上海市南汇第三中学2024-2025学年 九年级下学期月考数学试卷（5月份）

2024-2025学年上海市南汇三中九年级（下）月考数学试卷（5月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各数中是无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.下列方程中，没有实数根的方程是(    ) A. B. C. D. 3.已知直线经过第一、二、四象限，那么直线一定不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析．在此问题中，样本是指(    ) A. 80 B. 被抽取的80名初三学生 C. 被抽取的80名初三学生的体重 D. 该校初三学生的体重 5.如图，已知是绕点A逆时针旋转所得，其中点D在射线AC上，设旋转角为，直线BC与直线DE交于点F，那么下列结论不正确的是    A. B. C. D. 6.在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是(    ) A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边相等，一组对角相等 C. 一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线 D. 一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 7.计算：______. 8.分解因式：          . 9.方程的根是______. 10.如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为______. 11.如果一个正多边形的中心角为，那么这个正多边形的边数是______. 12.抛物线在y轴右侧部分呈现______的趋势填“上升”或者“下降” 13.在六张形状、质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有：线段、正三角形、平行四边形、矩形、正五边形、圆，现将它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是______. 14.如图，传送带AB和地面BC所处斜坡的坡度为1：3，如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方，那么物体所经过的路程是______米结果保留根号 15.为了解区内AI赋能教学实践的情况，从3000名九年级学生中，随机抽取100名学生进行了关于AI辅助教学工具使用满意度的调查，调查结果如下： 满意度 不满意 一般 比较满意 满意 非常满意 频数 5 15 频率 根据统计表中的信息，估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是______. 16.如图，AD、BE是的中线，交于点O，设，，那么向量用向量、表示是______. 17.如图，正方形ABCD中，，E为AD中点，点G、F分别在边DC、AB上.联结BE、FG，且线段BE、FG的夹角为若，则FB的长为______. 18.如图，已知矩形ABCD中，，以点B为圆心，AB为半径作，交AB的延长线于点E，联结再以点A为圆心，AD为半径作若与相交且至少有一个交点在内部或在边上，设，那么k的取值范围是______. 三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 计算： 20.本小题8分 解方程： 21.本小题8分 如图，菱形ABCD，以A为圆心，AC长为半径的圆分别交边BC，DC，AB，AD于点E，F，G， 求证：； 当E为弧中点时，求证： 22.本小题8分 已知抛物线经过点，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点 求这条抛物线的表达式； 如果P是这条抛物线对称轴上一点，，求点P的坐标； 在第小题的条件下，当点P在x轴上方时，求的正弦值． 23.本小题8分 如图，在中，，，，点D是边AC上一点，，点E是边AB上一点，以点E为圆心，EA为半径作圆，经过点D，点F是边AC上一动点点F不与A、C重合，作，交射线BC于点 用直尺圆规作出圆心E，并求圆E的半径长保留作图痕迹； 当点G的边BC上时，设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； 联结EG，当与相似时，推理判断以点G为圆心、CG为半径的圆G与圆E可能产生的各种位置关系． 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．根据无理数的定义即可求出答案． 【解答】 解：原式，故A不是无理数； B.原式，故B不是无理数； C.是分数，故C不是无理数； D.是无理数. 故选： 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程与分式方程的解，熟练运用一元二次方程根的判别式与解分式方程是解题的关键．将无理方程化为一元二次方程运用根的判别式判断根的情况，将分式方程求解再检验判断是否增根，此题难度不大． 【解答】 解：原方程变形为，即，，所以方程没有实数根，故A符合题意； B.，所以原方程有实数根，故B不符合题意； C.原方程变形为，解得，当时，分式方程左边右边，因此是原分式方程的根，故C不符合题意； D.原方程变形为，即，，所以原方程有实数根，故D不符合题意． 故选： 3.【答案】B  【解析】解：直线经过第一、二、四象限， ，， 直线一定不经过第二象限． 故选： 由直线经过一、二、四象限可分析得出，，由此判定不经过第二象限． 本题考查了一次函数的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用． 4.【答案】C  【解析】【分析】 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【解答】 解：样本是被抽取的80名初三学生的体重， 故选 5.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转不变性解决问题，属于中考常考题型．利用旋转不变性即可解决问题． 【解答】 解：是由旋转得到， ，， ， ， 故A，B，C正确， 故选： 6.【答案】C  【解析】解：A、一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，故该选项错误，不符合题意； B、一组对边相等，一组对角相等，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的这组对边平行或另一组对边相等，故该选项错误，不符合题意； C、根据一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，可以利用三角形全等证明平行的这组对边也相等，故是平行四边形，该选项正确，符合题意； D、一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线，不满足三角形全等的条件，无法证明相等的这组对边平行，故该选项错误，不符合题意． 故选 根据平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定方法一一判断即可． 本题考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住全等三角形的判定方法以及平行四边形的判定方法． 7.【答案】  【解析】解：原式 故答案为 利用单项式与单项式相乘的乘法法则运算． 本题考查了单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题关键. 根据解答即可. 【解答】 故答案是 9.【答案】4  【解析】解：方程两边同时平方，得， 解得：，或， 当时，原方程不成立， 当时，方程左边，方程右边，方程成立． 故答案为 将方程两边同时平方变成有理方程，解方程得出x值代入原方程去检验，经检验后即可得出结论． 