，∠l＝∠G，∴AC∥BG，∴∠BAC＋∠ABG＝180°， ∵DE＝2AF，∴DE＝AG，∵AC＝AE，∴BG＝AE， 在△ABG和△DAE中，AB＝AD，BG＝AE，AG＝DE，∴△ABG≌△DAE， ∴∠ABG＝∠2，∴∠BAC＋∠2＝180°，∴∠DAB＋∠CAE＝360°﹣(∠BAC＋∠2)＝180°， 即2＝180°，∴＝90°； ②△ABC与△ADE面积相等，理由如下： 过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N， ∵＝90°，∴△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，即∠DAB＝∠CAE＝90°， ∴∠BAN＝90°，则∠BAC＋∠CAN＝90°， ∵∠EAN＋∠CAN＝∠CAE＝90°，∴∠BAC＝∠EAN， 在△ACM和△AEN中，∠AMC＝∠N＝90°，∠BAC＝∠EAN，AC＝AE， ∴△ACM≌△AEN，∴CM＝EN，∵S△ABC＝AB·CM，S△ADE＝AD·EN， 又AB＝AD，CM＝EN，∴S△ABC＝S△ADE． 23．如图，在△ABC中，AD为高，AC＝24，点E为AC上的一点，CE＝3AE，连接BE，交AD于O，若△BDO≌△ADC． （1）求∠BEC的度数； （2）动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒． ①设△POQ的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围； ②点F是直线BC上一点，且CF＝AO，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值． 【解析】解：（1）∵△BDO≌△ADC，∴∠OBD＝∠CAD， ∵AD为高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＋∠C＝90°，∴∠OBD＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°； （2）①（i）当点Q在线段AE上时，此时0＜t＜2，则EQ＝6﹣3t， 所以S＝OP·EQ＝t·(6﹣3t)＝， （ii）当点Q在线段AE延长线上时，此时2＜t≤24，则EQ＝3t﹣6， 所以S＝OP·EQ＝t·(3t﹣6)＝， 综上所述，； ②∵△BDO≌△ADC，∴∠BOD＝∠ACD， （i）当点F在线段BC延长线上，Q在线段AC上时，如图， ∵∠BOD＝∠ACD，∴∠AOP＝∠ACF， ∵CF＝AO，∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ， ∴t＝24﹣3t，解得t＝6； （ii）当点F在线段BC上，Q在线段AC延长线上时，如图， ∵∠BOD＝∠ACD，∴∠AOP＝∠QCF， ∵CF＝AO，∴当OP＝CQ时，△AOP≌△FCQ， ∴t＝3t﹣24，解得t＝12； 综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为6或12． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$