5.1.1 任意角讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.1.1 任意角 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，方法沉淀 基础巩固 1 1.角的分类：一条射线绕其端点按 方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做 ；如果一条射线没有做任何旋转，形成的角叫 ，零角的始边和终边 . 2.任意角：包括 、负角和零角. 3.相等角、角的加减： （1）如果角和角的旋转方向相同且 相等，那么就称 . （2）设，是任意两个角，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是 . （3）把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做 .角的相反角记为 .于是有 . 4.象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的 与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是 .如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角 任何一个象限. 5.终边相同的角：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个 的和. 回归教材 2 ①练习 1.锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题. 2.今天是星期三，那么天后的那一天是星期几？天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？ 3.已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角： （1）； （2）； （3）； （4）. 4.在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： （1）； （2）； （3）. 5.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素； （1）； （2）. ②习题 1.在0°~360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）； （2）； （3）； （4）. 2.写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式的元素： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）. 3.已知是锐角，那么是（    ） A.小于180°的正角 B.第一象限角 C.第二象限角 D.第一或二象限角 4.若为第一象限角，则是（    ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 提升训练 3 1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是( ) A. B. C. D. 2.角是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.某次数学考试从上午8时30分开始，考了2小时.从考试开始到考试结束分针转过了( ) A. B. C. D. 4.与角终边相同的角的集合是( ) A. B. C. D. 5.终边在直线上的角的集合是( ) A. B. C. D. 6.下列说法中正确的个数是( ) ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角. A.1 B.2 C.3 D.4 7.（多选）已知集合第一象限角}，锐角}，小于的角}，那么A，B，C的关系是( ) A. B. C. D. 8.已知角，则角的终边落在第________象限. 9.12点过小时的时候，时钟分针与时针的夹角是________. 10.在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角. （1）最大的负角为__________； （2）最小的正角为__________； （3）在范围内的角为__________. 答案及解析 一、基础巩固 1.逆时针 负角 零角 重合 2.正角 3.旋转量 互为相反角 4.始边 第几象限角 不属于 5. 周角 二、回归教材 ①练习 1.答案：锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角 解析：锐角，是第一象限角，是第一象限角不是锐角； 直角的终边在坐标轴上（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角，如； 钝角是第二象限角，是第二象限角，但不是钝角，所以锐角是第一象角，第一象限角不一定是锐角；直角为终边在坐标轴上的角（不属于任何象限），但终边在坐标轴上的角不一定为直角；钝角为第二象角，但第二象角不一定为钝角. 2.答案：天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三；100天后的那一天是星期五 解析：每周7天，呈周期性变化，今天是星期三，则天后的那一天是星期三；天前的那一天仍然是星期三； ，所以100天后的那一天是星期五. 3.答案：（1）图见解析，第一象限角 （2）图见解析，第四象限角 （3）图见解析，第二象限角 （4）图见解析，第三象限角 解析：（1）如图①，是第一象限角； （2）如图②，是第四象限角； （3）如图③，是第二象限角； （4）如图④，是第三象限角. 4.答案：（1），是第四象限角 （2），是第一象限角 （3），是第三象限角 解析：（1）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第四象限角. （2）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第一象限角. （3）因为，所以在范围内，与角终边相同的角为，是第三象限角. 5.答案：（1），， （2），， 解析：（1）根据题意可知， 所以与终边相同的角的集合为，， 易知当时，；当时，；当时，； 所以适合不等式的元素有：，，. （2）与终边相同的角的集合为，， 易知当时，；当时，；当时，； 所以适合不等式的元素有：，，. ②习题 1.答案：（1），第二象限角 （2），第一象限角 （3），第三象限角 （4），第四象限角 解析：（1）因为，所以在0°~360°范围内，与终边相同的角为，为第二象限角. （2）因为，所以在0°~360°范围内，与终边相同的角为，为第一象限角. （3）因为，所以在0°~360°范围内，与终边相同的角为，为第三象限角. （4）因为，所以在0°~360°范围内，与终边相同的角为，为第四象限角. 2.解析：（1），其中适合不等式的元素有：. （2），其中适合不等式的元素有：. （3），其中适合不等式的元素有：. （4），其中适合不等式的元素有：. （5），其中适合不等式的元素有：. （6），其中适合不等式的元素有：. （7），其中适合不等式的元素有：. （8），其中适合不等式的元素有：. 3.答案：C 解析：因为，所以.故选C. 4.答案：D 解析：因为为第一象限角，所以，所以，当时，，属于第一象限角，排除B；当时，，属于第三象限角，排除AC；所以是第一或第三象限角，故选D. 三、提升训练 1.答案：D 解析：按顺时针方向旋转形成的角是负角，排除A，C；又由题意知旋转的角度是，排除B.故选D. 2.答案：C 解析：，故角是第三象限角.故选C. 3.答案：D 解析：分针转一圈（即1小时）是，从考试开始到考试结束分针转过了.故选D. 4.答案：C 解析：，所以角与角的终边相同，所以与角终边相同的角可写作.故选C. 5.答案：D 解析：角的集合为，故选D. 6.答案：B 解析：终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错误； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 小于的角可以是锐角，也可以是负角，④错误. 综上，正确的个数是2，故选B. 7.答案：BC 解析：对于A选项，除了锐角，还包括其他角，比如，故A选项错误； 对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确； 对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确； 对于D选项，A，B，C中角的范围不一样，故D选项错误.故选BC. 8.答案：三 解析：由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内. 9.答案：82.5° 解析：时钟上每个大刻度为30°，12点过小时，分针转过-90°，时针转过-7.5°，故时针与分针的夹角为. 10.答案：（1） （2） （3） 解析：与角终边相同的角的集合为. （1）由且，可得，故所求的最大负角为. （2）由且.，可得，故所求的最小正角为. （3）由且，可得，故所求的角为. 学科网（北京）股份有限公司 $$