福建省福州市2025-2026学年高三第一次质量检测数学试卷

2025一2026学年第一学期福州市高三年级8月份质量检测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.B2.B3.D 4.C5.C 6.D 7.A8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.AC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.(O,),1(答案不唯一，写出圆心在直线y=x+1上，半径大于5都对 1437 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.【考查意图】本小题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式、分组求和等基础知识， 考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推 理、数学运算等核心素养，体现基础性.满分13分. 【解析】 (1)因为S=S+7, 所以=S。-S=7,…………2分 故{a}的公差d=-=7二2=1，……4s分 6-16-1 所以{a}的通项公式为a=2+(1-1)×1=n+1.…6分 (2)由(1)及题设得b.=2=2, ……7分 所以6=2=4,62m=2, 所以{也}是首项为4，公比为2的等比数列. T=(a+b)+(a+b)+…+(a+b) =(a+a2+…+a)+(6+b+…+b)…… …8分 第1页共10页 =(2+n+1)m,40-2) 2 1-2 3 =5t+n+22-4 …13分 16.【考查意图】本小题主要考查用正弦定理、余弦定理解三角形以及任意三角形的面积公式 等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查逻辑推理和 数学运算等核心素养，体现基础性，满分15分 【解析】（方法一） (1)由V√3asnC=c(1+cosA)及正弦定理， 得√5 sinAsinC=sinC(1+cosA). ………2分 又imC≠0，得√5$inA-c0sA=1,……3分 即4引片 …5分 因为Ae(0,),所以A= 3· ………7分 (2)由(1)得A= 3 由a=2,△4BC的周长为6，得b+c=4,……8分 由余弦定理得cosA=+c2-d、1 ……10分 所以b2+c2-4=bc,即(b+c)-4=3bc, 故bC=4,…13分 所以Sc= bcsim A=x4x5-5】 ……15分 2 2 2 (方法二)由V3 asinC=c(1+cosA)及正弦定理， sin AsinC sinC(1+cos A). …2分 又simC≠0，得√5sinA=1+cosA, ……3分 即2√5sim7c0s2=2cos ……5分 2 因为4e@.所拟0到引故o子0， 2 第2页共10页 sin 所以tan2 2 3 2 ,即A= 6 7分 (2)同方法一，略. …15分 17.【考查意图】本小题主要考查平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的性质、异面直线 所成角、空间向量等基础知识，考查直观想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力等，考查 数形结合思想、化归与转化思想等，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现 基础性、综合性，满分15分， 【解析】（方法一） (1)证明：连接AB,如图所示. 因为四棱锥P-ABCD的底面为矩形，AB=2BC,点E为棱CD的中点， 所以BC=CE,且∠BCE=90°，所以∠BEC=45°，.…1分 同理∠DEA=45°， 所以∠AEB=180°-2×450=90°，即AE⊥EB.……2分 因为PB⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,所以AE⊥PB.…3分 又因为EB∩PB=B,所以AE⊥平面PBE,…4分 因为AEC平面PAE,所以平面PAE⊥平面PBE, 即平面PEF⊥平面PBE, …5分 (2)(i)如图，连接BH交AE于点G. 因为PE∥平面BFH,PEC平面PAE,平面PAE∩平面BFH=FG, 所以PB∥FG,……6分 因为点F为棱PA的中点，所以点G为AE的中点.…7分 设K为AB的中点，连接EK交BH于点N, 又因为点E为CD的中点，四边形ABCD为矩形， 所以EKAD,且EK=AD,… ……8分 所以△BG≌△HAG,所以B=HA,故HD=KN=)AH,所以4识=2， 2 HD 即点H为AD的一个三等分点，靠近点D的位置.