第1章 直线与圆（复习讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

第1章 直线与圆（复习讲义） 1.理解直线的方程概念，联系一次函数图象，认识直线的方程是直线上任意点坐标满足的关系. 2.掌握直线的倾斜角与斜率，理解倾斜角和斜率的概念，掌握其计算公式及相互关系. 3.熟练掌握直线方程的几种形式，能根据已知条件，选择恰当形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）求出直线方程. 4.判定与处理两条直线的位置关系，能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 5.会求两条直线的交点坐标. 6.运用距离公式，掌握两点间距离公式、点到直线的距离公式，并能用于解决相关问题. 7.掌握圆的方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程.能将圆的一般方程化为标准式，从而确定圆心和半径. 8.判断直线与圆的位置关系，能运用代数法（解方程组）和几何法（比较圆心到直线距离与半径）判断直线与圆的相交、相切、相离关系. 9判断圆与圆的位置关系，能通过比较圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）. 10.初步建立解析几何的思维方法，即用代数方程研究几何图形；持续强化数与形之间的转化能力；能运用本章知识解决一些简单的实际应用问题. ●一、直线与直线方程 1、一次函数图象与直线的方程： 一次函数y=kx+b(k≠0）的图象是一条直线，同时，函数解析式y=kx+b(k≠0）可以看作二元一次方程. 2、直线的倾斜角、斜率及其关系 （1）直线的倾斜角和斜率 ①定义：当直线l与x轴相交时，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为α，称α为这条直线的倾斜角. ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. ③范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)). （2）直线的斜率 ①定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率． ②过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （3）斜率、倾斜角、方向向量的关系． ①定义：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量.记作a//l ②直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量. ③斜率、倾斜角的关系： 3、直线的方程 （1）点斜式： ①直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为： .这个方程就叫做直线点斜式方程. ②特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线l的斜截式方程. （2）两点式： ①直线过两点其中，则直线的方程为： .这个方程叫做直线的两点式方程. 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：. ②特别地，若直线过两点，则直线的方程为： ，这个方程叫做直线的截距式方程. （3）直线方程的一般式： 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距. B=0时，x=－,表示直线的斜率不存在，过点（－，0）的直线. *（4）直线方程的点法式： 直线l过P（x0,y0），它的一个法向量为.则 4、两条直线的平行与垂直： （1）平行：对于两条不重合的直线，其斜率为，有 （2）垂直：对于两条直线，其斜率为，有. 5、两条直线的交点坐标： 对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. 6、平面直角坐标系中的距离公式： （1）两点间的距离公式：设两点，则. （2）点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝（A，B不全为零） （3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝（A，B不全为零且C1≠C2） ●二、圆与圆的方程 1、圆的标准方程： （1）若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． （2）方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． （3）点与⊙C的位置关系 ①|AC|<r⇔点A在圆内⇔； ②|AC|＝r⇔点A在圆上⇔； ③|AC|>r⇔点A在圆外⇔. 2、圆的一般方程： （1）任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． （2）对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 3、直线与圆的位置关系： 设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r 两组不同实数解 4、圆与圆的位置关系： 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 题型一 直线的倾斜角 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是 ． 题型二 直线的斜率 【例2】（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【变式2-1】（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【变式2-2】（24-25高二上·贵州黔西·期中）直线的斜率为（    ） A．1 B．0 C． D．不存在 题型三 直线的方向向量、倾斜角与斜率 【例3】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式3-1】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 题型四 根据直线的倾斜角、斜率求其它量 【例4】（22-23高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【变式4-1】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 题型五 根据两点求直线的斜率、倾斜角 【例5】（25-26高二上·全国·课堂例题）经过下列两点的直线的倾斜角与斜率是否存在？如果存在，求其倾斜角与斜率. (1)，； (2)，； 【变式5-1】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【变式5-2】（25-26高二上·全国·单元测试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥，共有10对拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距，均为16m，最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为 ． 题型六 直线的倾斜角与斜率的变化关系 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【变式6-1】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，直线的斜率的大小关系是    题型七 直线与线段相交关系求斜率范围 【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 题型八 斜率公式的应用 【例8】（25-26高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【变式8-1】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 题型九 直线方程的点斜式 【例9】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·全国·课后作业）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 题型十 直线方程的两点式 【例10】（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【变式10-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 题型十一 直线方程的一般式 【例11】（17-18高二·全国·单元测试）设直线，根据下列条件求的值： (1)直线的斜率为1； (2)直线在轴上的截距为． 【变式11-1】（24-25高一下·重庆·期末）直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 【变式11-2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型十二 法向量与直线方程的点法式 【例12】（23-24高二下·全国·课后作业）计算： (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【变式12-1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是 ． 【变式12-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 . 