5.2.1 三角函数的概念讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦三角函数的概念核心知识点，系统梳理正弦、余弦、正切函数的定义及符号，明确定义域、各象限符号规律与诱导公式一，通过基础巩固的概念辨析、回归教材的知识熟用、提升训练的习题突破，构建递进式学习支架。 该资料以梯度分层设计为特色，基础巩固夯实概念（如定义填空），回归教材强化应用（如定义法求特殊角函数值），提升训练深化能力（如终边在直线上的三角函数问题）。通过概念抽象培养数学眼光，符号规律推理发展数学思维，实际问题解决强化数学语言应用，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

5.2.1 三角函数的概念 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，方法沉淀 基础巩固 1 1.三角函数的定义：设是一个任意角，，它的终边OP与单位圆交于点. （1）把点P的纵坐标y叫做的 ，记作，即 ； （2）把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作 ，即 ； （3）把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的 ，记作，即.也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 . 2.三角函数：将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常记为：正弦函数，；余弦函数， ；正切函数， . 3.各个象限角的三角函数值符号：符号规律可简记为：一全正，二 ，三 ，四余弦. 4.诱导公式一： ，， ，其中，即终边相同的角的同一三角函数值 . 回归教材 2 ①练习 1.利用三角函数定义，求0，，，的三个三角函数值. 2.利用三角函数定义，求的三个三角函数值. 3.已知角的终边过点，求角的三角函数值. 4.已知点P在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为.求时点P所在的位置. 5.填表： 6.设是三角形的一个内角，在，，，中，哪些有可能取负值？ 7.确定下列三角函数值的符号： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 8.对于①，②，③，④，⑤与⑥，选择恰当的关系式序号填空： （1）角为第一象限角的充要条件是___________； （2）角为第二象限角的充要条件是___________； （3）角为第三象限角的充要条件是___________； （4）角为第四象限角的充要条件是___________； 9.求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）题精确到0.0001）： （1）； （2）； （3）； （4）. ②习题 1.用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）： （1）； （2）； （3）； （4）. 2.已知角的终边上有一点的坐标是，其中，求. 3.计算： （1）； （2）； （3）； （4） 4.化简： （1）； （2）； （3）. （4）. 5.确定下列三角函数值的符号： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 6.分别根据下列条件求函数的值： （1）； （2）. 7.确定下列式子的符号 （1）； （2）； （3）； （4）. 8.求下列三角函数值（可用计算工具，第（1）（3）（4）题精确到0.0001）； （1）； （2）； （3）； （4）. 9.求证： （1）角为第二或第三象限角的充要条件是； （2）角为第三或第四象限角的充要条件是； （3）角为第一或第四象限角的充要条件是； （4）角为第一或第三象限角的充要条件是. 提升训练 3 1.已知角的终边经过点，则( ) A. B. C. D. 2.( ) A. B. C. D. 3.已知角的终边经过点，且，则x的值是( ) A. B. C. D. 4.已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若点在第四象限，则角的终边在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.的值是( ) A.正数 B.负数 C.0 D.不存在 6.若角的终边在直线上，则等于( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列各式中符号为负的有( ) A. B. C. D. 8.已知角的终边经过点，且，，则实数a的取值范围是___________. 9.在中，若，则是__________三角形. 10.已知，则角的终边位于第__________象限. 答案及解析 一、基础巩固 1.正弦函数 正切 正切函数 2. 3.正弦 正切 4. 相等 二、回归教材 ①练习 1.答案：，，；，，不存在；，，；，，不存在 解析：因为0的终边与单位圆的交点是， 所以，，； 因为的终边与单位圆的交点是， 所以，，不存在； 因为的终边与单位圆的交点是， 所以，，. 因为的终边与单位圆的交点是， 所以，，不存在. 2.答案：，， 解析：在角的终边上任意取一点，则，，， ，，. 3.答案：；； 解析：， 所以，，. 4.答案： 解析：设P点坐标为，. ，， ，， 点P的坐标为. 5.答案：见解析 解析： 0 0 1 0 0 6.答案：和有可能取负值 解析：当是钝角时，和取负值， 当时，，此时和均为正值. 即是三角形的一个内角时，和有可能取负值. 7.解析：（1）角的终边在第二象限，； （2）； （3）； （4）； （5）角的终边在第二象限，； （6）. 8.解析：角为第一象限角的充要条件是①③或①⑤或③⑤或①③⑤； 角为第二象限角的充要条件是①④或①⑥或④⑥或①④⑥； 角为第三象限角的充要条件是②④或②⑤或④⑤或②④⑤； 角为第四象限角的充要条件是②③或②⑥或③⑥或②③⑥. 9.解析：（1）； （2）； （3）； （4）. ②习题 1.解析：（1）； ； . （2）； ； ； （3） ； ； . （4）； ； . 2.解析：，. ，，. 当，即为第一象限角时，，，； 当，即为第三象限角时，，，. 3.解析：（1） . （2） . （3） . （4）. 4.解析：（1）根据三角函数定义可得 . （2）根据三角函数定义可得 . （3）根据三角函数定义可得 . （4）根据三角函数定义可得 . 5.解析：（1）因为为第三象限角，所以为负； （2）因为为第二象限角，所以为负； （3）因为为第四象限角，所以为负； （4）因为为第一象限角，所以为正； （5）因为为第三象限角，所以为负； （6）因为为第二象限角，所以为负. 6.解析：（1）当时， . （2）当时， 7.解析：（1），，∴原式为正； （2），，∴原式为负； （3）， ∴原式为负； （4），∴原式为正. 8.解析：（1）， 由计算器可得. （2）. （3）， 由计算器可得. （4）. 由计算器可得. 9.证明：（1）当角为第二象限角时，，所以； 当角为第三象限角时，，所以. 所以当角为第二或第三象限角时，. 因为，所以；或. 当时，角为第二象限角 当时，角为第三象限角 所以当时，角为第二或第三象限角. 综上所述，原命题成立 （2）当角为第三象限角时，，所以； 当角为第四象限角时，，所以. 所以当角为第三或第四象限角时，. 因为，所以；或. 当时，为第三象限角； 当时，为第四象限角， 所以当时，角为第三或第四象限角. 综上所述，原命题成立. （3）当角为第一或第四象限角时，与同号，所以 当时，与同号， 所以角为第一或第四象限角.综上所述，原命题成立. （4）当角为第一或第三象限角时，与同号，所以； 当时，与同号， 所以角为第一或第三象限角，综上所述，原命题成立. 三、提升训练 1.答案：D 解析：由三角函数的定义知.故选D. 2.答案：C 解析：.故选C. 3.答案：B 解析：由三角函数定义可得，即，且，解得.故选B. 4.答案：B 解析：由点在第四象限，可知，，则角的终边在第二象限. 5.答案：A 解析：因为，，， 所以，，，所以. 6.答案：B 解析：在角的终边上取一点，则，，所以. 或取一点，则，，所以.故选B. 7.答案：ACD 解析：A中，的终边在第三象限，故； B中，的终边在第一象限，故； C中，，其终边在第二象限，故； D中，.故选ACD. 8.答案： 解析：因为点在角的终边上，，，所以解得. 9.答案：钝角 解析：因为C是的一个内角，所以.又，所以，所以A，B中有一个角为钝角，故为钝角三角形. 10.答案：二或三 解析：当为第一象限角时，，，； 当为第二象限角时，，，； 当为第三象限角时，，，； 当为第四象限角时，，，. 综上，角的终边位于第二或第三象限. 学科网（北京）股份有限公司 $$