4.3.5 全等三角形的应用（课件）2025-2026学年湘教版八年级数学上册

4.3 全等三角形 第4章 三角形 4.3.5 全等三角形的应用 ÷ 八年级上册数学（湘教版） 1. 熟练掌握全等三角形的判定定理，全面认清条件，能正确地利用相关条件判定三角形全等；（重点、难点） 2. 运用全等三角形的判定方法解决线段相等和角相等的相关应用问题. 学习目标 如图，要证明△ACE≌△BDF，根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上. (1) AC∥BD，CE = DF， .(边角边) (2) AC = BD， AC∥BD，__________. (角边角) (3) CE = DF， ， . (边边边) C B A E F D AC = BD ∠A = ∠B AC = BD AE = BF 复习导入 3 思考：如图，为测量河宽 AB，小楠从河岸的 A 点沿着与 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使点D，E，B 恰好在一条 直线上. 于是小楠说： “CD 的长就是河的宽度.” 你认为小楠说得对吗？ 为什么? A B E C D 1 全等三角形的实际应用 探究新知 解： 如图，在△AEB 和△CED 中， ∠A =∠C = 90°， AE = CE， ∠AEB =∠CED (对顶角相等)， 所以△AEB≌△CED (角边角). 从而 AB = CD. 即 CD 的长就是河的宽度. 因此，小楠说得对. 例1 小玲家有一个小口玻璃瓶，她想知道它的内径是多少，但是尺子不能伸到里边测量，于是她想了个办法：将两根长度相同的细木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动(如图所示)，使 CD 与瓶底平行，这样只要量出 AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少，你知道其中的理由是什么吗 （木条的粗细忽略不计)？ 分析：只需要说明 AB 和 CD 相等即可. 解：如图，连接 AB，CD， 所以△AOB≌△COD (边角边)， 从而 AB = CD， 即 AB 的长等于玻璃瓶的内径. 由题意可知，OA = OB = OC = OD. 在△AOB 和△COD 中， OA = OC， ∠AOB =∠COD (对顶角相等)， OB = OD， 例2 在甲楼底部、乙楼顶部分别安装一盏射灯. 其中 A 灯恰好照到 B 灯，B 灯恰好照到甲楼的顶部 C 处，如图所示. 已知 AE 为水平线，CA⊥AE，BE⊥AE，如果两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等，那么能否说甲楼高度是乙楼高度的 2 倍？为什么? 解：如图，过点 B 作 BF⊥AC，交 AC 于点 F，则∠CFB =∠AFB = 90°. 又∠CFB =∠CAE = 90°， 所以 FB∥AE， 从而∠ABF =∠BAE. 因为两盏灯的光线 AB，BC 与水平线的夹角相等， 所以∠CBF =∠BAE，从而∠CBF =∠ABF. 所以△CBF≌△ABF（角边角），从而 CF = AF. 又 FA⊥AE，BE⊥AE，且 AE∥FB， 所以 AF，EB 是平行线 AE 与 FB 的公垂线段， 故 AF = EB，从而AC = 2AF = 2EB. 因此，可以说甲楼高度是乙楼高楼的 2 倍. 在△CBF 和△ABF 中， ∠CBF =∠ABF， BF = BF， ∠CFB =∠AFB， 1. 小玉利用一根长 3.6 m 的竿子来测量路灯 AB 的高度，她的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使 BP＝3.6 m，并测得∠APB＝66°，然后把竖直的竿子CD（CD＝3.6 m）在 BP 的延长线上左右移动，使∠CPD＝24°，此时测得 BD＝11.6 m. 请根据这些数据，计算路灯 AB 的高度. A 路灯 B P C D 练一练 ∴△CPD≌△PAB(角边角). ∴PD＝AB. ∵BD＝11.6 m，BP＝3.6 m， ∴AB＝PD＝BD－BP＝8 m. 答：路灯 AB 的高度是 8 m. 解：由题意得，∠CDP＝∠PBA＝90°， ∵∠CPD＝24°，∴∠PCD＝180°－90°－24°＝66°， ∵∠APB＝66°，∴∠PCD＝∠APB. 在△CPD 和△PAB 中， ∠CDP＝∠PBA＝90°， CD＝PB＝3.6， ∠PCD＝∠APB， A 路灯 B P C D 例3 已知：如图，AB = CD，BC = DA，E，F 是 AC上的两点，且 AE = CF. 