2025年中考数学二轮复习课件：巧求线段的最值

该初中数学课件聚焦中考“线段最值问题”核心考点，依据中考说明梳理垂线段最短、勾股定理、隐形圆、对称性四大类型，结合2022-2024年江苏、四川等地中考真题，分析动点、折叠等常考题型权重，归纳解题模型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+模型应用”的训练模式，如通过圆柱蚂蚁爬行问题，示范立体图形展开转化平面路径的几何直观方法，结合隐形圆模型培养推理能力。典型题如2024四川南充题，用角平分线性质求最短距离，帮助学生掌握技巧，教师可依此高效组织冲刺复习。

巧求线段的最值 点到直线的所有线段中，垂线段最短 B D C 利用勾股定理求线段最值 A 通过三角形三边关系及隐形圆求线段最值 D 利用对称性求线段和的最值问题 C (2，0) 【模型解读】如图，点P在直线l外，过点P作直线l的垂线段PH，则点P到直线l的最短距离为PH的长度，即“垂线段最短”． 【针对训练】 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值是(　 　) A．2.5 B．2.4 C．2 D．3 2．(2022·江苏江阴模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线AB经过点A(6，0)，B(0，6)，⊙O的半径为2(O为坐标原点)，点P是直线AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为(　 　) A． D． B．3 C．3 3．(2024·四川南充)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为(　 　) A． B． C．2 D．3 4．(2022·贵州毕节)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为_____． 【模型解读】当两个点不在同一平面内，求线段最短时，通常将该立体图形展开，使两点在同一平面内，一般通过“两点之间，线段最短”和勾股定理求解． 【针对训练】 5．(2023·山东济南长清区期末)如图，有一个圆柱，它的高等于9 cm，底面上圆的周长等于24 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是(　 　) A．15 cm B．17 cm C．18 cm D．20 cm 6．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，那么最短路径为______． 2 问题 已知定长线段AC＝m，AB＝n(m＜n)，A，B为定点，C为动点，求线段BC的最值 示意图 原理 点C的运动轨迹可看成是以点A为圆心，AC长为半径的⊙A，再结合三角形三边关系求最值 结论 当点C运动到BA的延长线与⊙A相交处，即点C1处时，线段BC取最大值m＋n；当点C运动到AB与⊙A相交处，即点C2处时，线段BC取最小值n－m 口诀 外共线最大，内共线最小 关键 解题的关键是找出能与目标线段构成三角形的两条定长线段 【针对训练】 7．(2022·山东泰安)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为(　 　) A．－2 D．－ C． B． 8．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是_______. －1 9．(2023·贵州黔东南州二模)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E是AB的中点，点F是AD上的动点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A落在点A′处，连接CA′，DA′，则△CA′D面积的最小值为_____． 10．(2023·贵州铜仁玉屏县模拟)如图，上一点，把CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接AE，则AE的最小值是________.所对圆心角∠AOB＝90°，半径为4，C是OB的中点，D是 2－4 【模型解读】 (1)两个定点A，B位于直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．我们通常是将两个定点中的某一个利用轴对称的性质得到关于这条直线l对称的点，连接新作的点与另一个点，此时两条线段的和最短． (2)一个定点与两条直线上两动点问题求最值时，需要作出该定点关于两条直线的对称点，然后连接新作出的两个对称点与两条直线的交点就是最小线段的和． (3)两个定点与两条直线上两动点问题中的线段和的最值的求法：分别作出两个定点关于这两条直线的对称点，连接这两个对称点与这两条直线的交点就是所求． 【针对训练】 11．(2023·广西贵港港南区模拟)如图，在平面直角坐标系中，△ABO是边长为2的等边三角形，OD是AB边上的高，点P是OD边上的一个动点，若点C的坐标是(0，－1)，则PA＋PC的最小值是(　 　) A．19 B．2 D．18 C． 12．(2022·贵州铜仁)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP∥EM交MC于点P，则MN＋NP的最小值为_____． 解析：作点P关于CE的对称点P′， 由折叠的性质知CE是∠DCM的平分线， ∴点P′在CD上， 过点M作MF⊥CD于点F，交CE于点G， ∵MN＋NP＝MN＋NP′≥MF， ∴MN＋NP的最小值为MF的长． 连接DG，DM， 由折叠的性质，知CE为线段DM的垂直平分线， ∵AD＝CD＝2，DE＝1， ∴CE＝. ＝ ∵CD×DE， CE×DO＝ ∴DO＝. ，∴EO＝ ∵MF⊥CD，∠EDC＝90°， ∴DE∥MF，∴∠EDO＝∠GMO. ∵CE为线段DM的垂直平分线， ∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°， ∴△DOE≌△MOG， ∴DE＝GM， ∴四边形DEMG为平行四边形． ∵∠MOG＝90°，∴四边形DEMG为菱形， ∴EG＝2OE＝. ，GM＝DE＝1，∴CG＝ ∵DE∥MF，即DE∥GF， ∴△CFG∽△CDE， ∴， ＝，即＝ ∴FG＝， ∴MF＝1＋， ＝ ∴MN＋NP的最小值为. 13．如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(4，2)，点P是x轴上任意一点，当PA＋PB有最小值时，P点的坐标为_________． 14．(2023·山东青岛模拟)如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA＝2，AD⊥BC于D点，P为AD上一点，PQ⊥AB于Q点，求BP＋PQ的最小值． 解：如图所示，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点P，过点P作PQ⊥AB于点Q， ∵AB＝BC＝CA＝2， ∴∠BAC＝60°. ∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，PQ⊥AB于点Q， ∴PQ＝PE. ∴BP＋PQ的最小值＝BE. ∵BE＝sin ∠BAC·AB＝， ×2＝ ∴BP＋PQ的最小值是. $$