…10分 (ii)因为四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且PB⊥平面ABCD, 所以以点B为原点，分别以BC,BA,BP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系B一x忆，… ………11分 因为PB=2√5，BC=3,AB=2BC,所以P(0.0,2W3),C(3,0,0),F(0.35): 第3页共10页 由(1)知，AH=2HD,故AH=2,H(2,6,0), 12分 所以PC=(3,0-23)i=(2,3-5), …13分 所以cos(PC,FH)= PC.FH6+6√21 PC FH √2i×47 …14分 所以直线PC与直线H所成角的余弦值为团 ………15分 B D (方法二)因为四棱锥P-ABCD的底面为矩形，且PB⊥平面ABCD, 故以点B为原点，分别以BC,BA,BP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系B-z,…1分 （1)证明：设PB=h,BC=t,因为AB=2BC,则P0.0,,Ed,0)F012 B(0,0,0), 所以阳-u小原-0a=00-利. 设平面PEF的法向量为m=(名%·)， m.PE =0. ,+y-h3=0, 则 所以 m.PF=0. h 令3=21，得m=(h,h,2）):…2分 %-2=0, 设平面PBE的法向量为1=(xy乙)， n.PE=0. 则 所以 1PB=0, c:+,-,=0今=1，得n=1-1,0):4分 -hz,=0, 所以mn=h×1+h×(-1)+2t×0=0,所以m⊥n, 所以平面PEF⊥平面PBE:… …6分 (2)(i)由(1)知，PE=(t,t,-): 因为点H为线段AD上的点，设AH=r(0≤r≤t),则H(r,21,0),.…7分 所以眼(0 ,BH=(r,21,0), 第4页共10页 设平面BFH的法向量为山=(xy,二)， 1.BF=0, 则 所以 +=0…令5=.得-(r 2rt ……9分 1.BH=0, h x3+2y,=0, 因为PE∥平面BH,所以PB4=0,所以1xt+()x1+2”x()=0, 解得r= ……10分 所以识=2，即点月为AD的一个三等分点，靠近点D的位置. ……11分 HD (ⅱ)略，同方法一. ……15分 24 (方法三)(1)略，同方法一。 …5分 (2)(1)由PE∥平面BFH可知，H唯一确定 如图，取AB中点G,连接G,BG,BG的延长线交AD于点H, 则H即为所求。…6分 理由如下： 因为F,G分别为AP,AE中点，所以FG∥PB,…7分 因为FGC平面BFH,PEa平面BFH, 所以PE∥平面BFH, 8分 设4D=42,由-号B+A0得24G-6+, 因为G,B,H三点共线，所以2=+，解得A= 3 …9分 所以4=AD,点H为AD的一个三等分点，靠近点D位置.…10分 (ii)在Rt△PBC中，PC=VPB+BC=2+32=i, 连接AC,取AC中点O,连接OF, 因为点F为PA中点，所以OF=上PC= OF∥PC, 2 2 第5页共10页 所以∠OFH为直线PC与直线H所成角或其补角.………12分 取AB中点M,连接mM,MH,则M=号PB=5,FM∥PB, 因为PB⊥平面ABCD,所以FM⊥平面ABCD. 在△4中，AM-号4B=3.4-号4D=2 所以M=√AM2+AH2=32+2= 在Rt△FMH中，FH=√FM2+MH2=√3+13=4. 取AD中点N,连接ON,则ON⊥AD, 所以OH=VON2+HW2 37 …………………14分 2 在△OH中，由余弦定理得 21 cos∠OFH= OF+FH2-OH 1637 4 4=2 20F.FH 2xV21 7 ×4 所以直线PC与直线H所成角的余弦值为回 ……15分 W E ⊙ 18.【考查意图】本小题主要考查函数的图象与性质、不等式恒成立以及函数的极值等基础知 识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、 化归与转化思想、分类与整合思想和数形结合思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等 核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分. 【解析】（方法一） (1)证明：f(x)的定义域D={x≠0. …1分 对任意xeD,都有-xeD,且f()=[(-x)-am叶=(x2-a)hl=fx), 第6页共10页 所以∫(x)为偶函数，………2分 所以曲线y=f(x)是轴对称图形，对称轴为少轴。…3分 (2)由(1)可知，只需考虑x>0时，f(x)≥0.…4分 当x>1时，nx>0,故f(x)≥0一x2-a≥0，所以a≤1. 