求证：BF = DE. 证明：在△ABC 和△CDA 中， ∴△ABC≌△CDA (SSS). ∴∠BCF =∠DAE. AB = CD， BC = DA， AC = CA (公共边)， 在△BCF 和△DAE 中， ∴△BCF≌△DAE (SAS). ∴ BF = DE. BC = DA， ∠BCF = ∠DAE， CF = AE， 全等三角形的判定与性质的综合运用 2 12 例4 如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，BC＝DC，E 为 AC 上的一动点(不与 A 重合)，在点 E 移动的过程中 BE 和 DE 是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等．理由如下： 在△ABC 和△ADC 中， AB＝AD， AC＝AC， BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC (SSS)， ∴∠DAE＝∠BAE. 在△ADE 和△ABE 中， AB＝AD， ∠DAE＝∠BAE， AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE (SAS). ∴ BE＝DE. 13 本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为三角形全等的证明依据使用． 方法总结 例5 如图，已知 CA = CB，AD = BD，M，N 分别是 CA，CB 的中点，求证：DM = DN. 在△ACD 与△BCD 中， 证明： CA = CB (已知)， AD = BD (已知)， CD = CD (公共边)， ∴△ACD≌△BCD (SSS). 连接 CD，如图所示. ∴∠A =∠B. 又∵M，N 分别是 CA，CB 的中点， ∴ AM = BN. N A B D C M 在△AMD 与△BND 中， AM = BN (已证)， ∠A =∠B (已证)， AD = BD (已知)， ∴△AMD≌△BND (SAS). ∴ DM = DN. N A B D C M 1. 如图，已知 AC = DB，∠ACB =∠DBC，则有 △ABC≌△ ，理由是 ， 且有∠ABC = ∠ ，AB = . A B C D DCB SAS DCB DC 课堂练习 17 2.如图，某同学将一块三角形玻璃打碎成了三块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( ) (A) 带(1)去 (B) 带(2)去 (C) 带(3)去 (D) 带(1)(2)去 C 【解析】选C. 题干中图 (3) 包含原三角形的两角一边，根据“ASA. ”可配一块与原三角形玻璃完全一样的玻璃. 3. 如图，CD⊥AB 于 D 点，BE⊥AC 于 E 点，BE，CD交于 O 点，且 AO 平分∠BAC. 求证：OB＝OC. 证明：∵ BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠B +∠BOD＝∠C +∠COE＝90°. ∵∠BOD＝∠COE，∴∠B＝∠C. 又∵ AO 平分∠BAC，∴∠1＝∠2. 在△AOB 和△AOC 中， ∴△AOB≌△AOC (AAS). ∴ OB＝OC. ∠B＝∠C， ∠1＝∠2， OA＝OA， 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找第三边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹边的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找其中一角的对边(AAS) 课堂小结 $$我用这根木棍代表三角形的一边，这根代表另一边。那这两根木棍的长度不变，也就是边长固定。但是它们之间的夹角是可以根据情况改变的，这点跟刚才不同，边边有了还剩角，所以我让这根木棍和最后一边的夹角固定下来，也就是这个角。那用这条虚线表示最后的一边，也就是这个角固定第三边一定在这个角的虚线上。这时候我来移动第二根木棒，让它和这条虚线相接组成三角形。这个时候我们发现这根木棍在这个位置可以组成一个三角形。但是到此为止了吗？继续转动这条边，发现转到这里的时候，它还可以组成一个三角形。也就是说当两条边和一个边的对角，也就是边角相等的时候，能组成的三角形不是唯一的。