5.1.2 弧度制讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学“弧度制”核心知识点，系统梳理弧度制概念、角度与弧度换算及扇形弧长面积公式。通过基础巩固（概念辨析、公式记忆）、回归教材（教材练习、知识熟用）、提升训练（习题突破、方法沉淀）的递进设计，构建完整学习支架。 资料以梯度分层为特色，基础巩固助学生抽象弧度概念培养数学眼光，回归教材结合扇子、齿轮等实例体现数学与现实联系发展应用意识，提升训练通过最值问题锻炼逻辑推理能力。课中辅助教师高效授课，课后便于学生练习查漏补缺。

5.1.2 弧度制 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，方法沉淀 基础巩固 1 1.角度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 . 2.弧度制：长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做 的角，弧度单位用符号rad表示，读作 . 以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.弧度数：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是个负数，零角的弧度数是 . 4.角度与弧度的换算：； ； . 5.扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，为圆心角，则扇形的弧长公式为 ，；扇形的面积公式为 ， . 回归教材 2 ①练习 1.把下列角度化成弧度： （1）； （2）； （3）. 2.把下列弧度化成角度： （1）； （2）； （3）. 3.用弧度表示： （1）终边在x轴上的角的集合； （2）终边在y轴上的角的集合. 4.利用计算工具比较下列各对值的大小： （1）和； （2）和. 5.分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为的圆中，的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）. 6.已知半径为的圆上，有一条弧的长是，求该弧所对的圆心角（正角）的弧度数. ②习题 1.分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合. 2.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？ 3.把下列角度化成弧度： （1）； （2）； （3）； （4）. 4.把下列弧度化成角度（第（3）（4）题精确到）： （1）； （2）； （3）1.4； （4）. 5.要在半径的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB的长为，那么圆心角是多少度（可用计算工具，精确到1°）？ 6.已知弧长50 cm的弧所对圆心角为，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到1cm）. 7.每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积. （1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为，求与的比值； （2）要使与的比值为，则扇子的圆心角应为几度（精确到）？ 8.（1）时间经过4h（时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？ （2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次.你认为这种说法是否正确？请说明理由. （提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min会与时针重合，一天内分针和时针会重合n次，建立t关于n的函数解析式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间） 9.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿. （1）当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； （2）如果大轮的转速为180r/min（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是多少？ 提升训练 3 1.把化为弧度是( ) A. B. C. D. 2.将弧度化成角度为( ) A. B. C. D. 3.已知某扇形的面积为，若该扇形的半径r，弧长l满足，则该扇形圆心角的弧度数是( ) A. B.5 C. D.或5 4.与角终边相同的角的集合是( ) A. B. C. D. 5.南北朝乐府诗集《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖拂华妆，窈窕登高台.”中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形环（扇形环是一个圆环被扇形截得的一部分）制作而成.若一把折扇完全打开时，其扇形环扇面尺寸（单位：cm）如图所示，则该扇面的面积为( ) A. B. C. D. 6.（多选）下列转化结果正确的有( ) A.化成弧度是 B.化成角度是 C.化成弧度是 D.化成角度是 7.已知某个扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的半径为________. 8.若扇形圆心角为，弧长为，则扇形半径为__________. 9.已知，，，，，则，，，，，的大小关系为___________. 10.已知扇形的圆心角是，半径是r，弧长为l. （1）若，，求扇形的面积； （2）若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数. 答案及解析 一、基础巩固 1.度 2.半径长 1弧度 弧度 3.0 4. 5. 二、回归教材 ①练习 1.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）由题意得，. （2）由题意得，. （3）由题意得，. 2.答案：（1） （2） （3） 解析：（1）. （2）. （3）. 3.答案：（1） （2） 解析：（1）； （2）. 4.答案：（1） （2） 解析：（1）由计算器可算出，， 所以； （2）由计算器可算出，， 所以. 5.答案： 解析：角度制下：，，弧长. 弧度制下：，，弧长. 6.答案：1.2 解析：，即该弧所对的圆心角的弧度数为1.2. ②习题 1.解析：用角度制写出象限角的集合是： 第一象限角：； 第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：. 用弧度制写出象限角的集合是： 第一象限角：； 第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：. 2.解析：不等于1弧度，这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度的角，而等于半径长的弦所对的弧比半径长. 3.解析：（1）； （2）； （3）； （4）. 4.解析：（1）由题意得，. （2）由题意得，. （3）由题意得，. （4）由题意得，. 5.解析：设. 方法1：由，得，解得， 方法2：由，得，解得. 6.解析：方法一：， 由得，. 方法二：由得，解得. 7.解析：（1）设半径为所对圆心角分别为，且，，. （2）设扇子的圆心角为.由，得，则. 8.解析：（1）因为时针按照顺时针方向旋转，故形成的角为负角， 经过4小时，时针转了，分针转了，分别等于弧度和弧度； （2）分针每比时针多走一圈便会重合一次，设分针走了会和时针重合，并且是第次重合，则：；，； 最后一次相遇经过了；此时，即时针和分针相遇22次；重合24次的说法不正确. 9.解析：（1）相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿， 当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿， 小轮转动周，即，. （2）当大轮的转速为时，.小轮转速为， 小轮周上一点每转过的弧度数为：. 小轮的半径为， 小轮周上一点每转过的弧长为：. 三、提升训练 1.答案：D 解析：. 2.答案：C 解析：，故选C. 3.答案：D 解析：根据题意，得解得或所以或5.故选D. 4.答案：D 解析：与角终边相同的角，，化为弧度制是，. 5.答案：A 解析：如图，延长AD与BC交于圆心O，设圆心角，圆的半径， 由弧长公式得解得，则该扇面的面积为.故选A. 6.答案：ABD 解析：，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 7.答案：2 解析：，故. 8.答案：25 解析：设扇形的半径为r.扇形圆心角，弧长，. 9.答案： 解析：，. 显然，故. 10.答案：（1） （2）扇形的面积最大值为25， 解析：（1）因为， 所以扇形的面积. （2）由题意可知，即， 所以扇形的面积， 易知当时，扇形的面积最大，最大值为25， 此时，. 学科网（北京）股份有限公司 $$