当x=1时，nx=0,此时f(x)≥0恒成立，所以aeR. 当0<x<1时，lnx<0,故f(x)≥0一x2-a≤0，所以a>1.…7分 综上，a=1. ……8分 (3)由(1)可知，f(x)恰有4个极值点等价于f(x)在(0，+D)上恰有2个极值点.·9分 下面只考虑x>0的情形。 f(x)=(x2-a)Inx, fe=24e-a片2ax+片是) …10分 设-hx+分品(>0，了与(e)的零点相同。 当a≥0时，p(x)是增函数，p(x)至多有一个零点， 则f(x)至多1个极值点，不符合题意。………11分 当a<0时，p(x)=+g=产+a 当0<x<√-a时，p'(x)<0,p(x)单调递减：当x>√-a时，p(x)>0,p(x)单调递增， 所以(.=a）=ha+}+=ha+1.…13分 22 因为f()有两个极值点，所以p(x)有两个零点，则p(x)<0,即n一a+1<0, 解得-。<a<0. 1 …14分 下面证明：当吉<a<0时，)有两个极值点。 因为-(a)=a+4到<0，即0<-<a<1, 令)-+1，则)士草-号 当0<x<1时，(x)<0,h(x)单调递减：当x>1时，(x)>0,h(x)单调递增， 第7页共10页 所以h)>h=0,即nx-马 ………15分 a 2 a 2 又因为0-行号0， 结合零点存在性定理可知， 当}<a<0时，倒在0回.a+上各有-个零点，记为6<) 当0<x<x时，p(x)>0,f"(x)>0: 当，<x<x2时，p(x)<0,f'(x)<0: 当x>x时，p(x)>0,f'(x)>0, 故，为∫(x)的极大值点，飞为f(x)的极小值点，满足题意. 综上，a的取值范围为 …17分 (方法二)(1)略，同方法一，…3分 (2)由(1)可知，只需考虑x>0时，f(x)≥0. …4分 因为u(x)=x2-a与v(x)=hx在(0，+m)上都单调递增， 所以f(x)≥0等价于(x)与(x)的零点相同.…6分 [(x)=0, x2-a=0, 所以 即 …7分 v(x)=0, nx=0, 解得a=1. ……8分 (3)由(1)可知，f(x)恰有4个极值点等价于f(x)在(0，+∞)上恰有2个极值点，·9分 下面只考虑x>0的情形. f(x)=(xi-a)lnx, ()-2xmx+(-a)1-2xmx+x-a …10分 设g(x)=2x2nx+x2-a(x>0),f'(x)与8(x)的零点相同 g)=4xn+2x2.+2x=4hx+4x=4xax+1） ，…11分 1 令g(x)=0得=。 第8页共10页 当0<x<时，g()<0,g句)单调递减：当x>时，g()>0,g()单调递增， ……13分 因为当x>0且x→0时，g(x)→-a:当x→+0时，8(x)→+四，…14分 当a≥0时，-a≤0,8(x)只有一个零点，不符合题意： 所以a<0,……15分 因为f(x)恰有两个极值点，所以g()恰有两个零点， 则g(x)n=- -a<0,解得 e<a<0. 综上，a的取值范围为 ……17分 19.【考查意图】本小题主要考查圆锥曲线的方程、图象与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等 基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力等，考查函数与方程思想、化归与转 化思想、特殊与一般思想和数形结合思想等，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算 等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分17分， 【解析】 2a=|OA=4, (1)依题意得e=￡=1 a21 ……2分 =b2+c2, 解得a=2,b=√5，c=1, …3分 所以B的方程为二+y v =1, …4分 43 (2)(i)直线CD过定点T …5分 理由如下： 设C(81%)D(x2%2)P(s,),则Q(-51),且3x2+42=12.…6分 直线4P的方程为y=,千：+4. 由 y=,4+4得(2s+5列+(8-2s)-5s+8到=0. 5+4 3x2+4y2=12 由韦达定理得sx= s5s+8】,故x=+8 …8分 25+5 25+5 第9页共10页 同理可得无=红9之 25-5 ……9分 所以4+》-+》(+到，低+-（飞*到，4+ 9 t35-4+9 t3(s+4) 2(25+5)-5+425-52(25-5)5+425+5 -27t 27t 2(2s+5)(2-5)2(2s+5)(2s-5) =0, 所以心∥TD. 