15.4 第2课时 等腰三角形中的“三线合一” 课件 2025-2026学年 沪科版八年级数学上册

第 15 章 轴对称图形与 等腰三角形 15.4 等腰三角形 第2课时 等腰三角形性质定理2 1.理解等腰三角形中的“三线合一”的概念和验证定理的过程. 2.通过验证等腰三角形中“三线合一”,培养学生独立自主分析和解决问题的能力. 3.培养利用常见的利用等腰三角形的推论来解决问题的能力. 学习目标 建筑工人在盖房子时,用一块等腰三角板放在梁上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点,就说房梁是水平的,你知道为什么吗? ∠ADB = ∠ADC = 90 , ∠BAD =∠CAD. 等腰三角形的性质定理2 思考:由前面定理1的证明还能得到什么结论? A C D B 1 猜想:等腰三角形底边上的中线垂直于底边且平分顶角. 1. 如果作 BC 边上的高线 AD,那么 AD 平分 BC 吗?AD 平分 ∠BAC 吗? 思考 如图,在 ABC中,AB = AC. 证明:作底边 BC 的高 AD,交 BC 于点 D. ∵ AD⊥BC, ∴∠ADB =∠ADC=90 . 在 Rt ABD 与 Rt ACD 中, AB=AC(已知), AD=AD(公共边), ∴ Rt ABD≌Rt ACD(HL). ∴ BD=CD,∠BAD =∠CAD. A B C D 2.如果作∠ABC 的顶角平分线 AD,那么 AD 垂直平分 BC 吗? A C D B 证明:作顶角∠BAC 的平分线 AD,交 BC 于点 D. ∵ AD 平分∠BAC ,∴ ∠BAD=∠CAD. 在 ABD 与 ACD 中, AB=AC(已知), ∠BAD=∠CAD(已证), AD=AD(公共边), ∴ ABD≌ ACD(SAS), ∴ BD=CD,∠ADB=∠ADC. 又∵∠ADB+∠ADC=180 , ∴∠ADB=∠ADC=90 . A C B 证明后的结论,以后可以直接运用. 定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合. 简称“三线合一”. 知识要点 A B C D ( ( 1 2 填一填:根据等腰三角形的性质定理完成下列填空. 在 ABC 中,AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC, ∴∠_=∠_,_=_. (2) ∵ AD 是中线, ∴ _⊥_,∠_ =∠_. (3) ∵ AD 是角平分线, ∴ _⊥_,_ =_. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高,看看它们是否重合? 不重合! 三线合一 为什么不一样? “三线合一”的操作 点击按钮开始播放 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角. 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角. 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边. 5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. ( X ) ( X ) ( X ) ( X ) (√) (√) 判断下列说法正误: 练一练 例1 已知点 D、E 在 ABC 的边 BC 上,AB=AC. (1) 如图①,若 AD=AE,求证:BD=CE; (2) 如图②,若 BD=CE,F 为 DE 的中点,求证: AF⊥BC. 图① 图② A B D E C A B D E C F 典例精析 证明:(1) 如图①,过 A 作 AG⊥BC 于 G. ∵ AB=AC,AD=AE, ∴ BG=CG,DG=EG. ∴ BG-DG=CG-EG. ∴ BD=CE. (2) ∵ BD=CE,F 为 DE 的中点, ∴ BD+DF=CE+EF. ∴ BF=CF. ∵ AB=AC, ∴ AF⊥BC. 图① A B D G E C 图② A B D E C F 方法总结:在等腰三角形的有关计算或说明理由的问题中,有时需要添加辅助线,其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线. 例2 如图,在 ABC中,AB =AC,AD 是 BC 边上的中线,点 E 是 AD 上一点,求证:BE = CE. 证明 ∵ AB = AC,AD 是边 BC 上的中线,(已知) ∴ AD 是 BC 边上的高.(三线合一) ∴ AD 垂直平分线段 BC . (垂直平分线的定义) ∵ 点 E 是 AD 上一点(已知) ∴ BE = CE.(垂直平分线的性质) 例3 求证:斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等. 已知,如图,在 Rt ABC 和 Rt A'B'C' 中, ∠C =∠C' = 90 ,AB = A'B',AC = A'C' 求证:Rt ABC≌Rt A'B'C'. A' A B C C' B' 本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明 证明:在平面内移动 Rt ABC 和 Rt A'B'C',使点 A 和 A',点 C 和 C' 重合,点 B 和点 B' 在 AC 两侧,如图. ∵∠BCB' = 90 + 90 = 180 , ∴B,C,B' 三点在一条直线上. 在 ABB' 中,∵AB = AB',∴∠B = ∠B'. 在 Rt ABC 和 Rt A'B'C' 中, ∠ACB =∠A'C'B' (已知), ∠B =∠B' (已证), AB = A'B' (已知), ∴Rt ABC≌Rt A'B'C' (AAS). (A') A B C (C') B' A B C 结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”. 三条对称轴 问题:等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴? 等边三角形是特殊的等腰三角形,三线合一对于等边三角形也成立. 1.如图,在 ABC 中,AB = AC,AD ⊥ BC,垂足为D,BD = 4,则 BC =( ) A.2 B.4 C.6 D.8 D 2. 如图,在等边 ABC 中,BD 平分∠ABC,BD = BF,则∠CDF 的度数是( ) A.10 B.15 C.20 D.25 B B C D A F 3. 如图,在 ABC 中,AB = AC,D 是 BC 边上的中点, ∠B = 30 ,求∠BAD 和 ∠ADC 的度数. A B C D 解:∵ AB = AC,D 是 BC 边上的中点, ∴∠C =∠B = 30 , ∠ADC = 90 . ∴∠BAD =∠ADC -∠B = 90 - 30 = 60 . A、B 是 4 4 网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长为 1,请在图中标出使以 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的位置. 拓展提升: A B A B 分别以 A、B、C 为顶角 顶点来分类讨论! 8 个 这样分类就不会漏啦! C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 等腰三角形的性质 三线合一 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质 $$