1.2证明 第1课时教案2025-2026学年 青岛版八年级 数学上册

第一章 推理与证明 1.2证明第1课时   一、教材分析 证明是数学的核心内容，是构建学科知识体系的关键手段.通过证明，零散的知识点得以串联，形成严谨的逻辑结构.证明过程让数学知识更具系统性和连贯性，为后续更高层次的学习奠定坚实基础.证明的学习有助于培养学生的逻辑思维、批判性思维和创造性思维.在分析、推理和论证的过程中，学生学会严谨地思考问题，有条理地表达观点，逐步掌握科学的思维方法，这种思维能力的培养对学生终身学习和解决实际问题具有重要意义.   二、教学目标 1..掌握推理、基本事实的概念．加深学生对新学知识的应用和理解，培养学生的逻辑思维能力． 2.通过对代数问题的解决，熟练写出理论依据.学生积极参与数学活动，培养学生应用知识解决问题的能力． 3.体会命题推理的过程，体验数学思维的严谨性．   三、教学重难点 重点：掌握推理、基本事实的概念．加深学生对新学知识的应用和理解，培养学生的逻辑思维能力． 难点：通过对代数问题的解决，熟练写出理论依据.学生积极参与数学活动，培养学生应用知识解决问题的能力．   四、教学过程 · 情境导入 展示图片，引入新课． （1）观察图中的情景是什么？ 师：在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个小个子，对吗? 生：其实，这两个人完全是一模一样的! （2）平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线. 你觉得观察得到的结论正确吗? （3）观察图中的线是平行的吗？ 曲线幻觉:竖线似乎是弯曲的，但其实它们是笔直而相互平行的. 归纳：靠感觉器官去判断，很难精确，而且有时会出错．所以，要作出准确的判断，得到精确的数据，必须用测量仪器来测量．举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 设计意图：通过有趣的图片引入，增强趣味性，方便学生理解也更容易接受新的知识.培养学生观察和概括的能力. 活动一：如何进行命题的证实 师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示． (1)观察图中的两条黑线，它们是直线吗? (2)用度量或剪拼的方法发现一个或几个三角形的内角和都是180°，由此猜想任意一个三角形的内角和都是180°.这种通过实验获得的结论一定正确吗? (3)由“两个正数的和大于每一个加数”类比得到“两个有理数的和大于 每一个加数”.这种由类比得到的结论正确吗? (4)当n=l，2，3，4，5时，代数式+3n+1的值都是质数.由此归纳得到“当n为正整数时，+3n+1的值一定是质数”.这种由归纳得到的结论正确吗? (1)通过测量，图中的两条黑线是直线. (2)任意一个三角形的内角和都是180°.通过实验不能获得的结论一定正确. (3)不正确，因为2和-3是两个有理数它们的和-1，和大于每一个加数不正确. (4)不正确，当n=6时+3n+1=55是合数不是质数，所以结论不正确. 师生活动：小组形式汇报． 交流：通过以上例子可以发现观察、实验、类比和归纳是我们发现规律、获取一般结论的重要方法.但是，用这些方法得到的结论不一定正确. 总结：在数学上，仅凭观察、实验、类比、归纳等方法得出的命题，只是一种猜想，并不一定正确.若要确定命题是真命题，还需要经过严密的逻辑推理加以证实. 活动二：依据基本事实进行逻辑推理 我们依据什么来进行逻辑推理呢? 古希腊数学家欧几里得对数学知识作了系统的总结，把人们公认的真命题作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 注意：人们在长期的实践中，经过分析总结后，把那些公认的真命题作为基本事实，以基本事实为依据来证实其他命题. 举出一些以基本事实为依据证实的命题. （1）“如果a=b，b=c，那么a=c”； （2）“如果a>b，b=c，那么a>c”； （3）两点确定一条直线； （4）两点之间线段最短等. 总结：前两个命题的推理中就用到：一个量可以用它的等量来替换，即等量代换．后两个是公认的真命题，这些就是基本事实. 活动三：概括归纳代数中的运算推理 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、实验还不够；必须经过一步一步、 有根有据的推理 ． 师生总结：在代数中，可以依据定义、运算法则、运算律、公式、等式(不等式)的基本性质等进行运算和推理. · 应用新知 例1：说明下列命题是真命题: (1)如果ab=a(a 是有理数，且a≠0)，那么b=1； (2)如果a，b都是奇数，那么a+b是偶数. 分析：根据已知、等式的基本性质、除法的运算法则进行运算和推理. 解： (1)因为ab=a(a 是有理数，且a≠0)（已知）， 所以ab÷a=a÷a（等式的基本性质）． 所以b=1（除法的运算法则）． (2)如果a，b都是奇数，那么a+b是偶数. 分析：根据已知、定义、运算律进行运算和推理. (2)因为a，b都是奇数（已知）， 设a=2m+1，b=2n+1，其中m，n是整数（奇数的定义）， 因为a+b=2m+1+2n+1=2（m+n+1）（乘法分配律）． 因为m，n是整数（已知）， 所以m+n+1是整数（整数的基本性质）． 所以2（m+n+1）是偶数（偶数的定义）． 所以a+b是偶数（等量代换）． 