专题1.2 常用逻辑用语重难点题型讲义（2个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测）性质及应用-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版必修第一册）

专题1.2 常用逻辑用语重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断命题的充分不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 题型三 判断命题的必要不充分条件 题型四 根据必要不充分条件求参数 题型五 充要条件的证明 题型六 探求命题为真的充要条件 题型七 根据充要条件求参数 题型八 根据全称命题的真假求参数 题型九 判断特称(存在性)命题的真假 题型十 根据特称(存在性)命题的真假求参数 题型十一 全称命题的否定及其真假判断 题型十二 特称命题的否定及其真假判断 题型十三 含有一个量词的命题的否定的应用 拓展训练一 充分、必要与充要条件的求参问题 拓展训练二 全称命题与特称命题的求参问题 知识点一：充分条件与必要条件 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 2．（24-25高一上·全国·单元测试）已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 知识点二：全称量词与存在量词 ① 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. ② 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 【即时训练】 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【经典例题一 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（24-25高一·全国·单元测试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【例2】（22-23高一·河南新乡·阶段练习）设，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”四个中选一个），并证明你的结论． 1．（24-25高三上·上海·期中）已知，，则“”是“等号成立”的（   ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【经典例题二 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高一上·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 4．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【经典例题三 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 1．（24-25高二下·北京东城·期末）设函数，直线，则“”是“直线为曲线的一条切线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（22-23高一上·陕西安康·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要不充分条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 3．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 4．（24-25高一上·河北保定·期中）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 【经典例题四 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 3．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【经典例题五 充要条件的证明】 【例1】（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏连云港·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 4．（2023高一·全国·专题练习）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【经典例题六 探求命题为真的充要条件】 【例1】（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题的真假： （1）一次函数（是非零常数）的图象一定经过点； （2）直角三角形的外心一定在斜边上； （3）已知，则是的充要条件； （4）如果都能被5整除，则也能被5整除. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 2．（24-25高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数为定义在上的次多项式，且满足：对任意的实数a，b，c都有“长为a，b，c的三条线段可构成三角形”的充要条件是“长为、、的三条线段可构成三角形”，则下列说法正确的是（    ） A．n只可能为1 B．n有无穷多个可能取值 C．至少有一个零点 D．不一定单调递增 3．（24-25高二上·安徽池州·阶段练习）在中，、、为的三边.命题是等边三角形，命题，是的 条件.（充分不必要，必要不充分，充要） 4．（23-24高二下·山东潍坊·开学考试）已知关于x的一元二次方程 (m∈Z) ① mx2－4x＋4＝0, ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件. 【经典例题七 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高二上·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是． 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）集合,,则的充要条件是 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围． 【经典例题八 根据全称命题的真假求参数】 【例1】（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 1．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x＞m恒成立，求实数m的取值范围． 【经典例题九 判断特称(存在性)命题的真假】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题的真假： （1）； （2）； （3）； （4）． 1．（2024高三·全国·专题练习）以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．每一个锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 2．（多选题）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 3．（22-23高一上·陕西榆林·阶段练习）下列存在量词命题是真命题的是 ．（填序号） ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数，使； ③存在实数a，使函数的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 4．（23-24高一·全国·课前预习）判断下列命题的真假． （1）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （2）任何实数都有算术平方根； （3）每个平面四边形的内角和都是360°； （4）至少有一个整数N，使得N2＋N为奇数． 【经典例题十 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·广东江门·期中）若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．7 3．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）（1）若命题“，”为假命题，求实数a的最小值. （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【经典例题十一 全称命题的否定及其真假判断】 【例1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. (1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. (2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 1．（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（多选题）（23-24高一上·云南·期末）下列各结论正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．命题“，”的否定是“，” D．对恒成立 3．（23-24高一上·北京·期中）命题“”的否定是 . 4．（23-24高二下·西藏林芝·阶段练习）写出下列命题的否定,并判断其真假. 三角形的内角和等于; (2)美国总统奥巴马是年度诺贝尔和平奖获得者 (3)所有的空间四边形的对角线所在的两条直线都是异面直线. 【经典例题十二 特称命题的否定及其真假判断】 【例1】（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）求解下列两问题. （1）设函数，的值域，函数(其中)的定义域，若是的必要不充分条件，则求实数的取值范围； （2）若命题“，”的否定是真命题，则求整数的值. 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ） A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知命题, ，，则 A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）命题：“，”的否定是 ． 4．（2024高二·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断命题的真假： (1)； (2) 【经典例题十三 含有一个量词的命题的否定的应用】 【例1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）给出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:不论m取何实数,关于x的方程x2+mx-1=0都有实根; (2)q:∃x∈{三角形},x是等边三角形. 