14.3 角的平分线(第1课时） 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦角的平分线，核心内容包括尺规作图、性质定理及应用。课堂导入通过回顾全等三角形的判定（SSS、SAS等）与性质，搭建旧知到新知的学习支架，为后续证明和作图原理铺垫。 其亮点在于以探究式学习培养数学眼光与思维，如通过“PM与PN关系”探究引导发现性质，规范证明过程（AAS证性质、SSS证作图）培养推理能力，符号语言呈现强化数学表达。实例丰富（如拓展例2作垂线证平分），总结性质与辅助线方法，助力学生提升逻辑推理与应用能力，也为教师提供清晰教学流程与例题支持。

§14.3 角的平分线（第1课时） 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 人教版（2024版）数学八年级上册 第十三章 三角形 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据. 2.探究并证明角平分线的性质. 3.会用角平分线的性质解决实际问题. 专心一点，多学一点吧 人教新版八年级 目标 我们这节课要学会什么？ 回顾 前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以用三角形全等，来证明线段相等或角相等， 我们先回顾一下都有哪些方法 SSS SAS AAS ASA HL(Rt三角形） 判断方法 三角形 全等的性质 全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等 想一想，我们学过的角的平分线的概念是什么? 专心一点，多学一点 人教新版八年级 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫作 这个角的角平分线 探究 如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点。M，N分别是OA，OB上的点，我们研究PM与PN的关系。 当OM与ON满足什么关系时，PM=PN? O B A C P M N 专心一点，多学一点 人教新版八年级 △OPM≌△OPN(SAS) △OPM和△OPN中, OP=OP ∠POM=∠PON OM=ON ∴PM=PN.（全等三角形对应边相等） O B A C P M N 反过来 ，PM与PN满足什么关系时点P在∠AOB的平分线上？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 如图，△OPM和△OPN中, OP=OP ∴∠POM=∠PON OM=ON PM=PN △OPM≌△OPN(SSS)， 即点P在∠AOB的平分线OC上. ∴OP平分∠AOB O B A C P M N 由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗? 思考 专心一点，多学一点 人教新版八年级 作角平分线的方法 如图，已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心。大于MN的长为半径作弧两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线. 用尺规作已知角的平分线 A B O M N C 专心一点，多学一点 人教新版八年级 证明：∵在△MOC和△NOC中 OM=ON OC=OC MC=NC ∴△MOC ≌ △NOC(SSS). ∴∠MOC=∠NOC 即OC是∠AOB的角平分线 A B O M N C 符号语言 专心一点，多学一点 人教新版八年级 思考 用大于MN的长画弧的原因，可以用小于MN的长画弧吗 画一画 O B A N M 报告，老师小了不行 （2）等于 MN的长为半径画弧时不容易操作. （1）用小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点 专心一点，多学一点 人教新版八年级 已知：平角∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. A B O 作法： (1)以点O为圆心,适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心。大于MN的长为半径作弧两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)作射线OC. M N C ∟ 思考 平角的角平分线怎么作呢？ 作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例1 如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD，BC=DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边放下，沿 AC 画一条射线 AE，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗? 证明：在△ACD和△ACB中， AD=AB（已知）， DC=BC（已知） ， CA=CA（公共边）， ∴ △ACD≌ △ACB（SSS）. ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）. ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 探究 OC是∠AOB的平分线，点P1、P2、P3，…在OC上。过点P1、P2、P3…分别画OA与OB的垂线。垂足分别为D1与E1、D2与E2、D3与E3….， 分别比较 P1D1 与 P1E1、P2D2 与 P2E2、P3D3 与 P3E3·····，你有什么发现？ 我们可以发现 由此可以猜想 C A B O D1 E1 P1 D2 E2 P2 D3 E3 P3 D4 E4 P4 P1D1 = P1E1， P2D2 = P2E2， P3D3 = P3E3······ 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 下面我们证明这个性质，要先分清楚已知和求证各是什么 已知：一个点在一个角的平分线上 求证：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 你能证明这个性质吗？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 证明：∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠AOC =∠BOC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. 在△PDO 和△PEO中， ∠PDO＝∠PEO， ∠AOC＝∠BOC， OP＝OP， ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD＝PE. 如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？ （1）明确命题中的已知和求证； （2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； （3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 符号语言： 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线. 拓展例2 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. 求证：AE是∠DAB的平分线. A B C E D ┌ ┌ F ┌ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例3 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC. 证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC. C A B D F E ┐ ┐ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例4 如图，在 Rt△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC＝m，AB＝14. (1) 求△APB 的面积 (用含 m 的式子表示)； (2) 求△PDB 的周长. ∴ AB · PD = 7m. 解：（1）由角平分线的性质，可知 PD = PC = m， （2）由题意可证 △ACP≌△ADP， ∴ AC = AD. A B C P D 专心一点，多学一点 人教新版八年级 1.（2025扬州中考）在如图的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是（　　） A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．BD＝CD D．AD平分∠BAC 课堂练习 B 2. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠FDB = 60°，则∠EBF = °，BE = . 60 BF E B D F A C G 专心一点，多学一点 人教新版八年级 3. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，则点 D 到 AB 的距离是 . 3 A B C D E 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（    ） A．∠BDE=∠BAC B．∠BAD=∠B C．DE=DC D．AE=AC B 专心一点，多学一点 人教新版八年级 课后练习 5.（教材习题） 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，在边 AC 上求作一点 P，使点 P 到边 BC 和边 AB 的距离相等 . 解：如图所示. A B C ∟ P 作∠AB C的平分线与AC交于点 P，点 P 即为所求. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 6.如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC， ∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°． ∵ 在△BOD 和△ COE中 E D O B A C ∟ ∟ ∠BOD=∠COE ， ∠BDO = ∠CEO=90° ， OD = OE ， ∴ △BOD ≌ △ COE．（AAS） ∴OB=OC． 专心一点，多学一点 人教新版八年级 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90 °， ∴AC⊥CD. ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3. 7.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.求DE的长； 专心一点，多学一点 人教新版八年级 8.如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系. 解：∵AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， ∴PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB， ∴ BE+PF>PB. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 9.已知：如图，OD平分∠POQ，在 OP，OQ边上取OA＝OB，点 C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN. 证明：∵OD平分∠POQ， ∴∠AOD=∠BOD. 在△AOD与△BOD中， OA=OB， ∠AOD=∠BOD， OD=OD， ∴△AOD≌△BOD(SAS). ∴∠ADO =∠BDO. ∵CM⊥AD于点M，CN⊥BD于点N， ∴CM=CN. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 图示 步骤 作图原理   （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点N，M； （2）分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线OP，OP即为所求角的平分线 三边分别相等的两个三角形全等； 全等三角形的对应角相等； 两点确定一条直线 角平分线的画法 课堂总结 专心一点，多学一点 人教新版八年级 角平分线 性质 添加 辅助线 一个点：角平分线上的点 二距离：点到角两边的距离 两相等：两条垂线段相等 过角平分线上一点向两边作垂线段 专心一点，多学一点 人教新版八年级 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 $$