师生活动：老师提问学生代表展示问题答案．加深学生对法则的记忆. 总结：在学习推理的初始阶段，要在推理过程每一步的后面，用括号注明推理的依据. 设计意图：通过学生参与活动，激发学生参与课堂教学的热情.学以致用. 例2：相邻两个奇数的和与4之间有什么关系？证出你的猜想. 分析：等通过观察得出猜想，再依据定义、运算法则、公式、进行运算和推理作出判定． 思考：相邻两个奇数的和与4之间有什么关系？请提出你的猜想. 猜想：相邻两个奇数的和都能被4整除. 分析：在上述的奇数中，1+3=4；3+5=______;5+7=______... 相邻两个奇数的和都是偶数，且都是4的倍数；为证实我们的观点，我们可以设前一个奇数是2k-1，其后的奇数是_______（k是整数），相邻的两个奇数和是_______________. 解:设a，b是两个连续的奇数（已知）， 则a=2m-1，b=2m+1，其中m是整数（奇数的定义）， 因为a+b=2m-1+2m+1=4m（加法运算律）． 因为m是整数（已知）， 所以4m÷4=m，即4m能被4整除（除法的定义）． 所以a+b能被4整除（等量代换）． 师生活动：学生积极思考，教师启发学生得出:相邻两个奇数的和都能被4整除，并对一般情况进行说明. 设计意图：通过师生的共同探讨，初步感知通过说理，证明命题的方法与形式. 总结：熟练掌握利用本事实进行运算和推理． 例3: 说明“如果一个三位数的三个数位上的数字的和能被3整除，那么这个三位数也能被3整除”是真命题 分析：根据三位数的表示方法、整除的概念进行判断说明即可. 解:设百位十位和个位数字分别是a,b,c 则这个三位数为100a+10b+c(三位数的表示方法）. 因为a+b+c能被3整除(已知）， 可设a+b+c=3k，其中k是整数 即100a+10b+c=99a+9b+a+b+c=99a+9b+3k=3（33a+3b+k）（四则运算律）. 因为a,b,k是整数(已知），即100a+10b+c能被3整除，这个三位数也能被3整除. 总结：熟练掌握证明所需的各个基本事实． 设计意图：通过例题的解答，让学生真正掌握代数问题的证明. · 课堂练习 1.通过画图，小亮发现三角形的三条中线都在三角形的内部，三角形的三条角平分线也都在三角形的内部，于是推断三角形的三条高都在三角形的内部.小亮的结论正确吗?为什么? 解:小亮的推断不正确.高线位置取决于三角形的类型: 锐角三角形:三条高均在内部. 直角三角形:两条高在边上(即直角边)另一条在内部. 钝角三角形:一条高在内部，另外两条高在外部. 因此，并非所有三角形的三条高都在内部. 2.说明下列命题是真命题: (1)如果a+b=0，那么a=-b； (2)如果a是奇数，b是偶数，那么 a+b是奇数； (3)三个连续整数的和是3的倍数. 解:(1)因为a+b=0（已知）；所以a+b-b=0-b，即a=-b（运算律）. (2)因为a是奇数，b是偶数（已知）， 设a=2k+1,b=2m,其中k,m是整数（奇数、偶数的定义）； 所以a+b=2k+1+2m=2（k+m）+1，其中k+m是整数（运算律）； 所以a+b是奇数（奇数的定义）. (3)设三个连续整数为n、n+1、n+2其中n是整数(已知）， 则和为:n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)其中n是整数（加法运算律）， 因为3(n+1)其中n是整数，是3的倍数(已知）， 所以n+(n+1)+(n+2)是3的倍数， 即三个连续整数的和是3的倍数（等量代换）. · 限时训练 1.在下列推理中,正确的有 .(填序号) (1)因为 |a|=2,所以a=2. (2)如果a=b,那么a+2=b+2. (3)因为∠1+∠3=180°,∠2+∠3=180°,所以∠1=∠2. 解：(1)不正确，因为 |a|=2得，所以a=2或-2． (2)如果a=b，那么a+2=b+2（加法运算律）． (3)因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°， 所以∠1+∠3=∠2+∠3，即∠1=∠2（等量代换、运算律）． 2.下列说法中不正确的是（ ） A.证实命题正确与否的推理过程就是说理 B.命题是判断一件事的语句 C.基本事实的正确与否必须通过推理的方法来证实 D.定理都是真命题，但真命题不一定是定理 3.“”是真命题还是假命题？请说明理由. 解：“”是假命题， 当时，， 而， “”是假命题．  4.说明下列命题是真命题. (1)如果=2，那么b=2a ； (2)如果ab=l，那么b=. 解：(1)因为=2且a≠0(已知）， 所以×a=2a，即b=2a（乘法运算律）； (2)因为ab=l且a≠0(已知）， 所以ab÷a=l÷a，即b=（除法运算律）. 5.说明 “与一个偶数前后相邻的两个偶数之和,一定是4的倍数”是一个真命题. 解：设a、b是一个偶数前后相邻的两个偶数， 可设a=2k-2,b=2k+2,其中k是整数(已知）， 则a+b=(2k-2)+(2k+2)=4k（加法运算律）. 因为k是整数（已知），所以4k÷4=k，即4k是4的倍数（除法的意义）． 所以a+b是4的倍数（等量代换）． 所以“相邻两个偶数的和能被4整除”这个命题是真命题. 师生活动：老师提问学生举手回答问题． 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.你知道的基本事实？ 3真假命题的证明？ 学科网（北京）股份有限公司 $$