4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边） 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦全等三角形的“角边角”（ASA）和“角角边”（AAS）判定定理，通过“三角形玻璃碎片还原”情境导入，引导学生从现实问题抽象数学本质，衔接全等三角形概念，以操作验证、问题链引导为支架，构建判定定理的认知过程。 其亮点在于融合数学眼光、数学思维与数学语言，通过情境抽象（玻璃碎片问题）、动手重合验证定理（推理意识），结合典例（平行线转化角、等式性质转化边）与易错点强调，培养学生抽象能力与逻辑推理。结构化小结明确判定条件与应用，助力学生掌握证明方法，教师可依托其清晰流程提升教学效率。

李狗蛋他们班突然来了位神秘的转学生三角君。这位同学来头可不小，他们家在伽马星云第58号行星，俗称三角星，在来自三角形的三角军坐着三角飞行器移民到了远远的地球。谁知天有不测风云，放学第一天就因为不熟悉交通规则被撞飞了，而且飞了好远好远，就差飞回家了。结果落地的时候就被啪的一下摔成了两截儿。这两节的三角军被同学们火速送到了宇宙友好医院。狗蛋到了那儿焦急的对医生说，能不能把三角军修复成和原来一模一样的三角形？医生淡定的对狗蛋说，这位同学不用着急，三角形人的本体其实只在半个身体里，只要有了它身体的一半就能修复成和原来一模一样。好消息，不过接下来的问题是，这该选哪一半呢？快递狗蛋想想该用哪一半身体把三角区还原成和原来一模一样的三角形。医生把三角巾的下半身推入了手术室，一小时以后，哒哒和原来一模一样的三角君神采奕奕地走出了手术室，补完计划圆满成功。看了段这么科幻的剧情，话说你知道为什么只要有了三角君的下半身，就能把它恢复到和原来相同的三角形吗？来我们看看上半个三角区和下半个三角形有什么不同。三角形的上半身有的是眼睛、鼻子、脑子和一个角，而下半身有嘴巴、胳膊、腿以及两个角和中间的一条边，也就是角边角。而恰恰是这三个剩下的部分角边角，让我们可爱的三角星人恢复了原状。不过为什么脚边角就可以把三角星人恢复原状呢？我们来看个小三角形的下半身，包括了三角形的两个角和它们的夹边。那我们现在就来尝试一下，如果把三角形的一边确定了，两侧的角也固定住，那么我们可以在这三个元素确定的条件下，最后画出几个三角形？我们看到这两个角和它们的夹边确定了，想要把三角形补完，只能按照这两条边原有的固定方向做延长线。我们知道平面内两直线只有一个交点，并且在不改变直线角度的情况下，焦点的位置也是固定的。这里换句话说，这两直线只能在这里相交，没有其他可能性，这就是三角形的顶点，也就是说我们现在只能做出一个样子的三角区，做不出别的样子的来。那么就请问通过下半身角边角完的三角形和原来的三角形是什么关系？毫无疑问通过角边角完的三角巾，虽然材质有点变化，表情有点变，但是形状和大小跟之前一模一样，也就是和原来全等的这下才能愉快的回学校了。我们可爱的三角巾补完的过程抽象出来看的话，实际上是已知一个三角形的两个角和它们的夹边。然后根据这三个条件确定一个三角形的过程，并且只能确定一个和原三角形全等的三角形。所以这个规律在数学上就可以成为全等三角形的又一个判定方法，叫做角边角ASA。通过这条定理，只要两个三角形能满足角边角相等的条件，就可以判定它们全等。注意角边角指的是两角和中间的夹边。结束前我们来看道例题，在这两个三角形里，角A等于角A撇AB边等于A撇B撇，边角B等于角B撇。要证明的是三角形ABC全等于三角形A撇B撇C撇。我们先结合图来看题目的条件，角A是这个角，它和角A撇相等，角B在这里它和角B撇相等。而AB边注意看AB边正好是角A和角B中间的夹边，那他又等于A撇B撇。这三个条件刚好满足两角和它们的夹边相等，我们就可以用角边角这个判定定理来证明这两个三角形全等。接下来我们来写一下证明过程，在三角形ABC和3角形A撇B撇C撇中，角A等于角A撇。注意对应关系，AB等于A撇B撇，角B等于角B撇。那这三个写下来正好是角边角，所以三角形ABC全等于三角形A撇B撇C撇。那么在最后注明用的是哪条判定？这里是ASA也就是角边角。做完这道题我们就掌握了角边角的判定定理。在这个定理中，分别有两个等角和一个等边。不过两角和一边分别相等也不止这一种情况。另外的条件组合情况是什么样的？能不能判定三角形全等？这种定理掌握的越多，我们在面对证明题的时候，手里的武器装备就越丰富，解起题来就更容易。好，我们先来看这道题，图中的两个三角形里，已知角A等于角A撇，AB边等于A撇B撇，边角C等于角C撇。