题型十三 由斜率判断两直线平行 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【变式13-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【变式13-2】（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 题型十四 由斜率判断两直线垂直 【例14】（多选）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【变式14-1】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 题型十五 由直线平行或垂直求参数 【例15】（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【变式15-1】（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【变式15-2】（22-23高二上·重庆荣昌·期末）已知直线与平行，则实数的取值是 . 题型十六 两直线的交点问题 【例16】（2025高二·全国·专题练习）求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直． 【变式16-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 【变式16-2】（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 题型十七 点到直线的距离问题 【例17】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【变式17-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式17-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 题型十八 平行直线之间的距离问题 【例18】（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【变式18-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式18-2】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 题型十九 直线的对称问题 【例19】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【变式19-1】（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【变式19-2】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 题型二十 直线与坐标轴围成图形的面积问题 【例20】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式20-1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式20-2】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 题型二十一 直线的范围、最值问题 【例21】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【变式21-1】（24-25高二上·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【变式21-2】（2025高二·全国·专题练习）已知，，直线上有一个动点，求的最大值． 题型二十二 两点间距离公式应用问题 【例22】（25-26高二上·全国·课后作业）设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 【变式22-1】（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 【变式22-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 题型二十三 求圆的方程 【例23】（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【变式23-1】（2025高二·全国·专题练习）过点，且半径最小的圆的方程为 ． 【变式23-2】（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 题型二十四 判断直线与圆的位置关系 【例24】（22-23高二上·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 【变式24-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【变式24-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 题型二十五 圆的弦长、弦心距问题 【例25】（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【变式25-1】（22-23高二上·广东肇庆·期中）设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式25-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 题型二十六 切线问题 【例26】（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆，直线，点为直线上的动点．过点作圆的两条切线，切点分别为．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为 ． 【变式26-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式26-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 题型二十七 判断圆与圆的位置关系 【例27】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【变式27-1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【变式27-2】（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 题型二十八 相交圆的公共弦问题 【例28】（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【变式28-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【变式28-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 题型二十九 圆的公切线问题 【例29】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【变式29-1】（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【变式29-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 题型三十 根据直线与圆的位置关系解决问题 【例30】（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ． 【变式30-1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式30-2】（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为r，直线l与圆C交于A，B两点，且圆心C到直线l的距离，其中M为弦AB的中点，则 ，弦长 . 题型三十一 根据圆与圆的位置关系解决问题 【例31】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【变式31-1】（多选）（25-26高二上·全国·期中）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【变式31-2】（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点的坐标为，，是圆上的动点，为圆上的动点，则四边形能构成的矩形的个数为 ． 题型三十二 直线与圆、圆与圆位置关系的最值或范围问题 【例32】（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【变式32-1】（2025高二·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【变式32-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 基础巩固通关测 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·陕西商洛·期末）若直线与直线平行，则（   ） A．1 B． C．3 D． 5．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（   ） A． B．5 C． D．10 6．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 8．（24-25高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 10．（多选）（24-25高二下·山西·阶段练习）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 12．