精品解析： 四川省资阳市安岳县2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年四川省资阳市安岳县八年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义时，分母不为零．根据分式有意义的条件可得，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选：A． 2. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数，中位数，平均数的定义，根据众数，中位数，平均数的定义，即可得到答案． 【详解】∵众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，根据题意应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数， ∴此问题应当看最喜欢的活动项目的人最多，应当用众数． 故选：A． 3. 如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果以固定的流量向这个空水池注水（注满为止），则水的深度h与注水时间t的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．首先看图可知，蓄水池的下部分比上部分的体积小，故h与t的关系为先快后慢． 【详解】解：根据题意和图形的形状，可知水的深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢， 只有选项D符合题意， 故选：D． 4. 石墨烯被认为是一种未来革命性的材料，它是一种由碳原子构成的纳米材料．其中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，将0.000000000142科学记数法表示为（　　） A. 0.142×10﹣9 B. 1.42×10﹣10 C. 1.42×10﹣11 D. 0.142×10﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000000000142＝1.42×10﹣10． 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的应用，掌握科学记数法的定义以及应用是解题的关键． 5. 若点在第三象限，则整数m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解本题的关键．根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第三象限， ∴， 解得：， 则整数m的值为2． 故选：C． 6. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法以及增根的定义进行计算即可． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得， 解得， 由于分式方程的解为正数， ∴， 即， 又因为分式方程的增根是， ∴， 解得， 综上所述，且． 故选：A． 7. 下列说法中，正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定定理，熟练掌握各判定定理是解题的关键．根据矩形、平行四边形、正方形、菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：A中，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意； B中，一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，不符合题意； C中，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，不符合题意； D中，四条边都相等的四边形是菱形，符合题意． 故选：D． 8. 如图，点E是内一点，若，，则的值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是熟练掌握平行四边形的性质．利用四边形是平行四边形，得出，，，由，，得出，，得出，则可得出，则，，利用，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、翻折变换的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．利用菱形的面积为20，于点M，，求出，则，由翻折得出点在直线BC上，作于点E，则，证明四边形是矩形，则，，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵菱形的面积为20，于点M，， ∴，，， ∴，， ∴， 由翻折得，， ∴， ∴点在直线BC上， 作于点E，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标、正比例函数的图象与性质、勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用正比例函数的性质是关键．依据题意，由，则，，结合在直线上，设，可得，则，同理可得，，，，，，最后即可判断得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， ∴， ∵在直线上， ∴可设， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴， 又∵轴， ∴纵坐标为1， ∴代入，得， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，． ∴当时，． 故选：C． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算_______________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行运算即可． 【详解】解： 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则，是解题的关键． 12. 如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，而，则，于是得到问题的答案，推导出，，并且求得是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵平分交于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 某校为了参加市科技创新大赛，经过多次测试，甲、乙、丙、丁四位同学脱颖而出，其成绩的平均分和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 95 90 95 方差 1.2 1.2 1.6 1.6 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，则应选的同学是_____． 【答案】乙##乙同学 【解析】 【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，先比较平均数得到乙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到乙同学的状态稳定，于是可决定选乙同学去参赛． 【详解】解：∵乙、丁同学的平均数比甲、丙同学的平均数大， ∴应从乙和丁同学中选， ∵乙同学的方差比丁同学的小， ∴乙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是乙同学； 故答案为：乙． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．先得出，根据反比例函数k值的几何意义得出，故，进行解答即可． 【详解】解：如图，连接，，记交y轴于点C， ∵轴， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴ 故答案为： 15. 若点是某函数图象上的一点，则把称为该点的“纵横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数的“娇小值”是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，将代入，可得出，由，利用一次函数的性质，可得出的值随x的增大而减小，再结合，即可求出一次函数的“娇小值”，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， ∵， ∴的值随x的增大而减小， 又∵， ∴当取得最小值，最小值为． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点O为的中点，点E，F分别是边、上的动点，且，．当时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，延长交于点H，连接，依题意得，，由勾股定理得，证明和全等得，，进而得是的垂直平分线得，由勾股定理得，则，由此可得的长，理解矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：延长交于点H，连接，如图所示： ∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴，， ∵点O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8个小题，共86分） 17. 化简，求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 为庆祝中国共产党建党104周年，某校组织学生进行了相关的知识竞赛，并随机抽取部分学生的成绩（满分100分），将成绩划分为A、B、C、D四个等级，然后绘制了如图所示的不完整的统计图． 抽样成绩等级的频数分布表 等级 成绩（x分） 频数 A 15 B a C 10 D b 请根据图中相关信息，回答下列问题： （1）本次抽取的学生共有 人，C等级所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）表中a的值为 ，所抽取学生成绩的中位数落在 等级； （3）若该校共有600名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1）50， （2）20，B （3）估计成绩不低于80分的学生人数为420人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体、中位数定义是解答本题的关键． （1）先用A等级的频数除以A等级所占百分比求出抽查总人数，再用 乘以C等级所占百分比即可求出C等级所在扇形的圆心角的度数； （2）先求出b，再求出a，然后根据中位数的定义判断中位数所在等级； （3）根据用样本估计总体，用600乘以扇形统计图中A，B的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴本次抽取的学生共有50人， C等级所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：50，； 【小问2详解】 解：D等级的人数为：（人）， ∴B等级的人数为：； 把50个数据从小到大排列后第25个数和第26个数都在B等级， ∴所抽取学生成绩的中位数落在B等级， 故答案为：20，B； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计成绩不低于80分的学生人数为420人． 19. 今年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进、两型与此电影有关的网红创意桌面摆件—“我命由我不由天”进行销售．已知件型摆件的进价比件型摆件的进价多元，用元购进型摆件的数量与用元购进型摆件的数量相等． （1）求、两型摆件的进货单价； （2）该商家准备购进、两型摆件共件，且购进型摆件的数量不少于型摆件数量的倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】（1）款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元 （2）商家购买件型摆件，件型摆件总费用最少，最少费用为元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应分分式方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 设款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元，根据“用元购进型摆件的数量与用元购进型摆件的数量相等”，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意要检验； 设购买款摆件件，则购买款摆件件，根据题意，先求出的取值范围，再商家购买两款摆件的总费用为元，根据总费用购买两款摆件的费用之和列出函数解析式，由函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：设款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验， 是原分式方程的解，且符合实际意义， ， 答：款摆件每个的进价为元，款摆件每个的进价为元； 【小问2详解】 解：设购买款摆件件，则购买款摆件件， 根据题意得：， 解得：， 的取值范围为， 设商家购买两款摆件的总费用为元， 则， ， 随的增大而增大， ， 当时，最小，最小值为， 此时， 答：商家购买件型摆件，件型摆件总费用最少，最少费用为元． 20. 如图，在中，于点E，于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）3 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，则，由，，得，，即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形； （2）由（1）得，得到，，求得，根据平行线的性质得到，得到，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得 ∴， ∵，， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 则， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、两点． （1）求一次函数的表达式； （2）连接并延长交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出直线解析式即可； （2）先求出点坐标，再根据代入数据计算即可． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于、两点， ， 解得，， ∴、， ∴， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由可知即，， 由反比例函数的对称性得到， ． 22. 在平面直角坐标系中，第一、三象限的角平分线记为，第二、四象限的角平分线记为l2． （1）请在图1中分别标出点、点关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标； （2）若点关于的对称点为，试猜想点的坐标，并利用图2证明你的猜想； （3）若点关于的对称点为，请直接写出点的坐标，并再写一个函数表达式，使它的图象关于直线对称． 【答案】（1） 解：A关于直线的对称点为，关于直线的对称点为，如图： （2） 证明：点关于的对称点为； 过点P作轴交于H点，过点作轴交于G点，连接、，为与的交点， ∵P与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （3），（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． （1）根据点关于直线对称的点为求解即可； （2）过点P作轴交于H点，过点作轴交于G点，连接、，通过证明，求出； （3）根据（2）的结论，类比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：点关于的对称点为， 由坐标系可知直线与直线垂直， ∴直线以及平移后的直线关于直线对称， ∴关于直线对称的直线的函数表达式可以为（答案不唯一）． 23. 材料：已知a、b均不为0，若分式的值为零，则或，因为，即，所以关于x的方程的两个解为：． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：，． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）方程的两个解为： ， ； （2）若方程的两个解为，求的值； （3）若关于x的方程的两个解，满足，求t的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、分式的值为零的条件，解题时要熟练掌握并能根据所给信息列出关系式是关键． （1）依据题意，由方程为，则，进而可以判断得解； （2）依据题意，由方程的两个解为，则，从而，进而计算可以得解； （3）将方程转化为，进而求出，代入，求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∵方程的两个解为， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 ∵， ∴ ， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴或， 解得：或， 当时，，不合题意，舍去； 故． 