5.2 认识函数 教学设计 2025-2026学年浙教版八年级数学 上册

浙教版初中数学八年级上册第五章《一次函数》 5.2 认识函数 教学设计 一、内容和内容解析 内容 本节课主要内容为"认识函数"，包括函数的定义、函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），以及函数值的求法和自变量取值范围的确定。通过实际问题引入函数概念，帮助学生理解变量之间的依赖关系，并初步掌握函数的表示与简单应用。 内容解析 函数是描述现实世界中变量之间关系的重要数学模型，是中学数学的核心内容之一。本节从学生已有的生活经验出发，通过跳远距离与助跑速度、报酬与工作时间、气温与时间等实例，引导学生理解"一个变量随另一个变量变化而变化"的关系，进而抽象出函数的定义。教学中强调函数的三种表示方法及其应用，为学生后续学习一次函数、反比例函数等打下基础。 二、目标和目标解析 目标 1. 理解函数的定义，能判断两个变量之间是否具有函数关系。 1. 掌握函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），并能根据实际情况选择合适的表示方法。 1. 能根据函数表达式求函数值，并确定自变量的取值范围。 目标解析 通过本节课的学习，学生应能识别生活中的函数关系，理解"唯一确定"的含义，能通过解析式、表格或图象表示函数关系，并能进行简单的函数值计算和自变量范围分析。教学中注重从具体到抽象的思维过程，培养学生的数学建模能力和应用意识。 三、教学问题诊断分析 1. 函数概念理解困难：学生容易将"变量关系"与"函数关系"混淆，需通过多个实例对比强化"唯一确定"这一核心特征。 1. 自变量取值范围忽略：学生在求函数值时容易忽略自变量的实际意义，导致取值范围错误。 1. 图象法理解不深：学生可能难以从图象中准确读取函数值，需加强图象与实际情境的关联训练。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 跳远的距离公式为 （），其中 随哪个量的变化而变化？ 师：请同学们观察这个公式，思考跳远距离 是由哪个量决定的？ 生： 是由助跑速度 决定的。 师：很好！那么当 变化时， 会怎样变化？ 生： 也会随着变化。 问题2 小明哥哥工作 小时，报酬 元，填写下表并回答 是否随 变化？ 工作时间 时 6 8 12 16 24 ... t ... 报酬 / 元 120 160 240 320 480 ... 20t ... 师：请同学们计算并填写表格，观察 和 之间的关系。 生： 总是 的20倍。 师：那么 是否随 的变化而变化？ 生：是的， 越大， 也越大。 问题3 图5-3是杭州市某天气温变化图，气温 是否随时间 变化？为什么？ 师：观察这个气温图，你能说出在某个特定时间点的气温吗？ 生：比如在16时，气温是36℃。 师：那么对于每一个时间点，气温是否都有唯一确定的值？ 生：是的，从图象可以看出每个时间点对应一个气温值。 设计意图 通过三个不同背景的问题，引导学生发现变量之间的依赖关系，初步感知"函数"的特征。问题1从物理公式引入，问题2从经济问题展开，问题3通过图象分析，多角度帮助学生理解变量间的对应关系，为后续定义函数做铺垫，对应目标1。 （二）合作探究1 （二）合作探究1 探究1：一次函数与正比例函数的辨析 教师出示以下函数表达式： 问题：请判断这些函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？并说明理由。 学生活动：独立思考后小组讨论，派代表发言。 预期回答： · ：是正比例函数，也是特殊的一次函数（），比例系数 。 · ：是一次函数，，，但不是正比例函数（因为 ）。 · ：不是一次函数，因为自变量 在分母上，不满足 的形式。 · ：可化简为 ，是一次函数，，，不是正比例函数。 · ：不是一次函数，因为含有 项。 追问1： 正比例函数是否一定是一次函数？一次函数是否一定是正比例函数？ 引导学生归纳： 正比例函数是特殊的一次函数（当 时），但一次函数不一定是正比例函数（当 时）。 追问2： 一次函数的一般形式中，为什么要求 ？若 ，函数变成了什么？ 引导学生思考： 若 ，则 ，是常函数，不再具有“变化”的特征，因此不属于一次函数。 （三）巩固练习1 1. 某市水费为2.9元/立方米，用水量 立方米，水费 元，写出函数表达式并求 时的函数值。 · 答：， 元 · 知识点：解析法表示函数关系 1. 