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 能力提升进阶练 13．（21-22高二上·广东揭阳·期末）已知直线：和直线：. (1)若，求a的值； (2)若，求两直线，间的距离. 14．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 15．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 16.（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 17．（24-25高二上·河北保定·期末）已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 18．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，直线恒过定点． (1)求点的坐标； (2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 19．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 20. （25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与圆（复习讲义） 1.理解直线的方程概念，联系一次函数图象，认识直线的方程是直线上任意点坐标满足的关系. 2.掌握直线的倾斜角与斜率，理解倾斜角和斜率的概念，掌握其计算公式及相互关系. 3.熟练掌握直线方程的几种形式，能根据已知条件，选择恰当形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）求出直线方程. 4.判定与处理两条直线的位置关系，能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 5.会求两条直线的交点坐标. 6.运用距离公式，掌握两点间距离公式、点到直线的距离公式，并能用于解决相关问题. 7.掌握圆的方程，能根据圆心和半径写出圆的标准方程.能将圆的一般方程化为标准式，从而确定圆心和半径. 8.判断直线与圆的位置关系，能运用代数法（解方程组）和几何法（比较圆心到直线距离与半径）判断直线与圆的相交、相切、相离关系. 9判断圆与圆的位置关系，能通过比较圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）. 10.初步建立解析几何的思维方法，即用代数方程研究几何图形；持续强化数与形之间的转化能力；能运用本章知识解决一些简单的实际应用问题. ●一、直线与直线方程 1、一次函数图象与直线的方程： 一次函数y=kx+b(k≠0）的图象是一条直线，同时，函数解析式y=kx+b(k≠0）可以看作二元一次方程. 2、直线的倾斜角、斜率及其关系 （1）直线的倾斜角和斜率 ①定义：当直线l与x轴相交时，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为α，称α为这条直线的倾斜角. ②规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°. ③范围：直线倾斜角的取值范围是[0°，180°)(或[0，π)). （2）直线的斜率 ①定义：当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α. 倾斜角等于90°的直线没有斜率． ②过两点直线的斜率公式：过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. （3）斜率、倾斜角、方向向量的关系． ①定义：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量.记作a//l ②直线的方向向量坐标：若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2－x1，y2－y1). 若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝，特别地，(1，k)是l的一个方向向量. ③斜率、倾斜角的关系： 3、直线的方程 （1）点斜式： ①直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为，则直线的方程为： .这个方程就叫做直线点斜式方程. ②特别地，直线过点，则直线的方程为：.这个方程叫做直线l的斜截式方程. （2）两点式： ①直线过两点其中，则直线的方程为： .这个方程叫做直线的两点式方程. 当时，直线与轴垂直，所以直线方程为：；当时，直线与轴垂直，直线方程为：. ②特别地，若直线过两点，则直线的方程为： ，这个方程叫做直线的截距式方程. （3）直线方程的一般式： 关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 由一般式方程可得，B不为0时，斜率，截距. B=0时，x=－,表示直线的斜率不存在，过点（－，0）的直线. *（4）直线方程的点法式： 直线l过P（x0,y0），它的一个法向量为.则 4、两条直线的平行与垂直： （1）平行：对于两条不重合的直线，其斜率为，有 （2）垂直：对于两条直线，其斜率为，有. 5、两条直线的交点坐标： 对于两条直线，若，则方程组有唯一解，两条直线就相交，方程组的解就是交点的坐标. 6、平面直角坐标系中的距离公式： （1）两点间的距离公式：设两点，则. （2）点到直线的距离公式：点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝（A，B不全为零） （3）两条平行直线间的距离公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝（A，B不全为零且C1≠C2） ●二、圆与圆的方程 1、圆的标准方程： （1）若圆的圆心为C(a,b),半径为r，则该圆的标准方程为：． （2）方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆． （3）点与⊙C的位置关系 ①|AC|<r⇔点A在圆内⇔； ②|AC|＝r⇔点A在圆上⇔； ③|AC|>r⇔点A在圆外⇔. 2、圆的一般方程： （1）任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． （2）对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 3、直线与圆的位置关系： 设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示. 位置 关系 图示 公共点 个数 几何 特征 直线、圆的方程组成的方程组的解 相离 0 d>r 无实数解 相切 1 d＝r 两组相同实数解 相交 2 d<r 两组不同实数解 4、圆与圆的位置关系： 设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解. (2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解. (5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆. 题型一 直线的倾斜角 【例1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·安徽黄山·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线方程和倾斜角定义求解. 【详解】直线为平行于轴的直线， 所以倾斜角为. 故选：B 【变式1-2】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线倾斜角定义可得结果. 【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是. 故答案为： 题型二 直线的斜率 【例2】（24-25高二上·天津滨海新·期末）若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 . 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以该直线的斜率. 故答案为： 【变式2-1】（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D． 【变式2-2】（24-25高二上·贵州黔西·期中）直线的斜率为（    ） A．1 B．0 C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线的方程得出斜率即可. 【详解】因为直线的倾斜角为， 所以斜率为， 故选：B 题型三 直线的方向向量、倾斜角与斜率 【例3】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义列式求解. 【详解】由点，，得，由直线的方向向量为， 得，因此，所以. 故选：A 【变式3-1】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的方向向量，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小． 【详解】由直线的方向向量知，直线的斜率为 ， 设直线的倾斜角为，所以 ，解得 . 故选：D． 【变式3-2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A.． 题型四 根据直线的倾斜角、斜率求其它量 【例4】（22-23高一下·海南海口·期末）已知两点，若直线的倾斜角为，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 【答案】C 【分析】由题意可知直线的斜率，再结合斜率公式运算求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率， 又因为，则，解得. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求斜率，再结合两点斜率公式列方程求. 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率 所以，解得. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·河南开封·期中）若经过，两点的直线斜率为1，则实数（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数. 【详解】过，两点的直线斜率为， 所以，解得，． 故选：B． 题型五 根据两点求直线的斜率、倾斜角 【例5】（25-26高二上·全国·课堂例题）经过下列两点的直线的倾斜角与斜率是否存在？如果存在，求其倾斜角与斜率. (1)，； (2)，； 【答案】(1)存在，倾斜角，斜率 (2)存在，倾斜角，斜率 【分析】（1）存在，计算斜率和倾斜角即可； （2）存在，计算斜率和倾斜角即可. 【详解】（1）存在，直线AB的斜率，即， 又，倾斜角. （2）存在，直线CD的斜率，即， 又，倾斜角. 【变式5-1】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 【变式5-2】（25-26高二上·全国·单元测试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁．如图是一座斜拉桥，共有10对拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个锚的间距均为4.4m，拉索下端相邻两个锚的间距，均为16m，最短拉索的锚，满足，，则最长拉索所在直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，即可求解点的坐标，由斜率公式即可求解. 【详解】以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 根据题意，最短拉索的锚，满足，，且均为4.4m， 均为16m，则，即点， 同理，又，即点， 所以，， 即最长拉索所在直线的斜率为． 故答案为： 题型六 直线的倾斜角与斜率的变化关系 【例6】（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用斜率的两点公式及已知得，结合正切函数的图象及倾斜角的范围确定直线的倾斜角的取值范围. 【详解】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 【变式6-1】（多选）（25-26高二上·全国·课后作业）若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误. 【详解】A：由表明斜率存在，则， 由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对； B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错； C：由正切函数的图象知： 当和时，； 当，时，； 当或时，或不存在，错； D：因为，结合正切函数的图象知，， 所以，对. 故选：AD 【变式6-2】（24-25高一下·上海·期末）如图，直线的斜率的大小关系是    【答案】 【分析】由图可得直线倾斜角大小关系，据此可得斜率关系. 【详解】设直线的倾斜角分别为，由图可得： ，则. 故答案为：. 题型七 直线与线段相交关系求斜率范围 【例7】（2025高三·全国·专题练习）已知直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范围为 ，其斜率的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解法一：根据题意，求出，，结合图形求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，点，在直线的两侧或其中一点在直线上，所以，即可求出直线斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】解法一：由题意，，． 设直线，的倾斜角分别为α，β，则，． 如图所示，过点作轴的垂线，与线段交点于， 当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为；当直线由变化到的位置时，直线的倾斜角由增到，其斜率的范围为． 故直线倾斜角的取值范围为，其斜率的取值范围为． 故答案为：； ． 解法二：设直线的斜率为，则直线的方程为，即． 由题意，点，在直线的两侧或其中一点在直线上， 所以，即，解得或． 故直线的斜率的取值范围为， 所以其倾斜角的取值范围为． 故答案为：； ． 【变式7-1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【变式7-2】（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据直线与线段无交点，应用数形结合求倾斜角的范围. 【详解】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 题型八 斜率公式的应用 【例8】（25-26高二上·全国·单元测试）已知坐标平面内两点． (1)当直线MN的斜率不存在时，求的值； (2)当直线MN的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析． 【分析】（1）根据斜率不存在时横坐标相等列方程，即可求参数； （2）由倾斜角为锐角、钝角时对应斜率的符号列不等式求参数范围. 【详解】（1）直线MN的斜率不存在时，点的横坐标相等， 即，解得； （2）直线MN的倾斜角为锐角时，斜率，解得． 直线MN的倾斜角为钝角时，斜率，解得或． 综上可得，直线MN的倾斜角为锐角时，的取值范围为， 直线MN的倾斜角为钝角时，的取值范围为. 【变式8-1】（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 【变式8-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知，，，不能构成三角形，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知分析出三点共线且斜率存在，应用斜率两点式列方程得，整理变形即可得. 【详解】三点不能构成三角形的情况，即三点共线， 因为斜率存在，所以，即，即, 因为，所以，即. 故答案为： 题型九 直线方程的点斜式 【例9】（24-25高二下·河南·阶段练习）若直线的方向向量为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的斜率， 所以直线方程为，化简可得. 故选：A 【变式9-1】（2025高二·全国·专题练习）过点且与直线斜率相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】直线斜率为2且过点，由点斜式方程得． 故选：A． 【变式9-2】（25-26高二上·全国·课后作业）直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可. 【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线. 当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意； 所以，令，则，令，则. 由题意，化简得，解得或， 故的所有可能取值之和为. 故选：C. 题型十 直线方程的两点式 【例10】（25-26高二上·全国·课后作业）已知三角形的三个顶点分别是，，，求三边所在直线的方程． 【答案】答案见解析 【分析】结合题意利用两点式方程求出三边所在直线方程即可. 【详解】因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 因为直线过点，， 所以直线方程为，即; 因为直线过点，， 所以所在直线的方程为，即; 另解: 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 则边所在直线的方程为，整理得； 因为直线过点，， 所以直线的斜率为. 则边所在直线的方程为，整理得. 【变式10-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，若的中点坐标为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的中点为列方程组解，然后根据两点式方程计算即可. 【详解】由题可得，解得， 即，． 将点坐标代入两点式方程可得， 即． 故选：D. 【变式10-2】（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】可用截距式设直线方程，代入点即可得到答案（注意讨论截距等于0的情况）. 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 题型十一 直线方程的一般式 【例11】（17-18高二·全国·单元测试）设直线，根据下列条件求的值： (1)直线的斜率为1； (2)直线在轴上的截距为． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）用表示出直线的斜率，解方程得到的值； （2）令得到在轴上的截距，根据在轴上的截距为，解方程得到的值. 【详解】（1）当，即或时，直线斜率不存在， 当，即且时，， 所以，解得或（舍去），故． （2）当，即或时，此时直线与轴无交点，不满足题意， 当，即且时， 令，得， 由题意知，，解得（舍去）或，故． 【变式11-1】（24-25高一下·重庆·期末）直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求直线的方向向量（平面中）、直线的一般式方程及辨析 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是， 而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是. 