然后看清他们的位置，要证明的是这两个三角形全等。要证明两个三角形全等就要用判定定理。那么我们可以把至今学过的判定定理都过一遍，看看哪个合适。第一个我们学了边边边，但是在这个已知条件里面，只有AB边等于A撇B撇边一边相等，所以肯定不能用边边边。之后我们又学了SAS也就是边角边。根据这个定理至少要知道两边和它们的夹角对应相等，同样的我们还是少了关于边的条件。最后是刚学的角边角，想要用角边角证明两个三角形全等，只需要知道两个角和它们的夹边相等，也就是0.21元边。说到这儿有点高兴了，对不对？题中给的不就是0.21元边的相等关系吗？不过不要高兴的太早了，认真看条件，题中给的是AB等于A撇B撇边。这个边并不是两个角的夹边，而是其中一个角的对边。角边角定理是0.21元夹边，所以这里没法直接用角边角来判定全等。不要怕，毛主席说过，没有条件就想办法创造条件，那我们就来创造一个可以判定全等的条件呗。其实我也不记得毛主席说过这句话了，如果他没说，就算我说的。好了，如果我们想要用角边角证明两个三角形全等的话，必须有角B等于角B撇才行。好了，那我们能不能证明角B等于角B撇呢？其实非常容易，因为已经知道了角A等于角A撇，角C等于角C撇。只要利用三角形内角和等于180度，也就是三角形内角和定理，就可以很容易得出角B等于角B撇了。接下来我们写下具体证明过程，在三角形ABC中，角B等于180度减去角A减去角C这是根据内角和定理。同样的那在三角形A撇B撇C撇中，角B撇就等于180度，减去角A撇再减角C撇。又因为角A等于角A撇，角C等于角C撇，所以角B就等于角B撇了。那有了这个条件以后，就可以使用角边角判定了。所以在三角形ABC和A撇B撇C撇中就有了角A等于角A撇，AB边等于A撇B撇，边角B等于角B撇，正好是角边角的条件。所以三角形ABC全等于三角形A撇B撇C撇，根据的是角边角。好了，证明完这题之后，不知道你意识到什么没有？我们这节课一直研究到底哪些条件可以确定两个三角形全等。刚刚虽然我们用的是角边角这个判定定理，但是已知条件却是角角边，不是角边角，只是中间推导的时候我们把它转化成了角边角。证明过程虽然加了一步，但是结果是很明显的，也就是通过角角边相等的条件，同样可以保证两个三角形全等。这个证明简直是买一赠一的惊喜。原来除了角边角对应相等之外，两个角和其中一个角的对边分别相等，也就是角角边相等的两个三角形也是全等的。于是我们用于证明全等的定理武器库里又多了一个新家伙，三角形中两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形也是全等的，也就是全等三角形判定的角角边定理AAS。简单的说，角边角定理和角角边定理都可以判定全等。这说明当我们用三个相等条件判定三角形全等时，只要知道0.21元边相等，那无论他们的排列顺序是什么样子的，都可以判定两个三角形全等。因为对于一个三角形来说，只要确定了两个角，那第三个角的度数也是确定的。总之0.21元边可以判定全等。那具体是用角角边还是用角边角的话，你可以在证明的时候根据已知条件选一个方便的来用。如果条件给的是角边角，那就用角边角来判定。如果给的是角角边相等，就用角角边来判定。因为ASA和AAS都可以相互推，其实是一样的。这道题巩固一下。我们看这幅图，已知条件是AB这条线平行于FC同时DE这条线段和FE这条线段相等，要求证的是ADE这个小三角形全等于CFE这个三角形。思考一下怎么证？已知条件里有平行线，那看到线平行就条件反射的去找角相等，所以角A和角ECF这组内错角相等。同样的角ADE和角F也是相等的，相等的角我就用角标记标上，那用角标记不同的条数来区分一下。根据这些相等条件，在三角形ADE和3角形CFE中，角A等于角ECF，角ADE等于角F最后是DE边等于FE边，所以三角形ADE全等于三角形CFE。写的时候要注意一下字母的对应顺序，那这个证明的依据就是刚学的角角边判定。 4.3 全等三角形 第4章 三角形 4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边） ÷ 八年级上册数学（湘教版） 学习目标 1. 能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等；（重点） 2. 会寻找已知和隐藏条件，并准确运用相关定理去证明三角形的边或角相等. 3. 通过证三角形全等来证明线段相等或角相等.（难点） 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？