骑自行车30分钟，热量消耗 与体重 的关系如图，求 和 时的 值。 · 答：从图象可得， 时 焦； 时 焦 · 知识点：图象法表示函数关系 （四）合作探究2 探究2：从实际问题中抽象一次函数模型 问题1： 某农场每平方米种植玉米6株。设种植面积为 （m²），玉米株数为 （株），你能写出 与 的关系式吗？它是函数吗？属于哪一类函数？ 学生回答： ，是函数，且是正比例函数。 问题2： 正方形的周长 与面积 之间是否具有函数关系？若是，是否为一次函数？ 引导学生分析： 设边长为 ，则 ，。 由 ，代入得 。 ∴ 是 的函数，但不是一次函数（是二次函数）。 问题3： 等腰三角形 的周长为16 cm，腰长为 cm，底边长为 cm。写出 关于 的函数表达式，并判断其类型。 学生尝试： 由周长公式：，得 。 ∴ 是 的一次函数，但不是正比例函数。 追问： 自变量 的取值范围是什么？为什么？ 引导学生思考： 由三角形三边关系： 研究3：归纳一次函数的建模方法 教师引导学生总结： 1. 识别问题中的变量与常量； 1. 根据数量关系列出等式； 1. 将等式化为 的形式； 1. 判断是否为一次函数，并确定 和 的值； 1. 注意自变量的取值范围要符合实际意义。 设计意图： 通过多个实际问题的分析，帮助学生从具体情境中抽象出函数模型，理解一次函数的本质特征，培养数学建模能力，同时强化对自变量取值范围的意识，对应目标1、2。 （五）典例分析 例1 潮汐高度 与时间 的函数图象如图5-4所示： （1）判断 是否为 的函数； （2）求 时的函数值； （3）一天内潮高为200 cm的次数。 解： （1）在 的范围内，任意取一个 的值 时，过点 作 轴的垂线，垂线和图象有唯一的公共点 ，也就是潮高 有唯一的确定值 ，所以潮高 是时间 的函数。 （2）过点 作 轴的垂线，交图象于点 。所以当 时，函数值为 cm。 （3）过点 作垂直于 轴的直线，交图象于 三点，所以一天内有3次潮高为200 cm。 设计意图 通过图象分析强化函数定义的理解和图象法的应用。培养学生从图象中读取信息、分析问题的能力。通过实际问题让学生体会数学的应用价值，对应目标3。 （六）巩固练习 1. 电费 （元），求 时的 值。 · 答： 元 · 知识点：函数值的计算 1. 求 在 时的值。 · 答： · 知识点：函数值的计算 1. 高为6 cm，底边 cm，面积 cm²，求 和 时的 值。 · 答： 时， cm²； 时， cm² · 知识点：函数值的计算 1. 函数 ，求自变量 的取值范围。 · 答： · 知识点：自变量取值范围的确定 设计意图 通过多种类型的练习巩固函数值的求法和实际意义的理解。包括正比例函数、二次函数、分式函数等不同类型，帮助学生全面掌握函数概念，对应目标3。 （七）归纳总结 知识点 说明 函数的定义 唯一确定对应关系 函数的表示方法 解析法、列表法、图象法 函数值的求法 代入解析式或查表、读图 自变量取值范围 实际意义与数学意义结合 （八）感受中考 1. （2024·浙江）若 ，则 的取值范围是______。 · 答： · 知识点：分式函数自变量取值范围 1. （2024·杭州）某商品单价为 元，销量 件，收入 ，若 元， 件，则 ______。 · 答：2000元 · 知识点：函数值的计算 1. （2025·宁波）如图为某车行驶路程 与时间 的关系，求 时的 值。 · 答：60 km · 知识点：图象法求函数值 1. （2025·温州）已知 ，当 时，______。 · 答：7 · 知识点：函数值的计算 设计意图 通过中考真题训练，帮助学生熟悉考试题型，提升应考能力。题目涵盖函数值的计算、自变量取值范围的确定等核心知识点，检验学习成果。 （九）小结梳理 知识点 关联内容 函数定义 变量关系、唯一确定性 表示方法 解析式、表格、图象 函数值 代入、查表、读图 自变量范围 实际约束、数学意义 （十）布置作业 必做题 1. 教材P158 作业题A组第1、2题 · 第1题：电费问题，巩固函数表达式和函数值的计算 · 第2题：函数值计算，巩固函数概念 1. 教材P161 作业题A组第1、2题 · 第1题：直角三角形角度关系，理解函数关系 · 第2题：加油费用问题，巩固函数表达式和自变量取值范围 选做题 1. 教材P159 B组第4题 · 停车收费问题，理解分段函数的概念 1. 教材P162 B组第4题 · 钢筋折弯问题，巩固函数表达式和函数值的计算 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$