1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知四个命题： ①如果向量与共线，则或； ②是的充分不必要条件； ③命题：，的否定是：，； ④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 3．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是 4．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【拓展训练一 充分、必要与充要条件的求参问题】 【例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·单元测试）设集合，集合，命题，命题. （1）若是的充要条件，求正实数的取值范围 （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 1．（22-23高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选题）（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 3．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要. 请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合，，则是______的条件.若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【拓展训练二 全称命题与特称命题的求参问题】 【例1】（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 1．（22-23高一上·河北唐山·阶段练习）为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，使 D．， 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题，，命题，． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 2．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 3．（22-23高一上·山东滨州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件 C．“关于的方程有实根”的充要条件是“ D．若集合，则“”是“”的充分不必要条件 4．（22-23高一上·辽宁大连·阶段练习）若，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 6．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（多选题）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 8．（多选题）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（24-25高一上·新疆喀什·期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 10．（多选题）（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对下列命题的否定说法正确的是（    ） A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；¬p：∀n∈N，2n>100 11．（2024高一·全国·专题练习）已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 . 12．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 13．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 14．（2022高一·上海·专题练习）已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ． 15．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是 . 16．（23-24高二下·贵州毕节·期末）将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 第一行 … 第二行 … 第三行 … 对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”. （Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 17．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知命题“存在”，命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线” （1）若是真命题，求的取值范围. （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 18．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 19．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 20．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 常用逻辑用语重难点题型专训 （2个知识点+13大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 判断命题的充分不必要条件 题型二 根据充分不必要条件求参数 题型三 判断命题的必要不充分条件 题型四 根据必要不充分条件求参数 题型五 充要条件的证明 题型六 探求命题为真的充要条件 题型七 根据充要条件求参数 题型八 根据全称命题的真假求参数 题型九 判断特称(存在性)命题的真假 题型十 根据特称(存在性)命题的真假求参数 题型十一 全称命题的否定及其真假判断 题型十二 特称命题的否定及其真假判断 题型十三 含有一个量词的命题的否定的应用 拓展训练一 充分、必要与充要条件的求参问题 拓展训练二 全称命题与特称命题的求参数问题 知识点一：充分条件与必要条件 1 概念 一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出. 这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件. 如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题， 即既有，又有，就记作， 此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件. ② 是的______条件(填写是否充分、必要) 完成此题型，可思考 从左到右，若则充分，若则不充分； 从右到左，若则必要，若则不必要. ③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围 命题对应集合， 若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件. 注 若，则称为小范围，为大范围. 结论 ① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则； ③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则； ⑤ 若是的充要条件，则. 【即时训练】 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中，不是“四边形是正方形”的充分条件的有（    ） A．对角线相等的菱形 B．邻边相等的矩形 C．对角线相等的平行四边形 D．有一个角是直角的菱形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、平行四边形的性质特征，结合充分条件的定义及正方形的性质判断命题间的关系. 【详解】根据正方形的判定及菱形、矩形、平行四边形的性质，知A，B，D中描述的四边形均为正方形，是“四边形是正方形”的充分条件， 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故C不是“四边形是正方形”的充分条件. 故选：C 2．（24-25高一上·全国·单元测试）已知或，或．若是的充分条件，则实数的最大值为 ；若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出两个集合，若是的充分条件，则，从而得到不等式，求出答案；由是的必要条件可得，分和两种情况，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】或，或， 若是的充分条件，则，所以，解得， 即实数的最大值是； 若是的必要条件，则， ①当，即时，，此时成立； ②当，即时，， 若，则，解得，又，故无解， 综上，的取值范围是． 故答案为：-4， 知识点二：全称量词与存在量词 ① 全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． Eg：对所有末位数是的数能被整除，. ② 存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. Eg：至少有一个质数是偶数，. 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的. 【即时训练】 1．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）若命题“”是假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知命题的否定为真命题，由判别式得到不等式，解得的取值范围》 【详解】命题“”是假命题， 则 是真命题， ∴， 解得：或， 即a的范围是 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课前预习）下列命题中是假命题的个数为 ． （1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （3）有些实数是无限不循环小数； （4）存在一个三角形不是等腰三角形． 【答案】0 【分析】（1）根据能被5整除的整数的判定方法即可判断出正误；（2）根据线段垂直平分线定理加以判断，可得答案；（3）根据实数的分类即可判断出正误；（4）举例即可判断正误． 【详解】（1）若一个整数的末位是0，则它可以被5整除， 故“每一个末位是0的整数都是5的倍数．”是真命题； （2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 根据线段的垂直平分线定理，可知它是真命题； （3）实数包含无理数，而无理数就是无限不循环小数， 故“有些实数是无限不循环小数”是真命题； （4）有的三角形不是等腰三角形，比如三个角分别为的直角三角形， 故“存在一个三角形不是等腰三角形”是真命题． 