故选：A 【变式11-2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线的方程为，若直线不经过第二象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：方程化为斜截式：，再依据题意分斜率是否为零即可求解；法二: 方程化为点斜式为，得到不论为何值直线都过定点，再数形结合即可求解. 【详解】法一：方程化为斜截式：，斜率存在，且直线与轴的交点为， 当时，直线的方程为，满足题意； 当时，直线不经过第二象限，点需在轴非正半轴上， 且斜率，即，解得． 综上可得，的取值范围为． 故选：C 法二：方程化为点斜式为， 所以不论为何值，直线都过定点， 作直线经过定点且平行于轴，直线经过定点和，如图所示， 因为直线不经过第二象限，所以和是符合条件的临界位置，即， 所以的取值范围为． 故选：C 题型十二 法向量与直线方程的点法式 【例12】（23-24高二下·全国·课后作业）计算： (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【答案】(1)方向向量为，法向量为 (2)方向向量为，法向量为 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量； （2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量. 【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. （2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 【变式12-1】（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的一个法向量可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意根据所给的直线方程利用直线的法向量的意义即可得出，从而可以得出结果 【详解】直线化为，斜率为，一个法向量可以是. 故答案为：.(答案不唯一) 【变式12-2】（24-25高二上·上海·阶段练习）直线过，且的一个法向量，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】又的法向量可设出的一般方程，再将点代入计算即可得. 【详解】由的一个法向量，可设， 则有，解得，即直线的方程为. 故答案为：. 题型十三 由斜率判断两直线平行 【例13】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【变式13-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 【变式13-2】（多选）（24-25高二上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，已知，，则（    ） A．点在直线上 B．直线PQ的倾斜角是 C．直线PQ与直线平行 D．直线PQ的一个方向向量为 【答案】AC 【分析】对于选项A，将点代入直线方程看是否满足；对于选项B，通过两点坐标求出直线斜率进而得到倾斜角；对于选项C，求出两直线斜率比较是否相等；对于选项D，根据直线方向向量与斜率的关系来判断. 【详解】对于A选项，把点代入直线，左边，右边， 所以点在直线上，A选项正确. 对于B选项，已知，可得直线PQ的斜率. 设直线PQ的倾斜角为，，则，所以，B选项错误. 对于C选项，由前面计算，直线可化为，其斜率为. 两直线斜率相等，但直线PQ过点，将，代入，左边， 即点不在直线上，所以直线PQ与直线平行，C选项正确. 对于D选项， ，直线的方向向量与斜率的关系为. 对于向量，，所以不是直线PQ的斜率的一个方向向量，D选项错误. 故选：AC. 题型十四 由斜率判断两直线垂直 【例14】（多选）（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知：直线，直线，直线，直线，则下列正确的是（    ） A．对任意的恒成立 B．对任意的恒成立 C．存在，使得成立 D．存在，使得成立 【答案】ACD 【分析】利用来判断否垂直来研究A，C选项；利用来判断平行问题，来研究B，D． 【详解】A．直线，直线， 又，，故恒成立，选项正确，符合题意； B．，， 又，故不成立，选项错误，不符合题意； C．，， 又当时，，故成立，选项正确，符合题意； D．，， 又当时，， 且，使得成立，选项正确，符合题意； 故选：ACD． 【变式14-1】（24-25高二上·河北沧州·期末）已知直线的一个方向向量为，则下列直线与垂直的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的方向向量得到斜率，然后求直线方程即可. 【详解】由题意知直线的斜率为，则直线与垂直. 故选：B． 【变式14-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 题型十五 由直线平行或垂直求参数 【例15】（2025高二·全国·专题练习）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以，解得， 所以当时，． 【变式15-1】（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 【变式15-2】（22-23高二上·重庆荣昌·期末）已知直线与平行，则实数的取值是 . 【答案】或2 【分析】由直线平行的条件可求. 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 题型十六 两直线的交点问题 【例16】（2025高二·全国·专题练习）求过两条直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直． 【答案】(1) (2)． 【分析】解法1：（1）求出直线的交点，利用线线平行斜率相等即可求解；（2）利用线线垂直斜率关系即可求解； 解法2：（1）（2）设出两条直线和的交点的直线的方程为，利用平行、垂直关系即可求解. 【详解】（1）解法1：联立方程，得两条直线的交点为，所以直线过点． 因为直线与直线平行，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线平行，所以，解得， 所以直线的方程为，即． （2）解法1：因为直线与直线垂直，所以，即，所以直线的方程为． 解法2：设过两条直线和的交点的直线的方程为， 即． 因为直线与直线垂直，所以，解得， 所以直线的方程为，即． 【变式16-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知△ABC的顶点，高CD所在直线方程为，∠ABC的平分线BE所在直线方程为，则B点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由垂直求得直线的方程，列方程组求得B点的坐标. 【详解】∵△ABC的高CD所在直线方程为，∴直线AB的斜率． 又△ABC的顶点，∴直线AB的方程为，即． 又∠ABC的平分线BE所在直线方程为， ∴联立得∴B点坐标为． 故答案为：. 【变式16-2】（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 题型十七 点到直线的距离问题 【例17】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 【变式17-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 【变式17-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离不大于，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 题型十八 平行直线之间的距离问题 【例18】（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 【答案】或13 【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 【变式18-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知两条平行直线与间的距离为4，则C的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件确定正确选项. 【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得或，又因为，所以． 故选：B. 【变式18-2】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两条直线化为和的形式，然后利用两条平行直线间的距离公式来求解即可. 【详解】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 题型十九 直线的对称问题 【例19】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知直线，求： (1)原点关于的对称点坐标； (2)直线关于的对称直线方程； (3)直线关于点的对称直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出原点关于直线的对称点的坐标，利用的中点在直线上，以及直线与直线垂直列方程组，即可求解； （2）求出直线与直线的交点坐标，在直线上取一点，由（1）知关于直线的对称点为，利用直线方程的两点式求解即可； （3）在直线上任取两点，分别求出这两点关于点的对称点，再利用直线方程的两点式求解即可. 