如果可以，带哪块去合适? 你能说明其中的理由吗? 3 2 1 情境导入 Ⅰ Ⅱ 思考：观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，猜想下这是为什么？ 问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C 图一 图二 “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 用“角边角”判定两个三角形全等 1 探究新知 把△ABC 放到△A'B'C' 上，使点 B 与点 B' 重合， BC 落在射线 B'C' 上，点 A 与点 A' 在 B'C' 的同侧， 则由 BC = B'C' = 3 cm 可得，点 C 与点 C' 重合. 因为∠B =∠B' = 40°， 所以射线 BA 与 射线 B'A' 重合. 已知在△ABC 和△A′B′C′ 中，其中 BC = B′C′ = 3 cm，∠B =∠B′ = 40°，∠C = ∠C′ = 60°，如图所示. A B C A′ B′ C′ A (C) (B) 又∠C =∠C' =60°，故射线 CA 与射线 C'A' 重合. 因为 C'A' 与 B'A'，CA 与 BA 都有且只有一个交点， 所以点 A 与点 A' 重合. 于是△ABC 与△A'B'C' 完全重合， 从而△ABC≌△A'B'C' . A′ B′ C′ A (C) (B) A B C 数学上已经证明上述猜测成立，并称之为全等三角形的判定定理(角边角). 由此猜测：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. “角边角”判定三角形全等的方法 文字语言：有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 几何语言： ∠A =∠A′ (已知)， AB = A′B′ (已知)， ∠B =∠B′ (已知)， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′ (角边角). A B C A′ B′ C′ 知识要点 例1 已知：如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D. 求证：△ABE≌△CDF. 证明：∵ AB∥DC， ∴∠A =∠C. 在△ABE 和△CDF 中， ∴△ABE≌△CDF (角边角). ∠A =∠C， AB = CD， ∠B =∠D， 典例精析 例2 如图，∠1 =∠2，∠C =∠E，AC = AE. 求证：△ABC≌△ADE. 证明：因为∠1 =∠2， 所以∠1 +∠BAE =∠2 +∠BAE， 即∠BAC =∠DAE. 在△ABC 和△ADE 中， 所以△ABC≌△ADE(角边角). ∠BAC =∠DAE ， AC = AE， ∠C =∠E， 1.已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明： 在△ABC 和△DCB 中， ∴△ABC≌△DCB（角边角）. B C A D 练一练 如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判断下面的两个三角形是否全等，并说明理由. 答：不全等，因为 BC 虽然是公共边，但并不对应. A B C D 易错点：判定全等的条件中，必须是对应的边相等， 对应的角相等，否则不能判定. 议一议 2 用“角角边”判定两个三角形全等 议一议 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？为什么？ 解：因为∠A +∠B +∠C = 180°， 所以∠C =∠C′. 又由于 BC = B′C′，∠B =∠B′， 因此△ABC≌△A′B′C′ (角边角). 如图，在△ABC 与△A'B'C' 中，满足∠A =∠A'，∠B =∠B'，BC = B'C'. ∠A′ +∠B′ +∠C′ = 180°， 由此得到全等三角形的判定定理（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”(AAS). ∠A =∠A′（已知）， ∠B =∠B′ （已知）， AC = A′C′（已知）， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′（角角边）. A B C A′ B′ C′ 知识要点 例3 已知：如图，∠B =∠D，∠1 =∠2. 