本题考查了解无理方程，解题的关键是将无理方程转化为有理方程．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，将无理方程转化为有理方程，得出方程解后代入原方程去检验． 10.【答案】  【解析】解：由题意，方程有两个相等的实数根， 故答案为： 依据题意，由方程有两个相等的实数根，从而，进而计算可以得解． 本题主要考查了根的判别式，解题时要能根据方程根的情况建立关系式是关键． 11.【答案】5  【解析】解：根据题意得： 这个多边形的边数是， 故答案为： 根据正多边形的中心角和为和正多边形的中心角相等，列式计算即可． 本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和边数的关系是解题的关键． 12.【答案】下降  【解析】解：中的，， 抛物线开口向下，对称轴为y轴， 轴右侧部分下降， 故答案为：下降． 依据题意，由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． 本题主要考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 13.【答案】  【解析】解：在六张形状、质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有：线段、正三角形、平行四边形、矩形、正五边形、圆，且从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段、矩形、圆， 从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是： 由在六张形状、质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有：线段、正三角形、平行四边形、矩形、正五边形、圆，且从中任意抽取一张，那么抽出卡片的正面图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：线段、矩形、圆，直接利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用以及轴对称图形、中心对称图形的知识．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．直接利用坡比的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出答案． 【解答】 解：由题意可得：，； 故在中， 故答案为： 15.【答案】1800人  【解析】解：估计区内九年级学生中，选择“满意”的人数是为：人， 故答案为：1800人． 利用样本估计总体的思想解决问题． 本题主要考查频数分布表及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及样本估计总体思想的运用． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．求出，再根据，求解即可． 【解答】 解：、BE是的中线，交于点O， ， ， ， ， 故答案为 17.【答案】  【解析】解：如图，连接EG，BG，过点F作于点H， 线段BE、FG的夹角为， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， 为AD中点， ， ，， ， 是直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ，， 故答案为： 连接EG，BG，过点F作于点H，证明是等腰直角三角形，得，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，得，所以是等腰直角三角形，然后证明∽，得，代入值即可解决问题． 本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是证明是直角三角形． 18.【答案】  【解析】解：交点在CE时，此时与相切，， 如图2， 当交点在BC上时，， 综上所述：， 故答案为：， 交点在CEs上时，此时与相切，，当交点在BC上时，，从而得出： 本题考查了圆和圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是数形结合，直观观察，寻找临界． 19.【答案】  【解析】解： 根据，，，去绝对值，分母有理化，然后进行加减，即可． 本题考查实数，二次根式的知识，解题的关键是，，，分母有理化． 20.【答案】解：去分母得：， 整理得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 检验：当时，， 当时，， 是增根，分式方程的解为  【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 21.【答案】证明：连接AE，AF， 四边形ABCD是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：为弧中点， ， ，， ， ， ， ∽， ， ， 即  【解析】连接AE，AF，由四边形ABCD是菱形，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，即可得到结论； 由E为弧中点，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到，得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，圆心角，弧，弦的关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 22.【答案】解：抛物线经过点，， ， 解得：， 这条抛物线的表达式为； ，， 这条抛物线的对称轴为直线 设点P的坐标为 ，点B的坐标为，点C的坐标为 解得或 点P的坐标为或； 作，垂足为点 点，点，点， 设直线BC的解析式为， 代入解得， 直线BC的解析式为， 把代入得，， 直线BC与对称轴相交于点， ， ， 解得   【解析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义，三角形面积等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，灵活运用三角形面积公式，属于中考常考题型． 根据待定系数法即可求得； 根据A、B的坐标求得对称轴为，设点P的坐标为由根据勾股定理列出解得即可； 作，垂足为点H，根据勾股定理求得BC，然后求得直线BC的解析式，进而求得D的坐标，然后根据，列出求得PH，解正弦函数即可． 23.【答案】解：作线段AD的垂直平分线，交AB于E，交AC于H，如图1， 点E即为所求作． 在中，，， ， 圆E的半径长为5； 当点G的边BC上时，如图2所示． ，，， ，， ∽， ， ， ； ①当点G在BC上时， Ⅰ当时， 过点E作于N，如图2， ， ∽， ∽， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 与相交； Ⅱ当时，如图3， 则有， ，， 四边形CGEH是矩形， ，， ， 与外离； ②当点G在BC延长线上时，设GE交AC于M，如图4， ，， ∽， ， ， ，，， ，， ， 在和中， ≌， ，， ，， ， 与外离． 综上所述：当与相似时，与相交或外离．  【解析】由于，因此点E在线段AD的垂直平分线上，因而线段AD的垂直平分线与线段AB的交点即为圆心如图，然后只需解就可解决问题； 如图2，易证∽，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； 由于点G在射线BC上，故需分点G在线段BC上如图2、图，点G在线段BC的延长线上如图，然后只需求出CG和GE就可解决问题． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆与圆的位置关系、三角函数的定义、勾股定理等知识，正确进行分类是解决第小题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$