故假命题的个数为0. 故答案为：0 【经典例题一 判断命题的充分不必要条件】 【例1】（24-25高一·全国·单元测试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【例2】（22-23高一·河南新乡·阶段练习）设，判断“”是“”的什么条件（在“充分不必要条件”“充要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”四个中选一个），并证明你的结论． 【答案】充分不必要条件，证明见解析 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：是的充分不必要条件． 先证明充分性： 因为得， （方法一） 由得， 所以， 故“”是“”的充分条件； （方法二） ， 故“”是“”的充分条件； 再证明不必要性： 由 ， 所以或， 当时，成立； 当时，不一定成立， 故“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件 1．（24-25高三上·上海·期中）已知，，则“”是“等号成立”的（   ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件来判断. 【详解】当时，即成立， 当时，恒成立，时，满足，即推不出， 故“”是“等号成立”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·山西大同·阶段练习）“不等式在上恒成立”的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】先求出不等式恒成立的充要条件时m的范围，可得它的真子集即为充分不必要条件，选出结果． 【详解】“不等式在上恒成立”的充要条件即方程至多一个实数根， 所以，解得， 所以不等式恒成立的充分不必要条件是的真子集． 故选：CD. 3．（2025高一·全国·专题练习）德国数学家康托尔在研究“可数无穷集合”时，发现自然数集N（记为集合A）与有理数集Q（记为集合B）存在特殊关系：所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数．若命题“”是命题“”的 条件，则需填入“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”． 【答案】充分不必要 【分析】由所有自然数都是有理数，但有理数不全是自然数，进行判断即可． 【详解】因为所有自然数都是有理数，所以充分性满足； 但有理数包含分数、负整数等非自然数，故必要性不满足． 因此，命题“”是命题“”的充分而不必要条件． 故答案为：充分不必要 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合． (1)求证：、、； (2)已知，证明：“”的充分非必要条件是“”． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据集合中元素的特征一一判断即可； （2）由，即可得到充分性成立，再利用特殊值判断必要性不成立； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以； （2），， ，即所有奇数都属于集合，则由，必有， 又 所以，而，即由推不出， 所以的充分非必要条件是. 【经典例题二 根据充分不必要条件求参数】 【例1】（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案. 【详解】由不等式，可得（不合题意）， 要使得是的一个充分条件， 则满足，解得. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 1．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题的否定是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知命题的否定是真命题，根据一元二次不等式的存在性问题求解即可. 【详解】依题意，是真命题， 所以在R上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在R上一定有解，故满足题意； 当时，若在R上有解，则，解得， 综上所述，， 因此命题的否定是真命题的充要条件为， 所以命题的否定是真命题的一个充分不必要条件可以是， 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由充分条件和必要条件的定义判定即可. 【详解】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 3．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【详解】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为： 4．（24-25高一上·河北衡水·期中）已知，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算的定义即可求解， （2）将问题转化为,即可对讨论是否为空集，列不等式即可求解. 【详解】（1）当时，则故且， 又， 故 （2）由于“”是“”的充分不必要条件， 所以, 当为空集时，则，解得， 当不为空集时，则或，解得， 综上可得 【经典例题三 判断命题的必要不充分条件】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）如果，是实数，那么“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件． 【详解】当时，满足，而，则充分性不成立； 当时，若，则， 所以，而，则； 若，则， 所以，而，则，则必要性成立． 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 【例2】（24-25高一上·上海·课后作业）设是方程的两个实根，试分析，是两根均大于1的什么条件？ 【答案】必要非充分条件 【分析】利用韦达定理结合不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】由韦达定理，， 判定条件结论 （注意条件中，、需满足） ①由得，，所以． ②为了证明，可以举出反例 取，，满足，，但不成立． 综上可知，是两根均大于1的必要非充分条件． 1．（24-25高二下·北京东城·期末）设函数，直线，则“”是“直线为曲线的一条切线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的判断方法进行分析，结合图象以及判别式判断出正确答案. 【详解】若，则， 由下图可知，与不相切. 所以，“”不能推出“直线为曲线的一条切线”；    若直线为曲线的一条切线： 由消去并化简得， 则，即. 所以，“直线为曲线的一条切线”能推出“”. 综上，“”是“直线为曲线的一条切线”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（多选题）（22-23高一上·陕西安康·期中）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要不充分条件的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【分析】利用充分必要条件的定义逐一分析判断每一个选项得，选项A是非充分非必要条件，选项BC是必要非充分条件，选项D是充分不必要条件. 【详解】不能推出，也不能推出， ∴“”是“”的既不充分也不必要条件； 不能推出，可以推出， ∴“”是“”的必要不充分条件； 不能推出，可以推出， ∴“”是“”的必要不充分条件； 且可以推出，不能推出且（如）， 故“且”是“”的充分不必要条件. 故选：BC 3．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知幂函数在上单调递减，则是的 条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 【答案】必要不充分 【分析】先求解出不等式的解集为集合，再根据幂函数在上单调递减求解出的取值集合为，根据集合之间的关系确定出是的何种条件. 【详解】设对应的的取值范围为集合，对应的的取值范围为集合， 因为，所以，所以, 又因为，所以，所以， 所以，所以是的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分. 【点睛】结论点睛：充分、必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含. 4．（24-25高一上·河北保定·期中）已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，， (2)必要不充分条件，理由见解析 (3)4k， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）判断两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系； （3）根据同奇同偶及可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，，∴，，. 假设，，，则， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 故无整数解，故. （2）结论：“”是“”的必要不充分条件，理由如下： 集合，恒有， ∴，即必要性成立； 又∵，， ∴充分性不成立， ∴“”是“”的必要不充分条件. （3）集合，成立， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 又对于任意，总有，故， 综上，集合中的所有偶数为，. 【经典例题四 根据必要不充分条件求参数】 【例1】（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 【例2】（24-25高一上·江西·期末）已知集合，，全集． (1)当时，求； (2)若““是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求出特定值下集合的补集，再与集合求交集； （2）根据必要不充分条件得出集合与的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，则或 所以或； （2）“”是“”的必要不充分条件，故A为的真子集， 则或，解得. 1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知命题，命题，，若是成立的必要不充分条件，则区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由命题q中的a的范围，再由是成立的必要不充分条件，得选项. 【详解】命题，，则， 所以，解得或， 又是成立的必要不充分条件，所以， 所以区间可以为， 故选：B. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（    ） A．﹣2 B． C． D． 