又因为直线TC,TD有公共点T,所以C,D,T三点共线，即直线CD过定点T,11分 y=+4, 5+4 8(s-t+4) (ii)由 得x4= …12分 1 y=-2+4 5+21+4 同理可得xw= 8(-3-1+4) -5+21+4 245st ……14分 (2t+4)2-5 依题意，0<t<5, 所以 Pel r1a6-4-到 MN 125 85 15 当且仅当=3，即1=时等号成立， …16分 所以 IP 85 …17分 MN 的取值范围为 15 第10页共10页(在此卷上答题无效) 2025-2026学年福州市高三年级第一次质量检测 数学试题 (完卷时间：120分钟：满分：150分) 友情提示：请溶所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小愿，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.设全集U-cz-160,集合A-0,1,则C4中元素个数为 A.0 B.1 C,2 D.3 2己如z-2-4,则1口 A.5 B.5 C,5 D.1 3.一物体在力F的作用下，由点45,0]移动到点(2,4).若F=(-2,3),则F对该物体所 量的功为 A-18 B.-2 C.2 D.18 4.若函数f)=如(r+p)(心>0)的图象与直线y=a的相饰两个交点的距离为艺，财一 AI B.2 C.4 D.8 5已知琳物线C:y之-2(P>0)的焦点为F,准线为1.直线y-3与I交子点M,若 F-5,则P= A.1 B.2 C.4 D.8 6已如函数武)- s2g,x<0 3 则f（225)- f(x-4)x0 A.- B.0 c D.1 7,在正三棱柱ABC一4B,C中，AB=4,刻直就AB与平西BCC岛所成角的正弦值为 c.@ D.vs 5 高三数学一1一（共4页） 8.已知实数xy端足2+224x=y+461y,则xy的大小关系不可能是 A.ycxcl B.xcyel C.1<x<y D.Icy<x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小愿给出的选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 (任-的聚开式中，备=式系数的和为26.测 A.是=8 B.展开式中各项系数的和为乎 C。展开式中存在常数项 D.展开式中x的系数为16 10已知双#线r:2-号-1的左、右顶点分别为4®。M悬r上异于么，B的一个动点，记 2 直线，M的解率分别为片点，则下列说法正确的是 A.广的离心率为 B.所%■-2 c当=l时，m∠a-号 D.直线互x+y-l-0与「恰有一个公共点 1.在△BC中，B=2,4C-,d-于点P为△BC内一点，P的遥长线交BC于点D, 则下列说法正确的是 A.若P为△BC的重，则P-互。B.若P为△BC的外心.则P.回 C.若P为△BC的纸心.则AD-3西D.若P为△BC的内心，则D-S5 三、填空题：本题共3小题，每小愿5分，共15分. 2.已知由线y-位一一@在x=l处的切线料率为3，则实数a=二 13,己知两直线y一x与y=x+2被司M所截得的弦长相等，则酒M的圆心可以是一 华径可以是一，〔写出一组清足条作的结果即可) 14已如圆台的上、下度面半轻之比为3：4，母线长为反，该图合的上、下威面图周都 在球0的球面上，球0的表面积为10m,则该四合的体积为 高三数学一2一（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程城演算步 豫， 15.《13分) 已知等差数列(4，}的前知现和为5，马=2：品=号+7， (1)求a}的通项公式 (2)若瓦=2.求数列{a,+点，}的前n项和工 16.(15分) 记△AC的内角A,B,C的对边分别为a,b,e,且5aC-e(+casA). (1)求A (2》若A=2,△ABC的周长为6，求△AC的雨积 17.(15分) 如图，国棱锥P-BCD的底面为矩形，PB⊥平面ABCD,AB-2C,点B,F分别为 棱CD,PA的中点 (1)证明：平面PEF⊥平面PBE, (2)点H为战段AD上的点，且满足PEM平面BFH, (i)确定点H在AD上的枚置 (拉)若PB一25，C-3,求直线PC与直线丽所成角的余弦值. 高三数学一3一（共4页） 18(17分) 已知函数fx)-(x2-aj血4， (1)证明：韭线y=(x)是轴对称图形： 2)若（]>0，求a的值： (3)若f(x]给有4个极值点，求a的取值葱图 19.(17分) 在平面直角坐标系0中，4(40，精氨8：号卡-e>6>0)的长转长等于4】 心率为号 (1)求B的方程： 2)设直线1：y=一之+4，B为刚图区短鞋上的动点（不移在领轴的两端点，过8作） 轴的垂线交E于P,Q两点.直线AP与E的另一个交点为C,且与！交于点M:直 线AQ与E的另一个交点为D,且与I交于点N. (1》试探究直线CD是否经过一个定点t若是，求出该定点坐标：若不是，请说明 理由： 〔1)当B位于￥轴上方到，求 P NN 的取值范图 离三数学一4一（共4页）