【详解】（1）设原点关于直线的对称点为， 则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得，即， 所以原点关于的对称点坐标为； （2）联立，解得，则点在所求直线上， 在直线上任取一点， 由（1）得关于的对称点坐标为， 所以点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于的对称直线方程为； （3）在直线上取两点，， 则，关于点的对称点分别为，. 因为点，在所求直线上， 所以由两点式得直线方程为，整理得， 所以直线关于点的对称直线方程为. 【变式19-1】（23-24高二上·海南海口·期中）下列说法正确的是（    ） A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B．点关于直线的对称点为 C．直线关于直线的对称直线的方程为 D．直线关于点的对称直线的方程为 【答案】D 【分析】求出三角形的面积判断A；求出两点的中点坐标判断B；在直线上取点，求出对称点判断C；求出关于点的对称直线的方程判断D. 【详解】对于A，直线与两坐标轴交于，则所求三角形面积为，A错误； 对于B，点和的中点不在直线上，则点关于直线的对称点不是，B错误； 对于C，在直线上取点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，而点不在直线上，C错误； 对于D，在所求方程的直线上任取点，则该点关于点的对称点为在直线上， 于是，即，因此所求的直线方程为，D正确. 故选：D 【变式19-2】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 题型二十 直线与坐标轴围成图形的面积问题 【例20】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式20-1】（24-25高二上·甘肃白银·期末）过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 【详解】依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 【变式20-2】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【分析】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【详解】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 题型二十一 直线的范围、最值问题 【例21】（24-25高二上·吉林长春·期末）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由题意可设直线，分别求出两点坐标，即可表示出的面积，再由均值不等式即可求出答案. 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【变式21-1】（24-25高二上·河北·期中）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 【变式21-2】（2025高二·全国·专题练习）已知，，直线上有一个动点，求的最大值． 【答案】3 【分析】由直线的截距式方程得到直线方程，点在直线上，所以符合直线方程，用表示出，从而表示出，配方得到最大值. 【详解】直线的方程为，动点在直线上，则， 所以， 即当点的坐标为时，取最大值3． 题型二十二 两点间距离公式应用问题 【例22】（25-26高二上·全国·课后作业）设直线，，其中实数，满足． (1)证明直线与相交； (2)证明直线与的交点到原点的距离为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助反证法证明即可得； （2）联立两直线可解出交点坐标，再借助两点间距离公式计算即可得证. 【详解】（1）假设直线与不相交，则直线与平行或重合，有， 又，得，此时无实数解，从而，即直线与相交； （2）设直线与的交点为点， 解方程组，得，则点， 设原点为， 则， 即直线与的交点到原点的距离为定值1． 【变式22-1】（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 【变式22-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点，，，则的形状为 ． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 题型二十三 求圆的方程 【例23】（24-25高二上·上海·期中）若圆过点，，. (1)求圆的一般方程； (2)求圆关于直线对称的圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入三点坐标利用待定系数法求圆的一般方式. （2）要求圆关于直线的对称圆，只需求出圆心关于直线的对称点，再根据对称前后的圆半径相等即可求解. 【详解】（1）设圆的一般方程为，则 ，解得， ∴圆的一般方程为. （2）    由（1）得圆的圆心为，半径，圆半径为. 设，则，且的中点在直线上， ∴，解得, ∴圆的标准方程为. 【变式23-1】（2025高二·全国·专题练习）过点，且半径最小的圆的方程为 ． 【答案】（或） 【分析】解法一：先判断半径最小的情况，然后根据直径式方程写出圆的方程； 解法二：先确定圆心坐标和半径长，然后根据圆的方程直接写出即可. 【详解】解法一：根据题意，以点，为直径的两个端点的圆的半径最小， 则由直径式方程可得，即． 解法二：以点，为直径的两个端点的圆的半径最小，则线段的中点即圆心， 即直径，所以半径为， 所以圆的方程为． 故答案为：（或） 【变式23-2】（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为：． 题型二十四 判断直线与圆的位置关系 【例24】（22-23高二上·广东肇庆·期中）直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切或相离 【答案】D 【分析】已知直线方程恒过，点在以为圆心，半径为1的圆外，可绘出示意图可得出直线和圆的大致位置关系，设点与直线的距离为，通过讨论与半径1的关系，得出结论. 【详解】直线方程可变形为，恒过点.圆，是以为圆心，半径为1的圆. ，故P在圆外，直线与圆的位置关系示意如下： 设圆心到直线：的距离为d，则. 当时，，，解得：， 即当时，直线与圆相切. 当时，即时，直线与圆相交. 当时，即时，直线与圆相离. 综上，随着的变化，直线和圆可能相交、相切或相离. 故选：D. 【变式24-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，直线，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】化简直线方程可得直线过定点，点在圆上，进而即得. 【详解】由可得， 直线的方程整理为， 则直线恒过点，又点在圆上， 故直线与圆相交或相切． 故选：D 【变式24-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，圆，点，则（    ） A．若在圆上，则直线与圆相交 B．若在圆内，则直线与圆相离 C．若在圆外，则直线与圆相交 D．若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 题型二十五 圆的弦长、弦心距问题 【例25】（24-25高二上·天津·期中）已知圆C的方程为 (1)若直线l经过圆C的圆心，且倾斜角为，求直线l的方程； (2)若直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出圆的标准方程，则圆心坐标可求，再由点斜式方程求解即可得答案； （2）利用点到直线的距离公式结合勾股定理知识可求解. 【详解】（1）由题意得圆C的标准方程为：， 所以圆心坐标为， 由直线的点斜式方程可得直线方程为， 即； （2）圆心到直线的距离为， 所以弦AB的长为. 【变式25-1】（22-23高二上·广东肇庆·期中）设直线与圆相交于两点，且，则为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】作出图象，求出和的长，利用勾股定理即可求出的值. 【详解】由题意， 在中， 在中，，半径为， 直线与圆相交于两点，且， 设中点为C，连接，， 由几何知识得，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，，即，解得， 故选：B. 【变式25-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 题型二十六 切线问题 【例26】（25-26高二上·全国·课后作业）已知圆，直线，点为直线上的动点．过点作圆的两条切线，切点分别为．若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为 ． 【答案】3或 【分析】由已知，问题等价于圆心到直线的距离为，利用点到直线距离公式求解. 【详解】由可知圆心，半径为2， 因为四边形为正方形，且边长为圆的半径2，如图，连接，则， 所以要使直线上有且只有一个点，使得，则， 所以圆心到直线的距离为，所以，解得或． 故答案为：或. 【变式26-1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出的斜率即可求解. 【详解】由题意，圆的半径为圆的标准方程为． 当斜率不存在时，过点的直线为，与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，， 直线AB的方程为，即． 故选：A. 【变式26-2】（25-26高二上·全国·课后作业）若圆与直线相切，且其圆心在轴的左侧，则的值为 ． 【答案】 【分析】将圆化为圆的标准方程，由圆心在轴的左侧得，根据圆与直线相切即可求解． 【详解】由得， 圆心为，半径为， 圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故， 解得． 