5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 周期性、奇偶性讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第1课时 周期性、奇偶性 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，方法沉淀 基础巩固 1 1.周期函数：对于函数，如果存在一个 T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的 . 2.最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个 的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 3.正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性： 函数 周期性 最小正周期： 奇偶性 函数 函数 回归教材 2 ①练习 1.等式是否成立？如果这个等式成立，能否说是正弦函数，的一个周期？为什么？ 2.求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验： （1），； （2），； （3），； （4），. 3.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ （1）； （2）； （3）； （4）. 4.设函数是以2为最小正周期的周期函数，且当时，.求，的值. ②习题 1.求下列函数的周期： （1）； （2）. 2.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？ （1）；（2）；（3）. 3.已知函数是定义在R上周期为2的奇函数，若，求的值. 4.已知函数的图象如图所示， （1）求函数的周期； （2）画出函数的图象； （3）写出函数的解析式. 5.容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题. 提升训练 3 1.函数，的值域是( ) A. B. C. D. 2.函数是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 3.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 4.已知定义在R上的奇函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则的值为( ) A. B. C. D. 5.若函数对任意x都有，则( ) A. B. C. D.1 6.下列函数既是奇函数又是偶函数的是( ) A. B. C. D. 7.（多选）下列函数中周期为，且为偶函数的是( ) A. B. C. D. 8.若函数为偶函数，则的一个值是___________. 9.已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________. 10.已知，则的值为___________. 答案及解析 一、基础巩固 1.非零常数 周期 2.最小 3. 奇 偶 二、回归教材 ①练习 1.答案：等式成立，但不能说是正弦函数，的一个周期 解析：等式成立，但不能说是正弦函数，的一个周期. 因为不满足函数周期的定义，即对定义内任意x，不一定等于，如， 所以不是正弦函数，的一个周期. 2.答案：（1）周期为，图见解析 （2）周期为，图见解析 （3）周期为，图见解析 （4）周期为，图见解析 解析：（1）因为， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.函数的图象如图所示： （2）因为， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.函数的图象如图所示： （3）因为， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.函数的图象如图所示： （4）因为， 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为.函数的图象如图所示： 3.答案：（1）（3）（4）是奇函数；（2）是偶函数 解析：（1），函数的定义域为R， ， 所以函数是奇函数； （2），函数的定义域为R， ， 所以函数是偶函数； （3），函数的定义域为R， ， 所以函数是奇函数； （4），函数的定义域为R， ， 所以函数是奇函数. 4.答案：， 解析：由题意可知，； . ②习题 1.解析：（1）由题设知：，故最小正周期为， 即的周期为； （2）由题设知：，故最小正周期为， 即的周期为； 2.解析：（1）定义域为R，且，所以是偶函数； （2）定义域为R，且，所以是偶函数； （3）定义域为R，且，所以是奇函数； 3.答案：0；-1 解析：由题意可得，，， ，. 4.解析：（1）. （2）把向左平移一个单位得的图象，即如图所示 （3） 所以. 5.解析：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为. 能.由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为，对称轴的方程是.正切曲线的对称中心坐标为，正切曲线不是轴对称图形. 三、提升训练 1.答案：B 解析：由，得，所以.故选B. 2.答案：D 解析：由题意，知，即的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 3.答案：B 解析：由题意，得，，则.故选B. 4.答案：C 解析：，故选C. 5.答案：A 解析：由，可得，所以的周期. 又，所以，即.当时，， 所以； 当时，， 所以.综上所述，.故选A. 6.答案：D 解析：对于A，，故是偶函数； 对于B，，故是偶函数； 对于C，由，即，得函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数； 对于D，由得，所以，此时，故既是奇函数又是偶函数. 7.答案：AC 解析： A √ 由的图象知，是周期为的偶函数. B × 函数为奇函数. C √ ，是周期为的偶函数. D × 函数的周期. 8.答案：（答案不唯一） 解析：函数为偶函数，则，，故的一个值可以是. 9.答案： 解析：因为函数的定义域为，所以 即解得. 10.答案：0 解析：，，即是以6为周期的周期函数. ，，，，，，， . 学科网（北京）股份有限公司 $$