【答案】BC 【解析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由题意得， 当时，， 当时，， 因为p是q的必要不充分条件，所以 A， 所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或， 故选：BC. 【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题. 3．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分别把不等式表示为集合形式，将必要不充分条件转化为集合间的真包含关系，从而得到结果. 【详解】设，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以， 故答案为：. 4．（24-25高一上·四川眉山·期末）已知集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可得出集合； （2）由题意可知，集合为集合的真子集，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，全集，则或， 又因为集合，故. （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合为集合的真子集， 当时，，解得； 当时，由题意可得，解得， 检验：当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意； 当时，，此时集合为集合的真子集，合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【经典例题五 充要条件的证明】 【例1】（2025·上海静安·模拟预测）“”是“”的（    ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】分类讨论求解，即可判断． 【详解】当时，，不成立； 当时，，不成立； 当时，，成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：C． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，分别是的三条边，且，则为锐角三角形的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记边a，b，c所对的角分别为A，B，C．根据题意，则，故证明如下：必要性，在中，假设是锐角，作，为垂足，如图1．显然，即．充分性，在中，因为，所以不是直角．假设为钝角，如图2，作，交BC的延长线于点．则，即，与矛盾．故为锐角，则，都为锐角，即为锐角三角形． 2．（24-25高三上·江苏连云港·期中）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论的符号，结合充要条件的等价性分析判断. 【详解】当时，则，即，等价于， 等价于，即； 当时，则不成立，也不成立； 当时，则，即成立， 等价于，即； 当时，则，即，等价于， 等价于，即； 综上所述：“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（24-25高一上·湖北十堰·阶段练习）设，，分别是的三条边，且我们知道，如果为直角三角形，那么勾股定理反过来，如果，那么为直角三角形勾股定理的逆定理由此可知，为直角三角形的充要条件是请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理易得为锐角三角形的充要条件是.分充分性和必要性两步证明即可. 【详解】设，，分别是的三条边，且，为锐角三角形的充要条件是． 证明如下：必要性：在中，是锐角，作，为垂足，如图． 显然 ，即． 充分性：在中，，不是直角． 假设为钝角，如图作，交延长线于点． 则 ． 即，与“”矛盾． 故为锐角，即为锐角三角形． 故答案为： 4．（2023高一·全国·专题练习）设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】为锐角三角形的充要条件为.作出图形，根据勾股定理计算化简分别证明充分性和必要性即可. 【详解】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为.    【经典例题六 探求命题为真的充要条件】 【例1】（24-25高一上·江苏淮安·期中）设，则“”的充要条件为（   ） A．至少有一个为1 B．都为1 C．都不为1 D． 【答案】A 【分析】将化为求解，结合充分、必要性定义即可得答案. 【详解】由，则，可得或，即至少有一个为1， 所以“”的充要条件为至少有一个为1，故只有A符合，其它选项均不符. 故选：A 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题的真假： （1）一次函数（是非零常数）的图象一定经过点； （2）直角三角形的外心一定在斜边上； （3）已知，则是的充要条件； （4）如果都能被5整除，则也能被5整除. 【答案】（1）真命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）真命题. 【解析】（1）将点代入直线计算得到答案. （2）根据直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点得到答案. （3）当时，取，则，故不充分，得到答案. （4）设，则得到答案. 【详解】（1）一次函数（是非零常数）的图像一定经过点； 将代入直线知成立，故为真命题； （2）直角三角形的外心一定在斜边上； 直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点，故为真命题； （3）已知，则是的充要条件； 当时，取，则，故不充分，故为假命题； （4）如果都能被5整除，则也能被5整除. 设，则，故为真命题； 【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力. 1．（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中是的充要条件的是（    ） A．，：方程有实根 B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由充要条件的概念逐项判断即可. 【详解】若方程有实根，则，即或，因此不是的充要条件，A错误； 不一定可以得到，所以不是的充要条件，B错误； 若，则，若，则，故充分性不成立，C错误； 根据集合间的关系可得，D正确． 故选：D 2．（24-25高三上·浙江宁波·开学考试）已知函数为定义在上的次多项式，且满足：对任意的实数a，b，c都有“长为a，b，c的三条线段可构成三角形”的充要条件是“长为、、的三条线段可构成三角形”，则下列说法正确的是（    ） A．n只可能为1 B．n有无穷多个可能取值 C．至少有一个零点 D．不一定单调递增 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立可得，从而可判断ABCD的正误. 【详解】对任意的，则可构成三角形，故， 即， 设， 因为“长为a，b，c的三条线段可构成三角形”的充要条件是“长为、、的三条线段可构成三角形”， 故对任意的恒成立，故且， 此时， 而， 设，， 当时，，因为的最高次项的系数小于的最高次项的系数，结合多项式函数的图象可得： 故存在，使得时，成立，，此时， 故，故B错误， 故此时，其中，恒成立， 且为增函数，故CD错误. 下面说明A成立，可取，，则 对任意的正数，若为三角形三边，故， 则， 而，故为三角形三边， 反之，若为三角形三边，则， 故，故为三角形三边. 故只能为1， 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考虑函数性质，注意根据特殊情况判断的大小，从而可判断各项的正误. 3．（24-25高二上·安徽池州·阶段练习）在中，、、为的三边.命题是等边三角形，命题，是的 条件.（充分不必要，必要不充分，充要） 【答案】充要 【解析】利用配方法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：若是等边三角形，则，进而可得，充分性成立； 必要性：若，可得， 即，则，所以，为等边三角形，必要性成立. 因此，是的充要条件. 故答案为：充要. 【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法： （1）定义法； （2）集合法； （3）转化法. 4．（23-24高二下·山东潍坊·开学考试）已知关于x的一元二次方程 (m∈Z) ① mx2－4x＋4＝0, ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，求方程①和②都有整数解的充要条件. 【答案】. 【分析】(1)判定是的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件能否推得；二是由条件能否推得.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；（2)判断充要条件的方法：（1）定义法：直接判断若则、若则的真假；（2）等价法：利用与， 与，与的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法；（3）利用集合间的包含关系判断：若，则是的充分条件或是的必要条件，若，则是的充要条件. 【详解】 方程①有实根的充要条件是m=0,或m不等于0时解得m1. 方程②有实根的充要条件是， 解得 故m=－1或m=0或m=1. 当m=－1时，①方程无整数解. 当m=0时，②无整数解； 当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解. ∴①②都有整数解的充要条件是m=1 考点：充要条件的探索. 【经典例题七 根据充要条件求参数】 【例1】（24-25高二上·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答. 【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先用判别式判断两个方程同时有解时实数的范围为且， 再取或，分别求两方程的解，再判断两方程是否都有整数解即可. 【详解】证明：方程①有实根的充要条件是且，所以且， 方程②有实根的充要条件是，解得， 所以方程①②都有实根的充要条件是：且， 又，故或， 当时，方程①的解为，故不满足题意， 当时，方程①的解为， 方程②的解为或，满足题意， 从而方程①和②都有整数解， 反之，方程①和②都有整数解， 所以方程①和②都有整数解的充要条件是：． 【点睛】本题考查了二次方程有解的充要条件及二次方程解的求法，重点考查了运算能力及方程的思想，属中档题. 1．（23-24高二上·江苏常州·期中）“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为，解得答案. 【详解】，，即，即. 故选：. 【点睛】本题考查了充要条件，真命题，意在考查学生的计算能力和推断能力. 2．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 3．