故答案为： 题型二十七 判断圆与圆的位置关系 【例27】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【分析】由题意可得圆心位于直线上，根据圆的方程写出圆心与半径，结合圆与圆的位置，可得答案. 【详解】圆关于直线对称， 圆心在直线上，，， 圆，即，圆心为，半径为． 圆的标准方程是，圆心，半径， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B. 【变式27-1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 【变式27-2】（24-25高二下·广西崇左·期末）圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据圆的方程确定圆心、半径，再由圆心距与半径和差关系判断位置关系即可. 【详解】由题设，且对应半径为，且对应半径为， 所以，故，即两圆相交. 故答案为：相交 题型二十八 相交圆的公共弦问题 【例28】（22-23高二上·广东肇庆·期中）已知圆，圆． (1)若圆与圆外切，求实数的值； (2)设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【详解】（1）因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. （2）当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 【变式28-1】（25-26高二上·全国·单元测试）若圆，圆的两交点分别为A，B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆的圆心为，半径为2即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可. 【详解】方法一  将两圆的方程作差，可得，即直线AB的方程为，圆的圆心为，半径为2， 则到直线的距离为，故． 方法二  联立解得或 所以． 故选：B. 【变式28-2】（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）圆和圆的交点为A，B，则有（    ） A．公共弦AB所在直线的方程为 B．公共弦AB所在直线的方程为 C．公共弦AB的长为 D．若P为圆上一动点，则P到直线AB的距离的最大值为 【答案】AD 【分析】两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程，由此可判断AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断C，数形结合找到P到直线AB的距离最大的情况即可判断D. 【详解】由两圆的方程作差可知公共弦AB所在直线的方程为，即；故A正确，B错误， 由， 易知，半径， 则点到直线的距离， 故弦长；故C正确， 当，并在如图所示位置时， P到直线AB的距离最大，为； 故选：AD. 题型二十九 圆的公切线问题 【例29】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交．并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)当两圆外切时， ①求的值； ②某直线分别与圆和圆相切于相异的两点，求． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)①，②4. 【分析】（1）根据两圆的方程得出圆心坐标和半径，计算出圆心距，比较圆心距与半径之和，半径之差的绝对值的大小，进而判断两圆位置关系；相交时，将两圆的方程相减，即得公共弦所在直线的方程； （2）①利用两圆外切的条件得出关于参数的方程，即可求出的值，②利用外公切线的计算公式计算即可. 【详解】（1）由圆与圆， 可知两圆圆心分别为，半径，则， 当时，，则，， 所以，故两圆相交． 两圆方程相减得，即两圆公共弦所在直线的方程为． （2）①若两圆外切，则，即，解得． ②因为，所以. 【变式29-1】（25-26高二上·全国·单元测试）圆：与圆的公切线条数是 ． 【答案】3 【分析】分析圆心距和两圆半径的关系，可知两圆外切，即可得到两圆公切线条数. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径． 因为，所以两圆外切， 所以圆与圆的公切线有3条． 【变式29-2】（25-26高二上·全国·课后作业）已知与有且只有两条公切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得两圆相交，据此可得答案. 【详解】得的圆心，半径． 将化为标准方程得， 易知的圆心，半径． 又两圆只有两条公切线，故两圆相交，即，显然， 则，即， 解得． 故答案为：. 题型三十 根据直线与圆的位置关系解决问题 【例30】（2025高三·全国·专题练习）已知直线l：与圆C：相切，且l关于x轴对称的直线与圆C有2个交点，则 ． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切可求得或，分类讨论，利用直线关于轴对称的直线有两个交点可求得. 【详解】由圆C：得圆心，半径为， 由点到直线的距离可得圆心到直线的距离， 即，解得或． 当时，直线：， 圆：，则直线关于轴对称的直线为：． 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆有2个交点，满足题意； 当时，直线：，圆：， 则直线关于轴对称的直线为：， 因为圆心到直线的距离， 所以直线与圆没有交点，不满足题意，舍去；综上，． 故答案为：． 【变式30-1】（24-25高二下·云南曲靖·期末）若直线与圆相离，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以. 故选：B. 【变式30-2】（25-26高二上·全国·课前预习）圆C的半径为r，直线l与圆C交于A，B两点，且圆心C到直线l的距离，其中M为弦AB的中点，则 ，弦长 . 【答案】 【分析】利用勾股定理求圆的弦长. 【详解】圆C的半径为r，圆心C到直线l的距离，则为中点，且, 中, ，. 故答案为：；． 题型三十一 根据圆与圆的位置关系解决问题 【例31】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆，圆交于A，B两点，在第二象限． (1)求以AB为直径的圆的方程； (2)若过点的直线（斜率存在）交圆于点，交圆于点，且，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两圆方程相减可得直线AB的方程为，可得所求圆的圆心，再结合勾股定理求解出半径即可求解； （2）设直线CD的方程是，根据题设结合勾股定理、点到直线的距离公式建立方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，圆，圆心为，半径为3， 圆，圆心为，半径为4， 两圆方程相减整理得，所以直线AB的方程为， 所以所求圆的圆心为，半径为， 所以以AB为直径的圆的方程为． （2）在第二象限，由（1）可得， 如图，不妨设点C，D分别在圆和圆上，易知直线CD的斜率存在， 设直线CD的方程是，即， 则点到直线CD的距离为， 点到直线CD的距离为， 因为，所以，解得， 所以直线CD的方程为，即． 【变式31-1】（多选）（25-26高二上·全国·期中）已知圆和圆，则（    ）． A．圆的半径为4 B．y轴为圆与的公切线 C．圆与公共弦所在的直线方程为 D．圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 【变式31-2】（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知两圆和，又点的坐标为，，是圆上的动点，为圆上的动点，则四边形能构成的矩形的个数为 ． 【答案】无数个 【分析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦也是以为直径的圆的直径，推导四边形为矩形的条件，即可得出结果． 【详解】任取圆上一点，以为直径画圆，交圆于，两点， 则的中点坐标为，又有， 以为直径的圆的方程为， 即， 用圆的方程减去以为直径的圆的方程，可得公共弦所在直线的方程， 即， 将中点坐标代入上式左边得 ，所以公共弦也是以为直径的圆的直径，则， 根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，即可得出四边形是矩形， 由点的任意性知，四边形有无数个． 故答案为：无数个.   ． 题型三十二 直线与圆、圆与圆位置关系的最值或范围问题 【例32】（24-25高二上·河南洛阳·期末）已知圆C：. (1)若直线l过点）且与圆C相切，求直线l的方程； (2)若直线l过点与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线l的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）先判断点在圆C外，当切线斜率存在时，利用圆心到直线距离为半径列式求解斜率即可，当直线斜率不存在时，与圆相切，即可求解. （2）设直线l的方程为，求出圆心到直线l的距离，结合弦长公式利用基本不等式求解面积的最大值，求出，列式求解，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以点在圆C外， 当切线斜率存在时，可设直线方程为：，即. 因为直线与圆相切，所以点到直线的距离为2，即，解的， 此时直线方程为， 当直线斜率不存在时，即，此时满足直线与圆相切. 综上可知直线l的方程为或. （2）因为直线与圆相交，所以斜率k存在，且. 设直线l的方程为，即， 所以圆心到直线l的距离， 故可得， 当且仅当时等号成立， 此时，解的或. 所以直线的方程为：或. 【变式32-1】（2025高二·全国·专题练习）已知在平面直角坐标系中，圆，点和点，为圆上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】设点，令，利用阿波罗尼斯圆，求得定点，利用，可求最大值. 