第二十二章二次函数培优提升训练 2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十二章二次函数培优提升训练人教版2025—2026学年九年级上册 一、选择题 1．将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2） 2．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 3．如果二次函数y＝x2﹣2x+c的最小值为0，那么c的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数） 5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 7．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．对于抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x﹣a+1，当x＝﹣1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点（﹣1，2），则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 10．二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m（m为常数），当﹣1≤x≤4时，y的最大值为6，则m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1或2 D．1或﹣2 二、填空题 11．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　． 12．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　 平方米． 13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　 　 ． 14．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　 ． 三、解答题 15．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 16．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 17．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 18．已知二次函数y＝mx2﹣6mx﹣m﹣5（m是常数，且m≠0）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数图象的对称轴； （2）将这个二次函数图象向左平移t（0＜t＜3）个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在0≤x≤3的范围内有最小值，求t的值． 19．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x＝﹣2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设E（n，0），矩形DEFG的周长为m，写出m与n的函数关系式，并求m的最大值； （3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围． 20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值． 参考答案 一、选择题 1．将抛物线y＝x2+2x﹣1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2） 【解答】解：因为y＝x2+2x﹣1＝（x+1）2﹣2， 所以抛物线y＝x2+2x﹣1的顶点坐标为（﹣1，﹣2）， 所以将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为（2，﹣2）． 故选：D． 2．二次函数y＝2（x+1）2+3的最小值是（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意，∵y＝2（x+1）2+3， ∴当x＝﹣1时，y取最小值为3． 故选：D． 3．如果二次函数y＝x2﹣2x+c的最小值为0，那么c的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【解答】解：∴y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2﹣1+c， ∴二次函数的图象开口向上，当x＝1时，y最小＝﹣1+c， ∵二次函数y＝x2﹣2x+c的最小值为0， ∴﹣1+c＝0， ∴c＝1， 故选：B． 4．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＜0 B．a﹣b＝0 C．3a﹣c＝0 D．am2+bm≤a﹣b（m为任意实数） 【解答】解：由函数图象可知， a＜0，b＜0，c＞0， 所以abc＞0． 故A选项不符合题意． 因为抛物线经过点（﹣3，0）和（1，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 则， 所以2a﹣b＝0． 故B选项不符合题意． 将b＝2a代入a+b+c＝0得， a+2a+c＝0， 所以3a+c＝0． 故C选项不符合题意． 因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）， 所以抛物线的对称轴为直线x＝． 又因为抛物线开口向下， 所以当x＝﹣1时，函数取得最大值a﹣b+c， 所以对于抛物线上的任意一点（横坐标为m），总有am2+bm+c≤a﹣b+c， 即am2+bm≤a﹣b． 故D选项符合题意． 故选：D． 5．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x＝1 【解答】解：由题知， ， 解得， 所以二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x． 因为a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故A选项不符合题意． 因为y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当x＞1时，y随x的增大而减小． 故B选项不符合题意． 令y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 又因为抛物线的顶点坐标为（1，1）， 所以抛物线经过第一、三、四象限． 故C选项不符合题意． 因为二次函数解析式为y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线x＝1． 故D选项符合题意． 故选：D． 6．已知二次函数y＝ax2+（2a﹣3）x+a﹣1（x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为（　　） A．1≤a＜ B．0＜a＜ C．0＜a＜ D．1≤a＜ 【解答】解：∵图象经过第一、二、四象限， ∴﹣， ∴， ∴a﹣1≥0，Δ＝（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）＞0， 解得1≤a＜， ∴a的取值范围为1≤a＜． 