（23-24高三上·上海徐汇·阶段练习）集合,,则的充要条件是 【答案】 【分析】是圆心在处,半径为的圆内及圆上的点的集合；表示的点的集合是以为中心,边长为的正方形,由,则圆在正方形内部,进而求解即可 【详解】由题,是圆心在处,半径为的圆内及圆上的点的集合； 表示的点的集合如图所示的以为中心,边长为的正方形, 若,即圆在正方形内部, 当圆为正方形的内切圆时,即, 故, 故答案为: 【点睛】本题考查由充要条件求参数范围,考查数形结合思想,考查点集的概念 4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围． 【答案】不存在实数，使得是的充要条件 【分析】由是的充要条件，则，再由集合相等的充要条件列方程组，运算即可得解. 【详解】解：因为是的充要条件，则， 由，， 知要使，则，无解， 故不存在实数，使得是的充要条件． 【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题. 【经典例题八 根据全称命题的真假求参数】 【例1】（22-23高一上·湖南长沙·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课堂例题）已知集合，，且，若命题p：，是真命题，求m的取值范围． 【答案】 【分析】由题意可得，由此可得，解不等式即可得出答案. 【详解】由于命题p：，是真命题， 所以，又， 所以， 解得． 即m的取值范围为． 1．（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】命题“”为假命题， 则， 当时，，成立； 当时，则，解得，即； 当时，成立； 综上所述：. 故选：D. 3．（2023·全国·模拟预测）能够说明“若，则”是假命题的一组实数的值依次为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由条件可得存在满足条件，，由此可得，再取满足条件的特殊值. 【详解】由“若，则”是假命题可得， 存在满足条件，但， 由此可得，故， 若取，，则，故可取. 故答案为：（答案不唯一）. 4．（23-24高二·全国·课后作业）对于任意实数x，不等式sin x＋cos x＞m恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】结合三角函数的知识求出函数的最小值即可得到所求范围． 【详解】令， 则． 因为对任意x∈R，sin x＋cos x＞m恒成立， 所以， 故实数m的取值范围是． 【点睛】由于全称命题强调的是命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的，故解答本题时可将问题转化为恒成立问题来求解，然后根据三角函数的知识求出最值即可． 【经典例题九 判断特称(存在性)命题的真假】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）下列命题中真命题的个数是（    ） ①，； ②存在四边形不是菱形； ③存在一对整数，，使得． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据特称命题判断各个小题的真假即可判断. 【详解】因为，且，所以①是真命题； 四边形可以为梯形，所以②是真命题； 取时，，所以③是真命题． 故真命题的个数是3个． 故选：D. 【例2】（24-25高一·全国·课后作业）判断下列命题的真假： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题. 【详解】（1）由于，都有，因而有．因此命题“”是真命题． （2）由于，而且当时，不成立．因此命题“”是假命题． （3）由于，而且当时，有．因此命题“”是真命题． （4）由于使成立的数只有和，而它们都不是有理数，因而没有任何一个有理数的平方能等于3． 因此命题“”是假命题． 1．（2024高三·全国·专题练习）以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．每一个锐角三角形的内角都是锐角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使＞2 【答案】B 【分析】对四个选项逐一进行分析即可得到结论 【详解】对于，锐角三角形中的内角都是锐角，故为假命题 对于，至少有一个实数，使，是特称命题，并且满足题意，故为真命题 对于，，显然两个无理数的和必是无理数不正确，是假命题 对于，为特称命题，存在一个负数，使，显然不正确，为假命题 综上所述，故选 【点睛】本题主要考查了特称命题的真假判断，命题的真假的判断与应用，熟练掌握定义是解题的关键，属于基础题． 2．（多选题）（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）下列命题中，真命题的是（    ） A． B．平行四边形的对角线互相平分 C．对任意的，都有 D．菱形的两条对角线相等 【答案】AB 【分析】对A，求出判别式判断；对B，由平行四边形的性质判断；对C，将配方可判断；对D，根据菱形的性质可判断. 【详解】对于A，方程的判别式，故A正确； 对于B，由平行四边形的性质可得对角线互相平分，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，菱形的对角线不一定相等，故D错误. 故选：AB. 3．（22-23高一上·陕西榆林·阶段练习）下列存在量词命题是真命题的是 ．（填序号） ①有些不相似的三角形面积相等； ②存在一实数，使； ③存在实数a，使函数的值随x的增大而增大； ④有一个实数的倒数是它本身． 【答案】①③④ 【分析】①面积相等三角形不一定相似，①对，②利用判别式可知命题错误，③a为斜率大于0即可， ④都可以. 【详解】三角形面积相等，只需满足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①对； ＋x0＋1对应的判别式为，则＋x0＋1>0恒成立，②错； 要使函数y＝ax＋b为增函数，即可，③对； 设实数为，则，④对. 故答案为：①③④ 4．（23-24高一·全国·课前预习）判断下列命题的真假． （1）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （2）任何实数都有算术平方根； （3）每个平面四边形的内角和都是360°； （4）至少有一个整数N，使得N2＋N为奇数． 【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题. 【分析】（1）利用平行线的判定定理可证为假命题；（2）举出负数的例子否定；（3）根据平面四边形内角和定理判定为真；（4）利用奇偶分析可证此命题为假. 【详解】解：（1）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线，故该命题为假命题． （2）当a＜0时，实数a不存在算术平方根，故该命题为假命题． （3）任意平面四边形的内角和都是360°，是真命题． （4）因为N2＋N＝N(N＋1)，当N为奇数时，N＋1为偶数；当N为偶数时，N＋1为奇数，故N(N＋1)一定是偶数，所以不存在一个整数N，使得N2＋N为奇数．故该命题为假命题． 【经典例题十 根据特称(存在性)命题的真假求参数】 【例1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，则，然后求解即可. 【详解】因为命题是假命题，所以其否定“，”为真命题， 即在上恒成立，令，则， ，因为，所以令，得 ，令，得 ，所以在单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 故选：A 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知命题，命题，.若命题和命题至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】通过均为真命题，求得的取值范围，再取补集即可. 【详解】若命题为真命题， 则，∴. 若命题，为真命题，则，∴. ∴均为真命题时，满足，即， 其补集为， ∴命题和命题至多有一个为真命题，实数a的取值范围为． 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，得出“”是真命题，对分类讨论，即可求解. 【详解】由题意得，命题的否定：. ∵命题是假命题， ∴命题的否定是真命题. 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，的范围是. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一上·广东江门·期中）若命题“，”是假命题，则的值可能为（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】BC 【分析】由题设，使得为真命题，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求参数范围，注意讨论的情况. 【详解】因为命题“，”是假命题， 所以，使得为真命题， 当时，，当时，恒成立，符合题意， 当时，不恒成立，不符合题意， 当即时，有，解得， 综上，实数的取值范围是，结合选项知的值可能为1,3. 故选：BC 3．（24-25高一上·河南·期末）若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据原命题的否定是真命题，令，由求解参数范围即可. 【详解】由题意知，原命题的否定“，”是真命题， 令， 所以， 解得，即m的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东聊城·阶段练习）（1）若命题“，”为假命题，求实数a的最小值. （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）根据全称量词命题和存在量词命题的真假求解即可； （2）根据一元二次方程的根的分布及充要条件的定义证明即可. 【详解】（1）“，”为假命题， “，”为真命题， 则对恒成立， 即， 故实数的最小值为2. （2）先证明充分性： 若，设方程的两个实根为，， 则，所以 ，方程有两个不等实根， 而，，所以两根同号， 故方程有两个同号且不相等的实根； 再证明必要性： 若方程有两个不相等的实根， 则，解得①； 又方程有两个同号的实根， 由韦达定理得两根之积必为正数，即， ② 由①②得的取值范围是. 方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 【经典例题十一 全称命题的否定及其真假判断】 【例1】（2025·河北保定·一模）已知命题，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“全称量词命题的否定为存在量词命题”，得到. 【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以为“”. 故选：A. 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）在本节,我们介绍了命题的否定的概念,知道一个命题的否定仍是一个命题,它和原先的命题只能一真一假,不能同真或同假.在数学中,有很多“若p,则q”形式的命题,有的是真命题,有的是假命题,例如: ①若,则;(假命题) ②若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线相等.