1.2.2圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦圆的一般方程，涵盖方程形式、表示条件、圆心半径公式及应用，通过三个具体方程配方对比导入，引导学生观察方程特征与图形关系，衔接圆的标准方程，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题链驱动探究，通过配方推导培养推理意识，结合典例训练待定系数法和轨迹方程求法，提升数学模型应用能力。学生能深化代数与几何联系，教师可依托系统例题和总结高效教学。

§2 圆与圆的方程 第一章 第一章：直线与圆 §1.2.2圆的一般方程 1.正确理解圆的一般方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径. 2.会根据所给条件确定圆的一般方程. 学习目标 思考1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0， x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？ x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝4， 表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆； x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)； x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形. 思考2：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 新课导入 思考：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 探索新知 将方程配方得到的方程为-r ． 当时，该方程表示以，为圆心， 为半径的圆； 当时，方程只有实数解，， 即只表示一个点， ； 当 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形． x2+y2+Dx+Ey+F＝0 (D2+E2-4F>0) 圆的一般方程: 归纳总结 条件 图形 D2＋E2－4F<0 D2＋E2－4F＝0 D2＋E2－4F>0 二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 不表示任何图形 探索新知 为圆心， 为半径的圆 探索新知 x2+y2+Dx+Ey+F＝0 (D2+E2-4F>0) 圆的一般方程: 2圆心为 半径为 注意：1方程的结构特征①x2,y2的系数相同且不为零。 ②方程不含xy项。 D2+E2-4F>0 典例讲解 解: 由方程可得 ，此方程 表示圆，则，解得.故实数的取值范围是 .故选B. 5 解:由题可得，解得或 . 当时，方程为，表示圆，故圆心坐标为 ， 半径为5.当时，方程不表示圆 1.对于二元二次方程Ax2+Cxy+By2+Dx+Ey+F＝0而言，圆的一般方程突出了二元二次方程表示圆时，其在代数结构上的典型特征： ①.x2与y2系数相同并且不等于0，即A=B≠0； ②.没有xy这样的二次项，即C=0. 具备上述两个特征是一般二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件. 归纳总结 典例讲解 2.形如<m></m>的二元二次方程，判定其是否表示圆时可用如下两种方法: ①由圆的一般方程的定义令<m></m>，成立则表示圆，否则不表示圆. ②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. 典例讲解 巩固训练1. 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7x＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)x2＋y2－4x－2y－5＝0. 2. 已知方程 表示一个圆． （1）求实数 的取值范围； （2）求圆的周长的最大值． 解:（1）原方程可化为 ， 若该方程表示一个圆，则，解得 ， 即实数的取值范围是 ． （2）圆的半径，当且仅当 时，半径 取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为 ． 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 典例讲解 解: （法一）设的外接圆方程为 ， 点，， 在圆上， 的外接圆方程为 ， 即外接圆的标准方程为 . 外心为（1，-1），半径为5 例2 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径． 典例讲解 解：（法二）， ， ， ， 是以角 为直角的直角三角形， 外心是线段的中点，其坐标为，圆的半径 ， 外接圆的标准方程为 . 典例讲解 待定系数法求圆的方程的解题策略： 归纳总结 1.如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. 2.如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F. 典例讲解 训练巩固 求过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程。 解： 依题意，设圆的方程为 ， 若圆过点，，，则解得 所以圆的方程为，即 . 若圆过点，，，则解得 所以圆的方程为，即 . 训练巩固 求过四点(0,0),(4,0),(−1,1),(4,2) 中的三点的一个圆的方程。 若圆过点，，，则解得 所以圆的方程为，即 . 若圆过点，，则解得 所以圆的方程为，即 典例讲解 解： 依题意，设圆的方程为 ， 典例讲解 例3 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线 上. （1）求圆 的方程； （2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程. 解: （1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则， . 因为，所以 ， 所以直线的方程为 . 由得圆心 ， 则半径 ， 所以圆的方程为 . 典例讲解 解：（2）设点， .因为点的坐标为 ， 所以即 又点在圆 上运动， 所以 ，即 . 整理得 . 故所求线段的中点的轨迹方程为 例3 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线 上. （2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点 的轨迹方程. 探索新知 轨迹与轨迹方程：点的轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形； 点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式. （1）直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.步骤如右图: 1.求动点的轨迹方程的方法 求动点的轨迹方程，就是根据题意建立动点的坐标 所满足的关系式，并把这个方 程化成最简形式，如果题目中没有坐标系，那么就要先建立适当的平面直角坐标系. 探索新知 典例讲解 巩固训练 已知线段的端点的坐标是，端点在圆 上运动， 求线段的中点 的轨迹. 解： 设点的坐标是，点的坐标是 ， 因为点的坐标是，且是线段 的中点， 所以， , 于是有， . ① 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程 ， 即 ， ② 把①代入②，得 ， 整理得 ，所以点的轨迹是以，为圆心，1为半径的圆 $$