故选：A． 7．关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当x＝0时，y＝m2﹣1，因为m＞1，所以y＝m2﹣1＞0， 函数图象与y轴的交点应在x轴的上边，故选项D错误； y＝x2﹣2mx+m2﹣1＝（x﹣m）2﹣1， 函数图象的对称轴为x＝m，因为m＞1，所以选项A错误； 当x＝m时，函数值为y＝﹣1，因此选项B错误，选项C正确． 故选：C． 8．对于抛物线y＝ax2﹣（2a+1）x﹣a+1，当x＝﹣1时，y＜0，则这条抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：∵当x＝﹣1时，y＜0， ∴a+（2a+1）﹣a+1＜0， ∴a＜﹣1， ∴0，0， ∴这条抛物线的顶点一定在第一象限， 故选：A． 9．将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线经过点（﹣1，2），则a的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+2＝a（x+1）2﹣a+2， 将抛物线y＝ax2+2ax+2（a为常数，且a≠0）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝a（x+1+2）2﹣a+2﹣3，即y＝a（x+3）2﹣a﹣1， ∵得到的抛物线经过点（﹣1，2）， ∴4a﹣a﹣1＝2， ∴a＝1． 故选：B． 10．二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m（m为常数），当﹣1≤x≤4时，y的最大值为6，则m的值为（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1或2 D．1或﹣2 【解答】解：由条件可知：当m＜0时，二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m有最大值﹣3m＝6， 解得：m＝﹣2， 当m＞0时，二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m有最小值﹣3m， 二次函数y＝m（x﹣2）2﹣3m的对称轴为x＝2， ∵4﹣2＜2﹣（﹣1）， ∴当x＝﹣1时，y有最大值6， 可得：m（﹣1﹣2）2﹣3m＝6， 解得：m＝1， 综上所述m的值为1或﹣2． 故选：D． 二、填空题 11．若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　m≤　． 【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×m≥0， 解得m≤， 即m的取值范围为m≤． 故答案为：m≤． 12．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 　450　平方米． 【解答】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（60﹣2x）米， 又墙长为40米， ∴0＜60﹣2x≤40． ∴10≤x＜30． 又菜园的面积＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450， ∴当x＝15时，可围成的菜园的最大面积是450， 即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 13．无论k为任何实数，二次函数y＝2x2﹣（3﹣k）x+k的图象必过定点 　（﹣1，5）　 ． 【解答】解：原式可化为y＝2x2﹣3x+k（x+1）， ∵二次函数的图象必过定点，即该定点坐标与k的值无关， ∴x+1＝0，解得x＝﹣1， 此时y的值为y＝2+3＝5，图象必过定点（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5）． 14．若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为　﹣5或1　 ． 【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1， ∵二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31， ∴①当﹣1﹣t＞t+3，即t＜﹣2时，2t2+4t+1＝31 解得 t1＝﹣5，t2＝3（舍去）． ②当﹣1﹣t＜t+3，即t＞﹣2时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31， 解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1； ③当t＞﹣1时，2（t+2）2+4（t+2）+1＝31， 解得 t1＝﹣7（舍去），t2＝1； 综上所述，t的值是﹣5或1． 故答案为：﹣5或1． 三、解答题 15．如图，A、B为一次函数y＝﹣x+5的图象与二次函数y＝x2+bx+c的图象的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y＝x2+bx+c的图象上的动点，且位于直线AB的下方，连接PA、PB． （1）求b、c的值； （2）求△PAB的面积的最大值． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+5＝5；当x＝4时，y＝﹣x+5＝1，则A（0，5），B（4，1）， 则， 解得：； （2）由（1）可得：y＝x2﹣5x+5，设P（m，m2﹣5m+5），作PE∥OA，交AB于E， 则E（m，﹣m+5），则PE＝4m﹣m2， ∴， 当m＝2时，最大值为8． 16．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果，该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元．某农户日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为w元． （1）分别求出y与x，w与x之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）； （2）若该水果的日销售量不低于90千克，当售价定为多少元/千克时，每天获取的利润最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0）． 把点（30，100），（40，80）代入y＝kx+b（k≠0）， ∴， 解得， ∴y＝﹣2x+160（20＜x≤50）； ∴W＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣2x+160）＝﹣2x2+200x﹣3200（20＜x≤50） （2）﹣2x+160≥90． ∴x≤35． ∵20＜x≤50， ∴20＜x≤35． W＝﹣2x2+200x﹣3200＝﹣2（x﹣50）2+1800． ∵﹣2＜0， ∴抛物线的开口向下． ∵对称轴为直线x＝50， ∴在20＜x≤35时，W随x的增大而增大， ∴当x＝35时，W取最大值，此时W＝﹣2×（35﹣50）2+1800＝1350， 答：当售价定为35元/千克时，每天获取的利润最大，最大利润是1350元． 17．