(真命题) 这里,命题①②都是省略了量词的全称量词命题. (1)有人认为,①的否定是“若,则”,②的否定是“若四边形为等腰梯形,则这个四边形的对角线不相等”.你认为对吗?如果不对,请你正确地写出命题①②的否定. (2)请你列举几个“若p,则q”形式的省略了量词的全称量词命题,分别写出它们的否定,并判断真假. 【答案】(1)不对,见解析(2)见解析 【解析】(1)因为省略了量词的全称量词命题,故补全全称量词再判定即可. (2)根据初中小学学过的数与形的知识点举例即可. 【详解】解: (1)不对.①的否定:存在;②的否定:存在一个四边形为等腰梯形,它的对角线不相等. (2)命题1:矩形的对角线相等,是真命题;它的否定是:存在一个矩形,它的对角线不相等,是假命题. 命题2:实数的平方是正数,是假命题;它的否定:存在一个实数,它的平方不是正数,是真命题. 【点睛】本题主要考查了“若p,则q”形式的全称量词命题及其否定的辨析,属于基础题型. 1．（24-25高一上·北京丰台·期中）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据含有一个量词的否定得到答案即可. 【详解】根据含有一个量词的否定， 命题“，”的否定是“，”， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一上·云南·期末）下列各结论正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．命题“，”的否定是“，” D．对恒成立 【答案】ACD 【分析】对于A,根据不等式的性质，可直接判断；对于B，，验证即可；对于C，根据全称量词命题的否定是特称量词命题，即可判断；对于D，作差比较大小即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，取，则， 即充分性不成立，故B错误； 对于C，命题“，”的否定是 “，”，故C正确； 对于D，因为，故D正确， 故选:ACD． 3．（23-24高一上·北京·期中）命题“”的否定是 . 【答案】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题解答． 【详解】由题意命题“”为全称命题，则它的否定为： 故答案为 【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，属于基础题． 4．（23-24高二下·西藏林芝·阶段练习）写出下列命题的否定,并判断其真假. 三角形的内角和等于; (2)美国总统奥巴马是年度诺贝尔和平奖获得者 (3)所有的空间四边形的对角线所在的两条直线都是异面直线. 【答案】（1）假；（2）假；（3）假 【分析】（1），（3）利用特称命题与全称命题的否定关系写出结果，然后判断真假即可，（2）直接将结论进行否定判断真假即可. 【详解】（1）：存在一个三角形，它的内角和不等于（假） （2）：美国总统奥巴马不是年度诺贝尔和平奖获得者．（假） （3）：某些空间四边形的对角线所在的两条直线不是异面直线（假） 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，命题的真假的判断与应用，是基础题． 【经典例题十二 特称命题的否定及其真假判断】 【例1】（24-25高一下·四川泸州·期末）命题：“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据存在量词命题的否定可直接写出答案. 【详解】依据题意，先改变量词，然后否定结论， 可得命题，的否定是： ，. 故选：B 【例2】（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）求解下列两问题. （1）设函数，的值域，函数(其中)的定义域，若是的必要不充分条件，则求实数的取值范围； （2）若命题“，”的否定是真命题，则求整数的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）首先求出命题和对应的集合，然后再由集合的关系得出关于的不等关系，从而可得结论． （2）写出命题的否定，由二次不等式恒成立可得的范围． 【详解】时，，命题对应集合是， 由解得，即命题对应集合是， ∵是的必要不充分条件，∴，解得，时，，不合题意，又，∴． （2）命题“，”的否定是“”，它是真命题， 则，解得， 所以整数m可以为-1,0,1,2. 【点睛】结论点睛：本题考查由必要不充分条件求参数范围，考查命题的否定与真假，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 1．（23-24高一上·广东深圳·期中）命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为（    ） A．存在一个锐角三角形，它的三个内角不相等 B．锐角三角形的三个内角都相等 C．锐角三角形的三个内角都不相等 D．锐角三角形的三个内角不都相等 【答案】D 【分析】根据含有量词的否定即可得出结论. 【详解】命题“存在一个锐角三角形，它的三个内角相等”的否定为“锐角三角形的三个内角不都相等”． 故选：D 2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知命题, ，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，命题，，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可 【详解】, 命题，是一个特称命题，其否定是一个全称命题， 所以命题，的否定为，故选C． 【点睛】本题考查特称命题的否定，解题的关键是熟练掌握特称命题的否定的书写规则，依据规律得到答案，要注意理解含有量词的命题的书写规则，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，属于基础题. 3．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）命题：“，”的否定是 ． 【答案】，或 【分析】由全称命题的否定为，否定原结论，即可写出命题的否定. 【详解】由特称命题的否定：命题的否定为“，或”. 故答案为：，或 4．（2024高二·全国·课后作业）写出下列命题的否定，并判断命题的真假： (1)； (2) 【答案】(1)，假命题； (2)，假命题 【分析】(1)根据全称命题的否定是特称命题改写并判断即可； (2)根据特称命题的否定是全称命题改写并判断即可； 【详解】（1）解： 因为， 所以为假命题. （2）解：， 因为当时，， 所以为假命题. 【经典例题十三 含有一个量词的命题的否定的应用】 【例1】（23-24高一上·云南红河·阶段练习）命题“，使”的否定是（    ） A．，使 B．不存在，使 C．，使 D．，使 【答案】D 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·单元测试）给出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:不论m取何实数,关于x的方程x2+mx-1=0都有实根; (2)q:∃x∈{三角形},x是等边三角形. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【详解】分析：⑴写出命题的否定形式，即可判断命题的真假 ⑵直接利用命题的否定写出结果即可 详解：（1）p:∃m∈R,方程x2+mx-1=0无实根.(假命题) （2）q:∀x∈{三角形},x不是等边三角形.(假命题) 点睛：本题是一道关于命题的否定以及真假命题判断的题目，关键是掌握命题的否定的含义，属于基础题． 1．（23-24高二下·吉林长春·期末）已知四个命题： ①如果向量与共线，则或； ②是的充分不必要条件； ③命题：，的否定是：，； ④“指数函数是增函数，而是指数函数，所以是增函数”此三段论大前提错误，但推理形式是正确的. 以上命题正确的个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由向量共线定理可判断①；由充分必要条件的定义可判断②；由特称命题的否定为全称命题，可判断③；由指数函数的单调性可判断④． 【详解】①，如果向量与共线，可得xy，不一定或，故①错误； ②，|x|≤3⇔﹣3≤x≤3，x≤3不能推得|x|≤3，但|x|≤3能推得x≤3， x≤3是|x|≤3的必要不充分条件，故②错误； ③，命题p：∃x0∈（0，2），的否定 是￢p：∀x∈（0，2），x2﹣2x﹣3≥0，故③错误； ④，“指数函数y＝ax是增函数，而是指数函数，所以是增函数” 由于a＞1时，y＝ax为增函数，0＜a＜1时，y＝ax为减函数，此三段论大前提错误，但推理形式是正确的，故④正确．其中正确个数为1． 故选B． 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是向量共线定理和充分必要条件的判断、命题的否定和三段论，考查推理能力，属于基础题． 2．（23-24高一上·广东肇庆·阶段练习）命题“对于任意，都有”的否定命题是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．对于任意，不都有 D．对于任意，都没有 【答案】B 【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解. 【详解】解：因为命题“对于任意，都有”是全称量词命题， 所以其否定命题为存在量词命题，即“存在，使”. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）若命题“存在， ”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据命题的否定为真命题，讨论的取值，结合二次不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由题意可知，任意，是真命题， 当时，成立， 当时，，得， 综上可知，的取值范围是. 故答案为： 4．（2025高一上·全国·专题练习）设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解. 【详解】， 若，则，BA， 若，则，BA， 若，则，BA， ∴BA的一个充分不必要条件是. 故选：B 【拓展训练一 充分、必要与充要条件的求参问题】 【例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知或，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令或，，是的充分不必要条件可得真包含于，可求解. 【详解】令或，， 因是的充分不必要条件，可得真包含于， 可得. 故选：D 【例2】（23-24高一·全国·单元测试）设集合，集合，命题，命题. （1）若是的充要条件，求正实数的取值范围 （2）若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围． 【答案】（1）2；（2）． 【分析】（1）由命题是的充要条件，即，结合集合相等，即可求解； （2）由命题是的必要不充分条件，得到集合B是集合A的真子集，根据集合的包含关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意，集合，， （1）因为命题是的充要条件，即，可得解得． （2）因为命题是的必要不充分条件，即是q的必要不充分条件， 可得集合B是集合A的真子集，所以或， 解得，即正实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了利用充分条件、必要条件求解参数问题，其中解答中把充分条件、必要条件转化为集合间的包含关系，列出相应的条件是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力. 1．