求证：△ABC≌△ADC. 证明：因为∠1 =∠2， 所以∠ACB =∠ACD (等角的补角相等). 在△ABC 和△ADC 中， 所以△ABC≌△ADC (角角边). ∠B =∠D， ∠ACB =∠ACD， AC = AC， 典例精析 2. 已知：如图，点 B，F，C，E 在同一条直线上， AC∥FD，∠A =∠D，BF = EC. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵ AC∥FD， ∴∠ACB =∠DFE. ∵ BF = EC， ∴ BF + FC = EC + FC， 即 BC = EF. 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (角角边). ∠A =∠D， ∠ACB =∠DFE， BC = EF， 练一练 “角边角”“角角边”判定与性质的综合运用 3 例4 如图，已知：在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线 m 经过点 A，BD⊥m，CE⊥m，垂足分别为点 D、E. 求证：(1) △BDA≌△AEC； 证明：∵ BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°. ∴∠ABD＋∠BAD＝90°. ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＋∠BAD＝90°. ∴∠ABD＝∠CAE. 在△BDA 和△AEC 中， ∠ADB＝∠CEA＝90°， ∠ABD＝∠CAE， AB＝AC， ∴△BDA≌△AEC(AAS). (2) DE＝BD＋CE. ∴ BD＝AE，AD＝CE. ∴ DE＝DA＋AE＝BD＋CE. 证明：∵△BDA≌△AEC， 方法总结：利用全等三角形可以建立线段之间的等量关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化. 证明：∵ AB∥ED，AC∥EF， ∴∠B =∠D，∠ACB＝∠EFD． 在△ABC 和△EDF 中， 　 ∠B＝∠D（已证）， ∠ACB＝∠EFD（已证）， AB＝ED（已知）， ∴△ABC≌△EDF (角角边). 例5 如图，点 B、F、C、D 在同一条直线上，AB = ED，AB∥ED，AC∥EF. 求证：△ABC≌△EDF，BF = CD. B F C D E A ∴ BC = DF. ∴ BF = CD. 证明：在△ACD 和△ABE 中， ∠A = ( )， ________ ( )， ∠C = ( )， ∴△ACD≌△ABE ( ). ∴ AD = AE（ ）. 分析：只要找出 ≌ ，得 AD = AE. △ACD △ABE ∠A 公共角 AC = AB ∠B 角边角 全等三角形的对应边相等 1. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AC = AB，∠B =∠C. 求证：AD = AE. 已知 已知 A D B C O E ∵ 课堂练习 21 2. 已知：在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB， BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E. 求证：BD = CE. 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， 在△CDB 和△BEC 中， ∠DCB = ∠EBC， BC = BC ， ∴△CDB≌△BEC (角角边). ∠CDB =∠BEC = 90°， ∴ BD = CE. ∴∠CDB =∠BEC = 90°. 角边角 角角边 内容 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“_______”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的依据 注意 注意“角角边”、“角边角”中两角与边的区别 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成 “_________”) 角边角 角角边 课堂小结 $$