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）． （1）若点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上，求该二次函数的表达式． （2）请证明不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3，求a的值． 【解答】（1）解：∵点（0，n），（4，n）在该二次函数的图象上， ∴该二次函数的图象的对称轴为直线x， ∴， 解得a＝2， ∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+1． （2）证明：∵Δ＝（﹣2a）2﹣4×1×（a﹣1）＝4a2﹣4a+40， ∴不论a为何值，二次函数的图象与x轴都有两个交点． （3）解：二次函数y＝x2﹣2ax+a﹣1图象的对称轴为直线xa， 当a＜0时， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝0时，y＝﹣3， 即a﹣1＝﹣3， 解得a＝﹣2； 当0≤a≤3， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝a时，y＝﹣3， 即a2﹣2a2+a﹣1＝﹣3， 解得a1＝2，a2＝﹣1（舍去）， ∴a的值为2； 当a＞3时， ∵当0≤x≤3时，该二次函数有最小值﹣3， ∴当x＝3时，y＝﹣3， 即9﹣6a+a﹣1＝﹣3， 解得a（舍去）． 综上所述，a的值为﹣2或2． 18．已知二次函数y＝mx2﹣6mx﹣m﹣5（m是常数，且m≠0）的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个二次函数图象的对称轴； （2）将这个二次函数图象向左平移t（0＜t＜3）个单位长度，得到一个新的二次函数图象．若新的二次函数在0≤x≤3的范围内有最小值，求t的值． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝mx2﹣6mx﹣m﹣5＝m（x﹣3）2﹣10m﹣5，且m≠0， ∴二次函数图象的对称轴是直线x＝3． （2）由题意，∵图象与x轴只有一个公共点， ∴二次函数图象的顶点在x轴上． 又∵二次函数为y＝m（x﹣3）2﹣10m﹣5， ∴顶点为（3，﹣10m﹣5）． ∴﹣10m﹣5＝0， 解得m， ∴二次函数解析式为y（x﹣3）2，， ∴这个二次函数图象向左平移t（0＜t＜3）个单位长度后所得抛物线解析式为y（x﹣3+t）2， ∵新抛物线的对称轴为直线x＝3﹣t， ∴当0＜t时，当x＝0时，二次函数y（x﹣3+t）2，有最小值， ∴（﹣3+t）2， 解得t1＝3（舍去），t2＝3； 当t≤3时，当x＝3时，二次函数y（x﹣3+t）2，有最小值， ∴（3﹣3+t）2， 解得t1，t2（舍去）， 综上所述，t的值为3或． 19．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x＝﹣2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设E（n，0），矩形DEFG的周长为m，写出m与n的函数关系式，并求m的最大值； （3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵由题意，∵对称轴是直线， ∴，B（2，0）． ∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x+2）2+c． ∵C（0，1），A（2，0）在抛物线上， ∴． ∴． ∴y（x+2）2+3x2﹣2x+1． ∴抛物线的函数表达式为yx2﹣2x+1． （2）由题意，∵E（n，0）， ∴F（﹣4﹣n，0），D（n，n2﹣2n+1）． ∴DEn2﹣2n+1，EF＝4+2n． ∴m＝2（n2﹣2n+1+4+2n）＝﹣n2+10，即m与n的函数关系式是m＝﹣n2+10． ∴当n＝0时，m的值最大，m的最大值是10． （3）2＜k＜3．理由如下： 当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点， 又∵yx2﹣2x+1（x+2）2+3， ∴顶点坐标是（﹣2，3）． 由（2）可得D（0，1）， ∴当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度． 又∵把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点， ∴当2＜k＜3时，抛物线顶点在矩形内部．即抛物线与矩形只有两个交点． 20．已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4， ∴顶点坐标为（3，4）； （2）∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， ∵顶点坐标为（3，4）， ∴当x＝3时，y最大值＝4， ∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝1时，y最小值＝0， ∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小， ∴当x＝4时，y最小值＝3． ∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0； （3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论， ①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大， 当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4， 当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5， ∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9， ∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去）， ②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴m＝4， i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5， ∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9， ∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）； ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4， ∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2， ∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去）， ③当t≥3时，y随着x的增大而减小， 当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5， 当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4， .m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9， ∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去）， 综上所述，t＝3﹣或． 学科网（北京）股份有限公司 $$