（22-23高一上·浙江宁波·期末）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先计算函数对称轴，结合函数开口方向分析可得该函数的递增区间，根据充分必要性辨析可得答案. 【详解】对称为轴， 若，又开口向上，在上单调递增， 又，故在上单调递增成立； 若函数在上单调递增， 单调递减，不成立， 则得， 不能推出， 故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（多选题）（24-25高一上·广东江门·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【分析】根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 3．（24-25高一上·上海宝山·期中）一元二次方程有两个异号实根的充要条件是 . 【答案】 【分析】首先写成充要条件，再证明即可. 【详解】是该方程有两个异号实根的充要条件， 证明必要性：由于方程（，，是常数且）有一正实根和一负实根， 设两根为，所以，且，所以. 充分性：由可推出， 从而元二次方程有两个不相等的实数根，设为、， 则，由知：，即两根异号， 所以方程（，，是常数且）有一正一负两实根. 因此是方程有两个异号实根的充要条件. 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要. 请从中选择一个条件补充到下面的横线上.已知集合，，则是______的条件.若存在实数，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【解析】选择①时，可知且；选择②时，可知；由包含关系可分别解得范围；选择③时，需，易知不成立. 【详解】若选择①，即是的充分不必要条件，则且， ，解得：，即实数的取值范围为. 若选择②，即是的必要不充分条件，则. 当时，，解得：； 当时，，解得：，则，解得：， 此时解集为； 综上所述：实数的取值范围是. 若选择③，即是的充要条件，则，不成立， 则不存在实数，使是的充要条件. 【点睛】结论点睛：根据充分条件与必要条件求参数范围，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 【拓展训练二 全称命题与特称命题的求参问题】 【例1】（22-23高一上·辽宁·阶段练习）已知对任意的实数，，代数式恒成立，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把等式右边合并同类项，再根据等式恒成立对照列式即可求解． 【详解】解：， 对任意恒成立， ， 解得：， ∴ ，． 故选：A． 【例2】（24-25高一上·全国·周测）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【详解】（1）， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 1．（22-23高一上·河北唐山·阶段练习）为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全称命题为真命题等价转化为不等式恒成立问题，再利用不等式的性质及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】由为真命题，等价于在上恒成立， 所以，即可. 设，，则 由二次函数的性质知，对称轴为，开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得最小值为，即， 所以的一个充分不必要条件是的真子集，则满足条件. 故选：A. 2．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）在下列命题中，真命题有（    ） A．， B．，是有理数 C．，使 D．， 【答案】ABC 【分析】根据全称命题及特称命题特征分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为，所以方程有解， 即，，所以A是真命题； 对于B，因为有理数的四则运算除数不为结果仍为有理数， 因此一定是有理数，B是真命题； 对于C，时，成立，C是真命题； 对于D，当时，，D是假命题. 故选： 3．（2025高三·全国·专题练习）已知，命题：，；命题：，．若命题是假命题，是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据是真命题、是真命题求出实数的取值范围，再由若命题是假命题、是真命题可得答案. 【详解】若是假命题，则：，是真命题， 则，解得． 若命题：，是真命题， 则，解得，此时是假命题， 若是真命题，可得或， 若命题是假命题，是真命题， 则实数的取值范围为. 故答案为：． 4．（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）已知命题，，命题，． (1)当命题为假命题时，求实数的取值范围； (2)若命题和中有且仅有一个是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意命题的否定为真命题，利用二次型恒成立问题求解即可； （2）由题可得命题为一真一假，利用二次函数的性质确定命题q为真命题，结合（1）列不等式组求解即可. 【详解】（1）命题为假命题，则：，为真命题. 得或； （2）由（1）若命题为假命题，则， 因为二次函数开口朝上，所以命题，为真命题， 又命题和中有且仅有一个是假命题，则命题和一真一假. 所以命题为假命题，则； 综上，. 1．（2025高一·全国·专题练习）已知p是q成立的必要条件，q是r成立的充要条件，r是s成立的充分条件，s不是q成立的充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．p是r成立的充要条件 B．s是r成立的必要不充分条件 C．p是s成立的充分不必要条件 D．q是s成立的必要不充分条件 【答案】B 【分析】根据题给条件得出，据此对各选项进行逐一判断. 【详解】依题意得. 由得，但p不一定能推出r，充分性不一定满足，故A错. 由得，又，所以s是r成立的必要不充分条件，故B对. 由得，又，无法建立p与s的确切关联，即p不一定能推出s，s不一定能推出p，故C错； 因为，所以，又，所以q是s成立的充分不必要条件，故D错. 故选：B. 2．（24-25高一上·福建泉州·阶段练习）甲乙丙丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲乙丙共同写出三个集合：，，然后他们三人各用一句话来正确的描述“”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲，乙，丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件.则“”中的数字可以是（    ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出C是A的真子集，A是B的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数， 故， 因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件， 所以C是A的真子集，A是B的真子集， 故且，解得， 故“”中的数字可以是1或2. 故选：C 3．（22-23高一上·山东滨州·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的既不充分也不必要条件 C．“关于的方程有实根”的充要条件是“ D．若集合，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】A 【分析】根据充要条件、必要条件的定义直接推导可得 【详解】“”不能推出“”，故充分性不成立；“”则一定有“”，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，所以A正确； 正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形， 所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B错误； “关于的方程有实根”的充要条件是“，故C错误； 当集合时，应为充要条件，故D错误. 故选：A. 4．（22-23高一上·辽宁大连·阶段练习）若，是真命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，，则， 因为，则，则，. 故选：C. 5．（2025·四川·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（   ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】D 【分析】需要分别判断命题和命题的真假，再根据命题真假性与它的否定之间的关系，得出和的真假． 【详解】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题； 对于q，，则，故q是假命题，是真命题. 综上，和都是真命题. 故选：D. 6．（多选题）（23-24高一上·江苏南通·期中）已知，条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值可能有（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【解析】首先求出条件p对应的x的取值范围，根据充分必要条件的定义即可求解． 【详解】解：由，得，所以p：，则， 又p是q的充分不必要条件，所以， 故选：ABC． 【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数的范围，一般可根据如下规则得出不等式： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 7．（多选题）（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为1 B．方程无实数根的一个必要条件是 C．方程有两个不等正根的充要条件是 D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是 【答案】BCD 【分析】根据根的判别式、韦达定理及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】对于A：当时，则， 方程无实数根，故A错误； 对于B：若方程无实数根，则，解得， 所以方程无实数根的一个必要条件是，故B正确； 对于C：若方程有两个不等正根，则，解得， 故方程有两个不等正根的充要条件是，故C正确； 对于D：若方程有一个正根和一个负根，则，解得， 所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，故D正确. 