利用导数研究函数的零点 讲义-2026届高三数学一轮复习

导数中的综合问题：利用导数研究函数的零点 题型1：求函数的零点个数 方法提炼 因为函数的零点个数是函数图像与轴交点的个数,所以可以借助函数图像的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可从三个方面入手:一是利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图像,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数；二是分离参数，将问题转化为求直线和的图像的交点个数问题；三是构造新函数，将问题转化为研究两函数图象的交点问题． 【例1.1.】 已知，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出函数的导数，利用导数讨论单调性，确定其最大值为正，再借助零点存在性定理推理作答. 【详解】函数定义域为，求导得：， 令，，显然在上单调递减，而，，， 则存在，使得，即，当时，，，当时，，， 因此，在上单调递增，在上单调递减， ， 而，则存在使得，即在上存在唯一零点， 又，令，， 则在上单调递减，，， 于是得，则存在使得，即在上存在唯一零点， 综上得：函数的零点个数为2. 故选：C 【例1.2.】 函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由可得，令，，可得出，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由可得，即， 因为且，则， 令，令，则， ， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 因为， ， 令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的零点个数为，即函数的零点个数为. 故选：B. 【例1.3.】 已知函数. (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【答案】(1) (2)2 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】(1)由导数的几何意义进行求解； (2)求出函数的导数，当时，在上单调递减，，0是的一个零点；当时，进行二次求导结合零点存在性定理进行判断. 【详解】（1）解：由已知可得，， 则，， 所以曲线在原点处的切线方程为，即. （2）由（1）知，. ①当时，有，， 所以恒成立， 所以在上单调递减，，0是的一个零点； ②当时，， 设，则恒成立， 所以，即在上单调递增. 又，， 所以根据零点存在定理可知，，使得. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 又，所以. 因为， 根据零点存在定理可知，，使得. 综上所述，在上的零点个数为2. 【例1.4.】 已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先求得导函数，再求导函数的零点，对两个零点分类讨论即可求得的单调性； （2）令，得，即，发现其结构相同， 再令，可得，故，问题转化为求函数的值域， 分析其图象与直线的交点个数即得答案. 【详解】（1）的定义域为 ，令得 ①当时，恒成立，则无递增区间，递减区间为； ②当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和； ③当时，，令，得，令得， 的递增区间为，递减区间为和， 综上：当时，无递增区间，递递减区间为； 当时，的递增区间为，递减区间为和； 当时，的递增区间为，递减区间为和. （2）若， 令，得，即， 也即，再令， 则在单调递增，故，所以， 可得，令， 令得，所以在上单调递增，在上单调递减， 且当；，所以， 综上：当时，该函数有0个零点； 当或时，该函数有1个零点； 当时，该函数有2个零点. 【例1.5.】 已知函数， (1)时，求函数在上的单调区间； (2)时，试讨论在区间上的零点个数. 【答案】(1)在上单调递减 (2)时，在区间有三个零点 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，得，利用导数的相关性质，得到的单调性. （2）通过导数，分类讨论，，，，进而分析的图像，可求解. 【详解】（1）时，，∴ 而在上单调递增，而 ∴，. ∴在上单调递减 （2）当时： ①时，，  ∴  ∴在区间上无零点 ②时，方程的解等价于方程的解. 时，在单调递增， 而 ∴唯一使得且在单调递减，单调递增 而， ∴在上有两个零点 ③时，，， 令，则在上单调递减 ，， 唯一使得 ∴在单调递增，上单调递减 而，， ∴唯一使得 ∴在单调递增，上单调递减 而， ∴在上无零点. ④时 ∴在单调递减 而， ∴唯一使得 综上所述：时，在区间有三个零点 题型2：由函数零点情况求参数 方法提炼 研究此类问题可以从以下两点考虑: (1) 根据区间上零点的个数情况,估计出函数图像的大致形状,从而推导出参数需要满足的条件,进而求出参数值或参数的取值范围. (2) 可以先求导,通过求导分析函数的单调性,再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,通过多次求导,层层推理得解. 【例2.1.】 已知函数 . (1)若 ，求 的极值； (2)若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)的极大值的极小值 (2) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，根据导数确定函数的单调性，即可根据极值的定义求解， （2）分离参数后构造，求导可得函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 令，则或， 当和时，， 当时，， 故在和单调递增，在单调递减， 故当时，取极大值 当时，取极小值 （2）令，则，则， 令， 则， 令，则， 由于故， 即，所以在单调递减， 故，故，则在单调递增， 且当时，，当时，， 故，即， 故实数的取值范围为 【例2.2.】 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若函数有两个零点，求的取值范围 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论，根据导数的符号，即可求出函数的单调区间； （2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根，即方程有两个不相等的实数根，即直线与函数的图象有两个交点，令，求出函数的单调区间，然后画出函数的简图，结合图像即可得出答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）， 函数有两个零点，即方程有两个不相等的实数根， 也即方程有两个不相等的实数根， 即直线与函数的图象有两个交点， 令，则， 当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 所以，， 当时，，且， 所以，函数的图象大致如图， 则的取值范围是.       【例2.3.】 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）对函数求导，结合函数定义域及的正负即可求解； （2）“曲线与直线有且仅有一个交点”等价于“方程有且只有一个根”，进而转化为“函数有唯一零点”， 对函数求导，分类讨论函数的单调性即可求解. 【详解】（1）依意得，函数的定义域为， 求导得， 由，得， 当时，；当时，， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）若曲线与直线有且仅有一个交点， 即方程有且只有一个根. 设函数，，即函数有唯一零点， 求导得， ，当且仅当时取等号， ∴当，即时，，函数在上单调递增，且， ∴函数在上有唯一零点，符合题意； 当时，，使得， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， ，当时，， 则使得， 即函数在上至少有两个零点，不合题意. 所以实数a的取值范围为. 【例2.4.】 已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，通分、化简为，再对分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得解； （2）依题意参变分离可得在上有两个不等实根，即直线与有两个交点，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解. 