【详解】已知圆和点，且点不在圆上、不与点重合， 则根据性质1知一定存在唯一一个定值和一个定点， 使得对于圆上的任意一点都有． 设点，令， 则，因此圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且． 根据定点，圆心三点共线可知点在轴上， 由，和相似比可知点． 如图，当点位于图中的位置时， 的值最大，最大值为． 故答案为：． 【变式32-2】（25-26高二上·全国·单元测试）已知点是圆上任意一点． (1)求点到直线的距离的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为． 【分析】（1）先求圆心到直线的距离，进而求点到直线距离的最大值和最小值； （2）方法一：设，转化为直线与圆有公共点；方法二：利用三角换元求最值． 【详解】（1）由题意，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）方法一：设，则直线与圆有公共点， ，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 方法二：设，则， 其中，则， 即的最大值为，最小值为． 基础巩固通关测 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点和点的直线倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点坐标得到直线为，即可得倾斜角. 【详解】由过点和点的直线为，即其倾斜角为. 故选：B 2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 【详解】由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 3．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 4．（24-25高三上·陕西商洛·期末）若直线与直线平行，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题可以通过直线与直线得直线方程以及两直线平行的相关性质列出等式，然后通过计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以或． 当时，重合； 当时，，，符合题意． 综上. 故选：B. 5．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（   ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】求出圆心、半径及圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆C：的圆心，半径， 圆心C到直线l的距离， 所以. 故选：C 6．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知曲线：和直线：有且仅有一个公共点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】由题意知直线过定点，即可判断与圆的位置关系，最后由圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】易知，直线过定点，曲线表示圆心为，半径为2的圆， 定点在圆外.由与有且仅有一个公共点时，与圆相切， 此时圆心到直线的距离，解得， 故选：A. 7．（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 8．（24-25高二上·广东深圳·期中）圆与的公共弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 9．（多选）（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10．（多选）（24-25高二下·山西·阶段练习）已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（   ） A． B．点在圆的外部 C．圆与圆外切 D．当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 11．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知圆与圆相内切，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】求出两圆的圆心和半径，由两圆内切的条件，列方程求实数a的值. 【详解】圆，化成标准方程为， 圆心坐标为半径， 圆，圆心坐标为半径， 由两圆相内切，则圆心距，解得. 故答案为：. 12．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可. 【详解】由圆：，可知：圆心，半径. 直线方程的一般式为. 由点到直线距离公式和题意可得： ，解得：. 所以可以是. 故答案为：（答案不唯一） 能力提升进阶练 13．（21-22高二上·广东揭阳·期末）已知直线：和直线：. (1)若，求a的值； (2)若，求两直线，间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两条直线垂直的条件即可求得结果. （2）利用两条直线平行的条件求出a的值，再利用点到线的距离公式即可得到答案. 【详解】（1）因为：，：且，所以，解得. （2）因为：，：，且，所以且，解得， 所以：，：，即：，：， 所以直线，间的距离为. 14．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 15．（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【答案】(1)的方程为 (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 16.（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知圆：． (1)若直线过定点，且与圆相切，求的方程； (2)若圆的半径为，圆心在直线：上，且与圆外切，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）分类讨论直线斜率存在与否，再待定系数法设出切线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求切线的斜率，求出切线； （2）根据圆心在直线上，以及两圆外切的条件列出圆心坐标的方程组，求出圆心坐标即可． 【详解】（1）由圆：得圆心，半径， 当直线斜率存在时，设：，即， 所以，解得， 所以切线为，即， 当直线斜率不存在时，直线为，易知也是圆的切线， 所以直线的方程为：或； （2）设，则， 解得，；或，， 故所求圆的方程为或. 17．（24-25高二上·河北保定·期末）已知圆过，，三点，直线l过点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线被圆截得弦长何时最短？求出截得弦长最短时直线的方程及最短弦长. 【答案】(1) (2)垂直，， 【分析】（1）根据圆的几何性质，求圆心和半径，即可求解； （2）由弦长公式结合圆的几何性质可知，当点是弦的中点时，此时弦长最短，根据直线的方程，结合弦长公式，即可求解. 【详解】（1）由已知可得，，，满足， 所以为以O为直角的直角三角形，取AB中点为M， 则，所以圆心，半径，圆M标准方程为； （2）由，可知，点在圆内， 当直线l垂直于MP时截得弦长最短.直线，直线l的斜率为， 则直线l方程为，此时圆心M到直线l的距离为，最短弦长为. 18．（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，直线恒过定点． (1)求点的坐标； (2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）依题意可得，令，解得即可求出定点坐标； （2）首先得到圆心坐标与半径，依题意可得圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解. 【详解】（1）直线， 即，令，解得， 所以直线恒过定点； （2）圆的圆心，半径， 因为为正三角形，所以圆心到直线的距离； 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 此时直线的方程为，即； 综上可得直线的方程为或. 19．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）令是关于的对称点，利用垂直和中点在直线上求点坐标，进而写出直线方程； （2）将直线写成，可求定点，即可证； （3）由题设易知，利用垂直及点斜式写出直线方程. 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 20. （25-26高二上·全国·单元测试）已知圆与圆关于原点对称． (1)求圆的标准方程； (2)设点为圆上任意一点，求代数式的最值． 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为． 【分析】（1）根据对称可得圆的圆心为，半径为2，从而得到圆的方程； （2）方法一：整理可得，由的几何意义，得到，确定点在圆外，所以，，从而求出的最值； 方法二：可设，从而表达出，由三角函数有界性求出最值. 【详解】（1）的圆心为，半径为2， 因为圆与圆关于原点对称， 所以圆的圆心为，半径为2， 所以圆的标准方程为； （2）方法一：由（1）知，圆的圆心，半径，， 因为表示点与之间的距离，即， 所以． 又， 所以点在圆外，所以， 则的最小值为， 最大值为． 方法二：由点为圆上任意一点， 且圆的标准方程为，可设 则． 因为， 所以的最小值为，最大值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$