故选：BCD 8．（多选题）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可. 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. 9．（多选题）（24-25高一上·新疆喀什·期中）取整函数：不超过x的最大整数，如，，.取整函数在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照"取整函数"进行计费的.以下关于“取整函数”的性质是真命题的有（    ） A．， B．， C．，，，则 D．， 【答案】BCD 【分析】判断特称命题正确，只要举出例子即可，判断全称命题错误，也只要举出例子即可.可以用特殊值法，举例判断. 【详解】对于A，根据新定义“取整函数”的意义知不一定成立，如x取1.5，，，故A错误； 对于B，x取1，，，B正确； 对于C，设，，若，则，因此，故C正确； 对于D，设，当时，，， 所以，当时，，，所以，即D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）对下列命题的否定说法正确的是（    ） A．p：能被2整除的数是偶数；¬p：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；¬p：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；¬p：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∃n∈N，2n≤100；¬p：∀n∈N，2n>100 【答案】ABD 【分析】根据含有一个量词的否定逐选项判断即可. 【详解】根据含有一个量词的否定，可判断ABD正确， 对于C，“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误. 故选：ABD. 11．（2024高一·全国·专题练习）已知非空集合，.若“”是“”的充分而不必要条件，实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用充分不必要条件的定义，分类讨论集合可求实数的取值范围. 【详解】因为“”是“”充分不必要条件，所以是的真子集， 又，， 所以，所以； 当时，是的真子集； 当时，也满足是的真子集， 综上所述：. 故答案为： 12．（24-25高一上·云南昭通·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由必要不充分条件得确定两集合关系，再列出不等关系，从而可求解． 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13．（23-24高一上·安徽合肥·期中）下列命题中，真命题的编号是 . ①，； ②，x为方程的根； ③，； ④，，使． 【答案】①④ 【分析】逐项判断命题真假即可. 【详解】①正确：恒成立； ②错误：由，解得； ③错误：； ④正确：满足题意. 故答案为：①④. 14．（2022高一·上海·专题练习）已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ． 【答案】 【分析】写出命题p的否定，随后可求出a的范围． 【详解】命题p：存在实数x使得，为假命题， 所以，它的否定：对任意实数x，，为真命题， 所以对任意实数x都成立，即 所以实数a的范围是. 故答案为： 15．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题与命题的否定的真假关系求解. 【详解】命题的否定命题为：， 因为命题是假命题，所以为真命题， 所以，解得， 故答案为： 16．（23-24高二下·贵州毕节·期末）将全体自然数填入如下表所示的3行无穷列的表格中，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 第一行 … 第二行 … 第三行 … 对于正整数，，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”. （Ⅰ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅱ）试判断数对是否是的“友好数对”，并说明理由； （Ⅲ）若，请选择一个数，使得数对是的“友好数对”，写出相应的表格填法；并归纳给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件（结论不要求证明）. 【答案】（Ⅰ）数对是的“友好数对”；（Ⅱ） 数对不是的“友好数对”；（Ⅲ） ；. 【分析】（Ⅰ）由整除的知识易证数对是的 “友好数对”； （Ⅱ）通过举例可证明数对不是的“友好数对”； （Ⅲ）由（Ⅰ）中的结论可猜测时，数对是“友好数对”，此时当证明时，存在满足题意的表格填法即可.；由（Ⅰ）与（Ⅱ）中的结论可推测时，数对是的“友好数对”. 【详解】（Ⅰ）对于数对， 将表中第一行填入能被整除的自然数， 第二行填入被整除余的自然数， 第三行填入被整除余的自然数， 对于任意，，，必分别在表格的不同行， 故数对是的“友好数对”. （Ⅱ）对于数对， 假设数对是的“友好数对”， 令，则，， 此时互不同行， 令，则，， 此时互不同行， 因为与互不同行，则必与或同行， 令，则，， 此时互不同行， 令，则，， 此时互不同行， 即不与、同行，故假设不成立， 则数对不是的“友好数对”. （Ⅲ）存在满足题意的， 令，则，， 此时将数表中的第一行填入被整除余的数， 第二行依次填入被整除余的数， 第三行依次填入被整除余的数， 在此表中，差为或的两个数不可能在同一行， 此时对于任意， 在以及除以的余数中， 较大数与任意较小数之差必为或， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则以及比不同行， 故满足题意， 此时表格的填法如下： 第一行                          … 第二行                          … 第三行                          … 由上可知使得数对是的“友好数对”的一个充分条件为， 当时，， 在该条件下，数表的填法为： 第一行填入被整除余的数， 第二行依次填入被整除余的数， 第三行依次填入被整除余的数， 在此表中，差为或的两个数不可能在同一行， 此时对于任意， 在以及除以的余数中， 较大数与任意较小数之差必为或， 若按表中方法填入式， 任意两数均不可能在同一行， 则以及比不同行， 故满足题意， 则“”为使得数对是的“友好数对”的一个充分条件. 【点睛】本题主要考查集合的运算和充分条件与必要条件，考查了考生的分析能力，属于难题. 17．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知命题“存在”，命题“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题“曲线表示双曲线” （1）若是真命题，求的取值范围. （2）若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1）或；（2）或 【详解】试题分析：（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围 试题解析：（1）若为真： ，解得或 若为真：则 ，解得或 若“且”是真命题，则 ，解得或 （2）若为真，则，即 由是的必要不充分条件，则可得或 即或 解得或 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 18．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． 19．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知，非空集合 (1)证明：的充要条件是； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即，得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围是. 【详解】（1）充分性：若，则； 当时，可得 若，可得或； 当时，；即可得 所以可得集合中至少含有两个元素，可知， 当时，可得；此时当时，即可得； 此时，满足；综上可知充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 即可得， 即，可得，所以必要性成立； 综上可得，的充要条件是； （2）若时，满足； 由（1）中的结论可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令 ①当时，即时，，符合题意； ②当时，即时，此时，但且，不合题意； ③当时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意；综合①②③可得符合题意； 综上可知，满足题意的的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题在求解参数的取值范围时，要结合（1）的结论将代入计算，并根据将集合转化成集合的子集，再对参数进行分类讨论后再利用判别式进行讨论计算可得结果. 20．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中，新定义1个性质G：若对任意的，必有，则称集合A具有性质G．由A中元素可构成两个点集P和Q：，，其中P中有m个元素，Q中有n个元素． (1)已知集合与集合和集合，判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由； (2)集合A具有性质G，若，求：集合Q最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是的什么条件（写出结论即可）． 【答案】(1)答案见解析 (2)4950 (3)充分不必要条件 【分析】（1）根据定义做出判断，直接写出集合，. （2）利用定义，探讨出与的关系式，代入求值. （3）利用充分条件、必要条件的定义，结合集合与集合个数的大小关系，推理得证. 【详解】（1）由于，不符合定义故不具有性质； 集合具有性质，对应集合，； 集合不是整数集，所以不具有性质. （2）由题意可知集合A的元素构成有序数对，共有个， 因为，所以 又因为时，，所以时，， 所以集合的元素个数不超过个， 取，则中元素的个数为4950个， 故中元素的个数最多4950. （3）充分不必要条件，理由如下： 当集合具有性质时， ①对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素， 可见的元素个数不多于的元素个数，即， ②对于，根据定义可知：， 又因为集合具有性质，则， 如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立， 于是，中至少有一个不成立， 故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即， 由①②可知. 若，则， ， 满足，而集合不具有性质. 所以集合具有性质是的充分不必要条件. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 学科网（北京）股份有限公司 $$