【详解】（1）解：定义域为， 所以 当时，，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，有两根分别为， 当时：令，解得，当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减. 令，解得，当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 综上所述： 当时：的单调递增区间是，单调递减的区间是 当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是 当，的单调递增区间是，上单调递增，单调递减的区间是 当时：的单调递增区间是，无减区间 （2）解：. 则在上有两个不等实根，即直线与有两个交点. 令，，， 令，解得， 当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值即最小值，即， 又，，所以， 所以. 【例2.5.】 已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 【答案】(1)在上递减，递增 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用求导思想，结合证明来判断导数的正负，从而来确定单调性； （2）利用分类思想，可得到单调性判断，根据三个实根，先确定，然后再借助导数确定单调性，并证明两个极小值相等，从而可得出结论. 【详解】（1）当时，求导得， 构造，求导得， 则当时，，所以在时单调递增； 则当时，，所以在时单调递减； 即，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）同理，由（1）得， 所以当时，有 则当时，， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． 此时方程最多只有两根，不满足题意； 则讨论的情形： 由，存在三个零点，分别为和1， 其中的零点由数形结合可得： 可知， 由此可得：当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 此时依次有2个极小值点和一个极大值点1， 因为，所以 则， ， 所以有，即两个极小值相等， 所以方程有3个实根，必然， 即． 【例2.6.】 已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)答案见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导，判断单调性根据极值的定义判断求解； （2）求导，对按､进行讨论，写出函数的单调区间； （3）根据（2）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和极值，零点存在性定理，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，. . 令，即. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 在处取得极小值为，无极大值. （2） ①当时，  在上递减； ②当时，令，， 当时，，当时，， 在上递减，在上递增. （3）由（1）知，当时，在上递减；至多有1个零点，不合题意. 当时，有两个零点，则，即， 令，单调递增，. ， ，， 由零点存在定理知，在存在一个零点. 又， ，由零点存在定理知，在存在一个零点. 综上：时，有两个零点. 【例2.7.】 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导函数，利用导数求解单调区间即可. （2），由得，则除1外还有两个零点，对求导分类讨论其单调性，当时，在单调递减，不满足，当时，要是除1外还有两个零点，则不单调，则，再由韦达定理求出其余两个零点的范围，结合函数的单调性说明所求范围即为所求. 【详解】（1）当时，，， 则在恒成立，所以在单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）， ，，则除1外还有两个零点， ， 令， 当时，在恒成立，则， 所以在单调递减，不满足，舍去； 当时，要是除1外还有两个零点，则不单调， 所以存在两个零点，所以，解得， 当时，设的两个零点为，， 则，，所以 当时，，，则单调递增； 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增； 又，所以，， 而，且， ，且， 所以存在，，使得， 即有3个零点，，， 综上，实数的取值范围为. 【例2.8.】 已知函数，若函数f（x）在区间，各恰有一极值点，求实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.15 【知识点】根据极值点求参数 【分析】通过研究导函数的正负，来判断出函数的单调性，进而分析出其极值，最后求出实数a的取值范围. 【详解】， 令，， 令，则， （1）当时，， 所以在上单调递减， 又 当时，， 在上单调递增， 即，在上单调递减， f（x）在区间上，无极值， 当时，当时，是减函数， ，， 所以，存在使， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 由，得， 又 所以，存在，使， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以在上有一个极值点， （2）当时， 令， 则在上单调递增， ，， 所以，存在，使得， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， ，即， 则存在，使得， 当时，，是减函数， 当时，，是增函数， 又， 当时，，即， ， 所以，存在，使得， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以在上有一个极值点， 综上，f（x）在区间，各恰有一极值点，则. 故答案为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数中的综合问题：利用导数研究函数的零点 题型1：求函数的零点个数 方法提炼 因为函数的零点个数是函数图像与轴交点的个数,所以可以借助函数图像的特征迅速求解函数的零点个数问题.对于含参函数的零点个数问题，一般可从三个方面入手:一是利用导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图像,根据极大值和极小值的符号确定函数零点的个数；二是分离参数，将问题转化为求直线和的图像的交点个数问题；三是构造新函数，将问题转化为研究两函数图象的交点问题． 【例1.1.】 已知，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例1.2.】 函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知函数. (1)求曲线在原点处的切线方程； (2)讨论在上的零点个数. 【例1.4.】 已知函数 (1)当时，讨论的单调性. (2)若，讨论函数的零点个数. 【例1.5.】 已知函数， (1)时，求函数在上的单调区间； (2)时，试讨论在区间上的零点个数. 题型2：由函数零点情况求参数 方法提炼 研究此类问题可以从以下两点考虑: (1) 根据区间上零点的个数情况,估计出函数图像的大致形状,从而推导出参数需要满足的条件,进而求出参数值或参数的取值范围. (2) 可以先求导,通过求导分析函数的单调性,再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,通过多次求导,层层推理得解. 【例2.1.】 已知函数 . (1)若 ，求 的极值； (2)若 在区间 上存在零点，求实数的取值范围. 【例2.2.】 已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若函数有两个零点，求的取值范围 【例2.3.】 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求实数a的取值范围． 【例2.4.】 已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【例2.5.】 已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 【例2.6.】 已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【例2.7.】 已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若有3个零点，，，其中.求实数的取值范围. 【例2.8.】 已知函数，若函数f（x）在区间，各恰有一极值点，求实数a的取值范围为 . ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$