24. ◆观察发现： （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，易得．请证明． ◆深入探究： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、、上，且．试判断与的数量关系，并说明理由． ◆实践应用： （3）如图3，是一块四边形菜地，勤动手的小明测得，，，．接着他在边，上分别取点E，F，使，恰巧．此时，爱动脑的小明迅速求出了边的长，请聪明的你帮小明写出解答过程．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 【答案】 （1）∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）过点G作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）过D作交的延长线于G，过C作交的延长线于H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过D作于M， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， 由（2）知， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）可证明，从而得出； （2）过点G作于H，根据正方形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到； （3）过D作交的延长线于G，过C作交GD的延长线于H，得到，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，过D作于M，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，连接，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到． 【详解】略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省资阳市安岳县八年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 为了使课间十分钟活动更加丰富有趣，班长打算先对全班同学喜欢的活动项目进行民意调．下面的调查数据中，他最应该关注的是（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 3. 如图是某游泳池的横断面示意图，分为深水区和浅水区，如果以固定的流量向这个空水池注水（注满为止），则水的深度h与注水时间t的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 4. 石墨烯被认为是一种未来革命性的材料，它是一种由碳原子构成的纳米材料．其中每两个相邻碳原子间的键长为0.000000000142米，将0.000000000142科学记数法表示为（　　） A. 0.142×10﹣9 B. 1.42×10﹣10 C. 1.42×10﹣11 D. 0.142×10﹣8 5. 若点在第三象限，则整数m的值为（　　） A. B. C. 2 D. 4 6. 若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7. 下列说法中，正确的是（　　） A. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 8. 如图，点E是内一点，若，，则的值为（　　） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 9. 如图，菱形的面积为20，于点M，，将沿折到处，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在过原点的直线上，以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；以点O为圆心，长为半径画弧交直线于点，过点作轴交于点；…按此规律，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算_______________. 12. 如图，在中，，平分交于点E，则的度数为________． 13. 某校为了参加市科技创新大赛，经过多次测试，甲、乙、丙、丁四位同学脱颖而出，其成绩的平均分和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均分 90 95 90 95 方差 1.2 1.2 1.6 1.6 若要选出一个成绩好且状态稳定的同学参赛，则应选的同学是_____． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴交反比例函数的图象于点B，点P在x轴上，若，则k的值为_______． 15. 若点是某函数图象上的一点，则把称为该点的“纵横差”，该函数图象上的所有点的“纵横差”的最小值称为该函数的“娇小值”，那么一次函数的“娇小值”是_______． 16. 如图，在矩形中，，点O为的中点，点E，F分别是边、上的动点，且，．当时，的长为___________． 三、解答题（共8个小题，共86分） 17. 化简，求值：，其中． 18. 为庆祝中国共产党建党104周年，某校组织学生进行了相关的知识竞赛，并随机抽取部分学生的成绩（满分100分），将成绩划分为A、B、C、D四个等级，然后绘制了如图所示的不完整的统计图． 抽样成绩等级的频数分布表 等级 成绩（x分） 频数 A 15 B a C 10 D b 请根据图中相关信息，回答下列问题： （1）本次抽取的学生共有 人，C等级所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）表中a的值为 ，所抽取学生成绩的中位数落在 等级； （3）若该校共有600名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩不低于80分的学生人数． 19. 今年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进、两型与此电影有关的网红创意桌面摆件—“我命由我不由天”进行销售．已知件型摆件的进价比件型摆件的进价多元，用元购进型摆件的数量与用元购进型摆件的数量相等． （1）求、两型摆件的进货单价； （2）该商家准备购进、两型摆件共件，且购进型摆件的数量不少于型摆件数量的倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 20. 如图，在中，于点E，于点F，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 21. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点、两点． （1）求一次函数的表达式； （2）连接并延长交反比例函数的图象于点，连接，求的面积． 22. 在平面直角坐标系中，第一、三象限的角平分线记为，第二、四象限的角平分线记为l2． （1）请在图1中分别标出点、点关于直线的对称点、的位置，并写出它们的坐标； （2）若点关于的对称点为，试猜想点的坐标，并利用图2证明你的猜想； （3）若点关于的对称点为，请直接写出点的坐标，并再写一个函数表达式，使它的图象关于直线对称． 23. 材料：已知a、b均不为0，若分式的值为零，则或，因为，即，所以关于x的方程的两个解为：． 如：方程可写成，所以此方程的两个解为：，． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）方程的两个解为： ， ； （2）若方程的两个解为，求的值； （3）若关于x的方程的两个解，满足，求t的值． 24. ◆观察发现： （1）如图1，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，易得．请证明． ◆深入探究： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、、上，且．试判断与的数量关系，并说明理由． ◆实践应用： （3）如图3，是一块四边形菜地，勤动手的小明测得，，，．接着他在边，上分别取点E，F，使，恰巧．此时，爱动脑的小明迅速求出了边的长，请聪明的你帮小明写出解答过程．（提示：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $