第15章 轴对称课件 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第9课时　含30°角的直角三角形 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 随堂测 课堂讲练 返回目录 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴AC＝________AB（或AB＝2________）． AC ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 例1　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°. （1）若BC＝3，则AB的长为________； （2）若AB＝6，则BC的长为________. 思考：若已知AB＝2BC，你能说明∠A＝30°吗？ 6 3 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 含30°角的直角三角形的简单应用 例2　如图，梯子AB与地面BC的夹角∠ABC＝60°，梯子的顶端A靠墙，底端到墙角的距离BC＝2.5 m，则梯子的长度为________m． 5 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 训练　1.在某海防哨所O的正南方向A处有一艘船，船从A处向正东方向航行，当行驶到距离O处100 m的B处时，测得船位于海防哨所的南偏东30°方向，则船移动的距离（即AB的长）为________m． 50 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 含30°角的直角三角形的综合运用 例3　（RJ八上P83 例5改编）如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.求： （1）立柱BC的长； （2）立柱DE的长． ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 解：（1）∵BC⊥AC，∠A＝30°， 答：立柱BC的长为3.7 m. 答：立柱DE的长为1.85 m. ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 训练　2.（RJ八上P86 T12）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D.若AD＝2，求BC的长． 解：∵AD⊥AB，∴∠BAD＝90°. 又∠B＝30°，∴BD＝2AD＝4. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°. ∴∠BAC＝180°－30°×2＝120°. ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝30°. ∴∠DAC＝∠C.∴CD＝AD＝2. ∴BC＝BD＋CD＝6. ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 变式　如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在边BC上，且AC⊥AD.若BC＝9，则AD的长为________． 3 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 课堂检测 返回目录 1．如图，一棵树在一次强台风中于离地面4 m处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，则这棵树在折断前的高度为________m． 12 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AM平分∠BAC，AM＝15，求BC的长．   解：∵∠C＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°－∠C－∠BAC＝30°. ∵AM平分∠BAC， ∴∠B＝∠BAM.∴BM＝AM＝15. ∴BC＝CM＋BM＝7.5＋15＝22.5. ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 3．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB的平分线上一点，NP∥OB，交OA于点N，PM⊥OB，垂足为M.若PM＝2，则PN的长为________．   4 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 4．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝1，则OM的长为________．   5.5 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 5．如图，Rt△ABC的斜边AC∥x轴，点B的坐标是 ，∠A＝30°，则AC＝（　　） A．8 B．6 C．4 D．3 B ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 6．【分类讨论】如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，沿AB，BC方向以1 cm/s的速度移动，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动．设点P的运动时间为t s. （1）当动点P，Q运动2 s时，BP＝________cm，BQ＝________cm； （2）当动点P，Q运动t s时，BP＝________cm，BQ＝________cm；（用含t的式子表示） （3）当t＝________时，△PBQ是直角三角形． 1 2 （3－t） t 1或2 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 7．【方程思想】如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，交AC于点G，EF⊥BC于点F. （1）∠D＝________； （2）若CD＝3AE，CF＝6，求AC的长． 30° ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 解：（2）∵DE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AGE＝∠CGD＝30°. ∵∠D＝30°，∴∠D＝∠CGD.∴CD＝CG. 设AE＝x，则CD＝CG＝3x. 在Rt△AEG中，∠AGE＝30°，∴AG＝2AE＝2x. ∴AC＝AG＋CG＝5x. ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝5x. ∴BE＝AB－AE＝4x，BF＝BC－CF＝5x－6. 在Rt△BEF中，∠BEF＝30°， ∴BE＝2BF，即4x＝2（5x－6）.解得x＝2.∴AC＝5x＝10. ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4，则BC＝__________. 2 ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，BD＝3 cm，则CD的长为(　　) A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm B ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D.若CD＝3，求AD，BC的长． 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴∠BAD＝∠B＝30°. ∵∠C＝90°，∴∠CAB＝90°－∠B＝60°. ∴∠DAC＝∠CAB－∠BAD＝30°. ∴AD＝2CD＝6. ∴BD＝AD＝6.∴BC＝BD＋CD＝6＋3＝9. ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 循环练 4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，AB＝AC，若BC＝6，则△ABC的周长为(　　) A. 12 B．15 C．18 D．14 C ） 第9课时　含30°角的直角三角形 返回目录 ∴BC＝AB＝×7.4＝3.7（m）. （2）∵D是AB的中点，∴AD＝AB＝×7.4＝3.7（m）. ∵DE⊥AC，∠A＝30°，∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）. ∴∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝×60°＝30°. 在Rt△ACM中，∠CAM＝30°，∴CM＝AM＝7.5. $$ 第5课时　画轴对称的图形（2） 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．（核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识） 随堂测 知识导学 返回目录 1．在图中画出下列已知点关于坐标轴的对称点，并将表格填充完整． 已知点 A（3，2） B（2，4） C（－1，3） 关于x轴 的对称点 A1_________ B1_________ C1___________ 关于y轴 的对称点 A2_________ B2_________ C2_________ （3，－2） （2，－4） （－1，－3） （－3，2） （－2，4） （1，3） 答图1 解：如答图1，点A1，A2，B1，B2，C1，C2即为所求． ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 a －b 横坐标 纵坐标 －a b 互为相反数 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 课堂讲练 返回目录 关于坐标轴对称的点的坐标特征 例1　填空： （1）点（5，－3）关于x轴对称的点的坐标为__________； （2）点（－2，1）与点（2，1）关于__________轴对称． （5，3） y ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 训练　1.填空：（1）点（－3，4）关于y轴对称的点的坐标为__________； （2）点（6，7）与点（6，－7）关于__________轴对称； （3）若点A（a，－2）与点B（－5，b）关于y轴对称，则a＝__________，b＝__________. （3，4） x 5 －2 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 画出关于坐标轴对称的图形 例2　如图，已知△ABC. （1）作出与△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′各个顶点的坐标； （2）△A′B′C′与△ABC的对应顶点的坐标有 何关系？ 解：（1）如答图2，△A′B′C′即为所求． A′（3，－4），B′（1，－2），C′（5，－1）. （2）横坐标相同，纵坐标互为相反数． 答图2 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 训练　2.如图，已知△ABC. （1）作出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各个顶点的坐标； （2）求出△A1B1C1的面积． 解：（1）如答图3，△A1B1C1即为所求． A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）. 答图3 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 对于一些规则的几何图形，要作出一个图形关于坐标轴对称的图形，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如三角形的顶点）关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形关于坐标轴对称的图形． ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 课堂检测 返回目录 1．把下列各点关于x轴、y轴对称的点的坐标填入表格．   已知点 （－2，6） （1，－2） （－4，－2） （1，0） 关于x轴 的对称点         关于y轴 的对称点         （－2，－6） （1，2） （－4，2） （1，0） （2，6） （－1，－2） （4，－2） （－1，0） ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 2.点A关于x轴对称的点的坐标为（10，－3），则点A的坐标为（　　） A．（－10，3） B．（10，3） C．（－10，－3） D．（－3，10） B ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 3．已知点P（2a＋b，－3a）与点P′（8，b＋2）. （1）若点P与点P′关于x轴对称，则a＝________，b＝________； （2）若点P与点P′关于y轴对称，则a＝________，b＝________； （3）若点P与点P′关于坐标轴对称，则a＋b＝_________． 2 4 6 －20 6或－14 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 4．如图，在△ABC中，点A，B，C的坐标分别为（－2，2），（－3，－2），（－1，－3）. （1）画出△ABC关于y轴对称的△DEF，点A，B，C的对称点分别是点D，E，F，写出点D，E，F的坐标； （2）求以A，B，E，D为顶点的四边形的面积．   解：（1）如答图4，△DEF即为所求． D（2，2），E（3，－2），F（1，－3）. 答图4 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 5．将点A（a，a＋5）向下平移8个单位长度得到点B，若点A与点B恰好关于x轴对称，则点A的坐标为__________． （－1，4） ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 6．（RJ八上P77 T8改编）如图，已知△PQR. （1）作出△PQR关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称的△P′Q′R′，并写出点P′的坐标为__________． （3，3） 解：如答图5，△P′Q′R′即为所求. 答图5 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 （2）作出△PQR关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为－1）对称的△P′′Q′′R′′，并写出点P′′的坐标为____________． 解：如答图5，△P′′Q′′R′′即为所求. 答图5 （－1，－5） ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 （3）归纳：①点A（a，b）关于直线l1（直线l1上各点的横坐标都为c）的对称点A′的坐标为____________； ②点A（a，b）关于直线l2（直线l2上各点的 纵坐标都为d）的对称点A′′的坐标为__________．   （2c－a，b） （a，2d－b） 答图5 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C的坐标分别为（4，6），（3，1），直线l是第一、三象限的角平分线． （1）画出与△ABC关于直线l对称的△AB′C′，并写出对应点B′，C′的坐标． 答图6 解：如答图6，△AB′C′即为所求． B′（6，4），C′（1，3）. ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 （2）若点P（a，b）是△ABC内任意一点，则点P在△AB′C′内的对应点P′的坐标为__________． （b，a） 答图6 ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．在平面直角坐标系中，点A(2，6)关于x轴对称的点的坐标是(　　) A．(－2，6) B．(－6，2) C．(－2，－6) D．(2，－6) D ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 2．在平面直角坐标系中，点A(－1，4)关于y轴对称的点的坐标是(　　) A．(1，4) B．(1，－4) C．(4，－1) D．(－1，－4) A ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 3．若点A(m，－5)和点B(－2，n)关于x轴对称，则m－n的值为(　　) A．7 B．－7 C．－3 D．2 B ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 4．如图，已知△PQR. (1)请作出与△PQR关于y轴对称的△P1Q1R1； (2)直接写出点P1，Q1，R1的坐标： P1________，Q1________，R1________. 解：(1)如答图1，△P1Q1R1即为所求． 答图1 (4，－1) (1，4) (－1，1) ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 循环练 5．把下列图形补成关于直线l对称的图形． 答图2 解：补全图形如答图2所示． ） 第5课时　画轴对称的图形（2） 返回目录 （2）S△A1B1C1＝3×5－×2×5－×1× 3－×2×3＝. （2）以A，B，E，D为顶点的四边形为梯 形ABED，它的面积为 ×（4＋6）×4＝20. $$ 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．（核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、模型观念） 随堂测 知识导学 返回目录   文字描述 几何语言 图示 概念 经过线段________并且________于这条线段的直线，叫作这条线段的______________ ∵AC＝BC，直线l⊥AB， ∴直线l是线段AB的垂直平分线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离________ ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA＝PB 判定 与线段两个端点距离________的点在这条线段的垂直平分线上 ∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上 1．线段的垂直平分线 中点 垂直 垂直平分线 相等 相等 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 2.互逆命题与互逆定理 （1）两个题设、结论正好相反的命题叫作____________，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的__________； （2）如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作____________，其中一个定理叫作另一个定理的__________． 互逆命题 逆命题 互逆定理 逆定理 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 课堂讲练 返回目录 线段的垂直平分线的性质 例1　如图，在△ABC中，直线AE是BC的垂直平分线，点D在AE上，下列结论：①∠AEC＝90°；②BE＝CE；③AB＝AC；④DB＝DC.其中正确的是____________．（填序号） ①②③④ 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 训练　1.如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若BD＝10，AC＝14，则AD的长为________． 4 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 线段的垂直平分线的判定 例2　（RJ八上P67 T2改编）如图，已知AB＝AC，MB＝MC.求证：直线AM是线段BC的垂直平分线． 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵MB＝MC， ∴点M在线段BC的垂直平分线上． ∴直线AM是线段BC的垂直平分线． 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 训练　2.如图，点O是△ABC外一点，且∠BAO＝∠CAO，∠AOB＝∠AOC.求证：直线AO垂直平分线段BC. ∴△ABO≌△ACO（ASA）. ∴AB＝AC，OB＝OC. ∴点A，O在线段BC的垂直平分线上． ∴直线AO垂直平分线段BC. 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 互逆命题与互逆定理 例3　写出下列命题的逆命题，并判断原命题及逆命题的真假． （1）等边三角形的三条边都相等； （2）如果a＝b，那么|a|＝|b|.       注：原命题为真时，逆命题不一定为真． 解：（1）原命题为真命题；逆命题为三条边都相等的三角形为等边三角形，它是真命题． （2）原命题为真命题；逆命题为如果|a|＝|b|，那么a＝b，它是假命题． 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 例4　下列定理中，不存在逆定理的是（　　） A.三边对应相等的两个三角形全等 B.直角三角形的两个锐角互余 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 D 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 课堂检测 返回目录 1．如图，线段AB的垂直平分线CD与AB相交于点D，已知AC＝3，则BC的长为________． 3 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 2．如图，已知AC垂直平分BD，交BD于点E，下列结论正确的是__________．（填序号） ①△ABE≌△ADE；②AB＝AD；③CA平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD＝∠BCD. ①②③④ 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 3．“如果m，n互为相反数，那么m＋n＝0”的逆命题是____________________________________，为_______（填“真”或“假”）命题. 如果m＋ n＝0，那么m，n互为相反数 真 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 4．（RJ八上P70 T4改编）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，若△ABC的周长为20 cm，△ABD的周长为12 cm，求AE的长． 解：∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，AE＝CE. ∵△ABC的周长为20 cm， ∴AB＋BC＋AC＝20 cm. ∵△ABD的周长为12 cm， ∴AB＋BD＋AD＝AB＋BD＋CD＝AB＋BC＝12 cm. ∴AE的长为4 cm. 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 5．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝22，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为________． 22 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 6．（RJ八上P70 T8改编）如图，AD与BC相交于点O，AB＝CD，∠A＝∠C，BE＝DE.求证：OE垂直平分BD. ∴△AOB≌△COD（AAS）.∴OB＝OD. ∴点O在线段BD的垂直平分线上． ∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上． ∴OE垂直平分BD. 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 7．（RJ八上P71 T13）如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P. （1）求证：PA＝PB＝PC. 证明：∵边AB，BC的垂直平分线交于点P， ∴PA＝PB，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC. 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 解：∵PA＝PC， ∴点P也在边AC的垂直平分线上． 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，且这个点到三角形三个顶点的距离相等． （2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你能得出什么结论？ 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，若AC＝3 cm，则BC的长为__________cm. 3 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 2．如图，AC垂直平分BD，AB＝1，CD＝3，则四边形ABCD的周长为__________. 8 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是：____________________ ________________，它是________(填“真”或“假”)命题． 面积相等的三角形是全等三角形 假 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 4．如图，在△ABC中，直线DE垂直平分BC，分别交AC，BC于 点D，E，连接BD.若CE＝4，△BDC的周长为18，求BD的长． 解：∵DE垂直平分BC， ∴CD＝BD，CE＝BE. 又CE＝4，∴BE＝4. ∴BC＝BE＋CE＝8. ∵△BDC的周长为BD＋CD＋BC＝18， ∴BD＋CD＝10. ∴BD＝5. 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 循环练 5．下面4个汉字图形中，可以看作是轴对称图形的是(　　) A 第2课时　线段的垂直平分线（1）—— 性质与判定 返回目录 证明：在△ABO和△ACO中， ∴AC＝20－12＝8（cm）.∴AE＝AC＝4 cm. 证明：在△AOB和△COD中， $$ 第4课时　画轴对称的图形（1） 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　1.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形；2.运用图形的轴对称进行图案设计．（核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、应用意识） 随堂测 知识导学 返回目录 1．（衔接回顾）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点都在网格的格点上．平移△ABC得到△A′B′C′，点A的对应点为点A′.请在图中画出平移后的△A′B′C′. 答图1 解：如答图1，△A′B′C′即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 2．（衔接回顾）如图，点A，B关于直线l对称的点分别为点C，D，AD与BC相交于点O. （1）图中相等的线段有：______________________________________________，线段AC的垂直平分线是________； （2）△ABO和△CDO关于直线l________，△ABO________△CDO. AO＝CO，OB＝OD，AB＝CD， AD＝BC 直线l 对称 ≌ ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 3．几何图形都可以看作由点组成．对于一些规则的几何图形，只要画出图形中的一些____________（如线段端点）的________，连接这些________，就可以得到与原图形成轴对称的图形． 特殊点 对称点 对称点 ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 课堂讲练 返回目录 画出与已知图形成轴对称的图形 例1　如图，画出与点A关于直线l的对称点A′. 画法：过点A画直线l的__________，垂足为O，在垂线上截取__________＝OA，点__________就是点A关于直线l的对称点． 垂线 OA′ A′ 答图2 解：与点A关于直线l的对称点A′如答图2所示． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 训练　1.如图，作出下列图形关于直线l对称的图形，并简单说明作图过程． 答图3 解：作出图形如答图3所示． 作图过程：取两条线段的端点，分别作这些点关于直线l的对称点，顺次连接对应点即可． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 例2　如图，画出与△ABC关于直线l对称的图形． 答图4 解：如答图4，△A′B′C′即为所求． 【提示】分别画出点A，B，C关于直线l的对称点A′，B′，C′；连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 训练　2.如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对称的图形． 答图5 解：如答图5，△A′B′C′即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 网格中的轴对称作图 例3　如图，在由若干个小正方形组成的网格中，给出△ABC（顶点是网格的格点）.请画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1. 答图6 解：如答图6，△A1B1C1即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 训练　3.如图，请在网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于直线l对称． 答图7 解：如答图7，四边形A′B′C′D′即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 课堂检测 返回目录 1．画出下列各图形关于直线l对称的图形． 答图8 解：作出图形如答图8所示． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 2．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上． （1）△A1B1C1与△ABC关于直线l对称，请画出△A1B1C1； （2）在（1）的条件下，连接AA1，CC1，求四边形AA1C1C的面积． 解：（1）如答图9，△A1B1C1即为所求． 答图9 ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 3．如图，在由若干个小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在顶点上． （1）请画出与△ABC关于直线l1对称的 △A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于直线l2对称的 △A2B2C2. 答图10 解：（1）如答图10，△A1B1C1即为所求． （2）如答图10，△A2B2C2即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 4．用4块如图①所示的小正方形瓷砖拼成一个大正方形，使拼成的图案为轴对称图形，请你在图②、图③、图④中各画出一种拼法．（要求三种拼法各不相同） 答图11 解：三种拼法如答图11所示．（答案不唯一） ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．作出下列图形关于直线l对称的图形． 答图1 解：作出图形如答图1所示． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 2．如图，每个小方格的边长都是1个单位长度，分别将下列图形补成关于直线l对称的图形． 答图2 解：补全图形如答图2所示． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 循环练 3．尺规作图：如图，在△ABC中，在边AC上找一点D，使得BD＝CD.(不写作法，保留作图痕迹) 答图3 解：如答图3，点D即为所求． ） 第4课时　画轴对称的图形（1） 返回目录 （2）S四边形AA1C1C＝×（4＋8）×3＝18. $$ 第7课时　等腰三角形的判定 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　1.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形；2.能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识） 随堂测 知识导学 返回目录 1．（衔接回顾）等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一． 2．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 几何语言：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∴AB＝AC. ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 课堂讲练 返回目录 等腰三角形的判定 例1　（RJ八上P80例2改编）如图，已知∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC.求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠CAD. ∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠CAD＝∠C. ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC. ∴△ABC是等腰三角形． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 训练　1.（RJ八上P84 T2）如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证：AB＝AD. 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC. ∴∠ADB＝∠ABD.∴AB＝AD. ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 例2　如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，AB′交CD于点E.试判断重叠部分△AEC的形状，并证明你的结论． 思考：你还有其他的解题思路吗？ 解：△AEC是等腰三角形．证明如下： 由题意，得△ABC≌△AB′C.∴∠BAC＝∠EAC. 在长方形ABCD中，CD∥AB，∴∠ECA＝∠BAC. ∴∠ECA＝∠EAC.∴AE＝CE. ∴△AEC是等腰三角形． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 例3　如图，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵D是BC边的中点，∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.∴∠B＝∠C. ∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 通过“等角对等边”判定等腰三角形的关键是得出一对相等的内角，其方法有：①直接计算（常利用三角形内角和定理）；②等量代换（结合角平分线、平行线等）；③全等三角形的性质． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 课堂检测 返回目录 1．下列三角形中，不是等腰三角形的是（　　） A ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 2．如图，把一张长方形纸片沿虚线对折后，剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC，则△ABC一定是（　　） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．含30°角的等腰三角形 A ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 3．（RJ八上P81 T1改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，请写出图中所有的等腰三角形：________________________． △BDC，△ABD，△ABC ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 4．（RJ八上P81 T3）如图，AC和BD相交于点O，且AB∥CD，OA＝OB.求证：OC＝OD. 证明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠D＝∠B，∠C＝∠A. ∴∠C＝∠D. ∴OC＝OD. ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 变式　如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC.求证：△ADE是等腰三角形．     思考：若点D，E分别在AB，AC的延长线上，且DE∥BC，△ADE还是等腰三角形吗？在BA，CA的延长线上呢？ 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C. ∴∠1＝∠2.∴AD＝AE. ∴△ADE是等腰三角形． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 5．如图，已知：线段a，b.求作：等腰三角形ABC，使AB＝AC，BC＝a，BC边上的高为b.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 答图1 解：如答图1，△ABC即为所求． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 6．如图，AD＝BC，AC＝BD，AC与BD相交于点E.求证：△EAB是等腰三角形． ∴△ADB≌△BCA（SSS）. ∴∠DBA＝∠CAB. ∴AE＝BE.∴△EAB是等腰三角形． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 7．如图，在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，EF经过点O且平行于BC.求证：EF＝BE＋CF. 证明：∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB， ∴∠EBO＝∠OBC，∠FCO＝∠OCB. 又EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB. ∴∠EBO＝∠EOB，∠FCO＝∠FOC. ∴OE＝BE，OF＝CF. ∴EF＝OE＋OF＝BE＋CF. ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．下列条件中，能确定△ABC为等腰三角形的是(　　) A．∠A＝50°，∠B＝80° B．∠A＝42°，∠B＝48° C．∠A＝2∠B＝70° D．AB＝4，BC＝5，周长为15 A ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 2．如图，∠AOP＝∠BOP，CP∥OB，CP＝4，求OC的长． 解：∵CP∥OB，∴∠CPO＝∠BOP. ∵∠AOP＝∠BOP， ∴∠CPO＝∠AOP.∴CP＝OC. ∵CP＝4，∴OC＝4. ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 3．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，连接AE，CF，且AE＝CF，BE＝BF.求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF＝180°－∠ABC＝90°. ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). ∴AB＝CB.∴△ABC是等腰三角形． ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 循环练 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D.若∠C＝52°，则∠CAD的度数是(　　) A．22° B．24° C．26° D．28° B ） 第7课时　等腰三角形的判定 返回目录 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 证明：在△ADB和△BCA中， $$ 第6课时　等腰三角形的性质 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　1.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合；2.探索等腰三角形的轴对称性质．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识） 随堂测 知识导学 返回目录 等腰三角形的性质 几何语言 图示 等腰三角形的两个底角________（简写成“等边对等角”） 在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝________ 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”） 如：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝________ 相等 ∠C CD ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 课堂讲练 返回目录 等边对等角 例1　在下列等腰三角形中，已知AB＝AC，则a＝________，b＝________． 50 30 ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 训练　1.在下列等腰三角形中，已知AB＝AC，请写出x的值． （1）x＝________；　（2）x＝________. 45 80 ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在BA的延长线上，过点A作AD∥BC.求证：AD平分∠EAC.　 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠C，∠EAD＝∠B. ∴∠CAD＝∠EAD. ∴AD平分∠CAE. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 训练　2.如图，在△ABC中，∠A＝35°，点D在AC边上，AD＝ BD＝BC.求∠CBD的度数． 解：∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝35°. ∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝70°. ∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝70°. ∴∠CBD＝180°－∠C－∠BDC＝40°. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 8 三线合一 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D.若CD＝4，求△ABC的周长． 解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝4. ∴△ABC的周长为AB＋AC＋BD＋CD＝6＋6＋4＋4＝20. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 训练　3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，点E在AC上，且AE＝AD.若∠BAC＝108°，求∠EDC的度数． 解：∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC，AD平分∠BAC. ∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝27°. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 课堂检测 返回目录 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，则下列结论不正确的是（　　） A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．BD＝CD D．AB＝2BD D ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 2．【易错】（1）若等腰三角形的一个角等于80°，则它的其余两个角的度数为_______________________； （2）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是__________． 　在等腰三角形的相关计算中，若边或角不明确，需进行分类讨论． 80°，20°或50°，50° 11或10 ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 13 3.（RJ八上P84 T6）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数． 解：∵AB＝AC，∠A＝40°， ∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD. ∴∠ABD＝∠A＝40°. ∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 4．【一题多解】（RJ八上P84 T4改编）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，且BE＝CD.求证：AD＝AE. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∴△ABE≌△ACD（SAS）. ∴AD＝AE. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 5．（RJ八上P80 T3改编）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD＝ AB.求证：∠ACB＝90°. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 ∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD. ∵∠A＋∠ACB＋∠B＝180°， ∴∠A＋∠ACD＋∠BCD＋∠B＝180°， 即2∠ACD＋2∠BCD＝180°. ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，即∠ACB＝90°. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 6．【转化思想】如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，DE∥AC，交AB于点E.求证：∠BDE＝∠EBD. 证明：∵AF平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD. ∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠CAD. ∴∠EAD＝∠ADE. ∵BD⊥AF， ∴∠BDE＋∠ADE＝90°，∠EBD＋∠EAD＝90°. ∴∠BDE＝∠EBD. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1.在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫作“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图①，从正面观察斗拱可发现其 外轮廓形状类似于一个等腰三角形，图②是 其抽象示意图．若顶角∠A＝80°，则底角 ∠B的度数为__________． 50° ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝6，则BC＝__________． 12 ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 3.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠C＝50°，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，则∠D的度数为__________. 40° ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ADC＝90°，DE⊥AC，垂足为E.若∠BAD＝50°，求∠CDE的度数． 解：∵AB＝AC，∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠BAD＝50°. ∴∠C＝180°－∠CAD－∠ADC＝40°. ∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°. ∴∠CDE＝180°－∠CED－∠C＝50°. ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 循环练 5．已知点A(2，a)与点B(b，－3)关于x轴对称，则ab的值为__________. 6 ） 第6课时　等腰三角形的性质 返回目录 ∴∠ADC＝90°，∠DAC＝∠BAC＝×108°＝54°. ∵AE＝AD，∴∠ADE＝（180°－∠DAE）＝63°. ∴∠ABC＝∠C＝（180°－∠A）＝70°. 在△ABE和△ACD中， 证明：∵CD是AB边上的中线，∴AD＝BD＝AB. 又CD＝AB，∴CD＝AD＝BD. $$ 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形．（核心素养：几何直观、空间观念、模型观念、应用意识） 随堂测 课堂讲练 返回目录 作已知线段的垂直平分线 例1　尺规作图：如图，作线段AB的垂直平分线． 作法：（1）分别以_________和_________为圆心，大于_________的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD. 点A 点B 解：如答图1，直线CD即为所求． 答图1 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 思考：还有其他作法吗？ 解：其他作法如答图2所示． 答图2 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 训练　1.如图，已知△ABC.按下列要求作图．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （1）在图中作AC边的垂直平分线EF，交AC于点E，交BC于点F； 答图3 解：如答图3，直线EF即为所求． 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 （2）在图中作AB边上的中线CG，交AB于点G. 注：三角形的垂直平分线一般不过顶点． 解：如答图4，作AB的垂直平分线，交AB于点G.线段CG即为所求． 答图4 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 过一点作已知直线的垂线（作高） 例2　尺规作图：如图，过点C作直线AB的垂线． 作法：（1）以点C为圆心，适当长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；（2）分别以__________和__________为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF. 点D 点E 解：如答图5，直线CF即为所求．（或如答图6，直线CF即为所求．） 答图5 答图6 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 训练　2.（1）尺规作图：如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB，垂足为D.（不写作法，保留作图痕迹） 答图7 解：如答图7，线段CD即为所求． 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 （2）尺规作图：如图，过点A作直线l的垂线．（不写作法，保留作图痕迹） 答图8 解：过点A作直线l的垂线如答图8所示． 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 作对称轴 例3　尺规作图：如图，已知扇形AOB与扇形A′O′B′关于某条直线成轴对称，请你作出这条直线． 答图9 答图10 解：如答图9，直线MN即为所求．（或如答图10，直线MN即为所求．） 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 训练　3.如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别作出直线l. 答图11 解：如答图11，直线l即为所求．（作法不唯一） 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 作对称轴有两种方法：1.连接一组对应点得到线段，作该线段的垂直平分线即为对称轴；2.延长两组对应边得到两个交点，两个交点的连线即为对称轴． 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 课堂检测 返回目录 1．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD.若AB＝7，AC＝12，则△ABD的周长为________． 19 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 2．利用图形中的对称点，作出下列对称图形的一条对称轴．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 　　　 答图12 解：如答图12，直线l即为所示．（作法不唯一） 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 15 3．（RJ八上P71 T10改编）如图，公路l两侧有A，B两个小区，为了方便居民出行要在公路l上增加一个公共汽车站． （1）若要使A小区到车站的距离最近，确定公共汽车站P1的位置； （2）若要使A，B两个小区到车站的距离相等，确定公共汽车站P2的位置． （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）   答图13 解：（1）公共汽车站P1的位置如答图13所示． （2）公共汽车站P2的位置如答图13所示． 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 4．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点E. （1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线，交BC于点D，交BE于点F，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若∠ABC＝50°，∠A＝70°，则∠ECF的度数为________．   答图14 解：（1）如答图14，直线DF、线段CF即为所求． 35° 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 5．（RJ八上P71 T9改编）如图，分别以线段a，b为两直角边，作直角三角形． 答图15 答图16 解：作直角三角形如答图15所示．（或作直角三角形如答图16所示．） 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 6．【创新意识】如图，已知线段AB及线段AB外一点C，过点C作直线CD，使得CD⊥AB. 小欣的作法：①以点B为圆心，BC长为半径作弧；②以点A为圆心，AC长为半径作弧，两弧相交于点D；③作直线CD.直线CD即为所求． （1）根据小欣的作法补全图形；   答图17 解：补全图形如答图17所示． 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 （2）在（1）的基础上，完成下面的证明． 证明：连接AC，AD，BC，BD. ∵BC＝BD， ∴点B在线段CD的垂直平分线上（____________________________________________________）.（填推理的依据） ∵AC＝__________，∴点A在线段CD的垂直平分线上． ∴直线AB为线段CD的垂直平分线． ∴CD⊥AB. 思考：还有其他作法吗？ 与线段两个端点距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上 AD 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．尺规作图：如图，在△ABC中，在BC上找一点D，使得∠ADC＝90°.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如答图1，点D即为所求． 答图1 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 2．如图，已知△ABC. (1)尺规作图：求作线段AB的中点O；(不写作法，保留作图痕迹) (2)线段BC，AC的大小关系是__________. 解：(1)如答图2，点O即为所求． 答图2 BC>AC （2）【提示】如答图2，BC与EF相交于点D，连接AD. 由(1)可知，EF为线段AB的垂直平分线， ∴AD＝BD. ∴BC＝BD＋DC＝AD＋DC>AC. 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 循环练 3．如图，在△ABC中，已知DE是AB的垂直平分线，BE＝12，CE＝3，则AC＝__________. 15 第3课时　线段的垂直平分线（2）—— 尺规作图 返回目录 AB $$ 第8课时　等边三角形的性质与判定 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　1.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°；2.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形．（核心素养：几何直观、推理能力、模型观念、应用意识） 随堂测 知识导学 返回目录 等边三角形的性质 图示 等边三角形的判定 （1）三边都相等； （2）三个角都相等且都等于__________； （3）三线合一； （4）是轴对称图形，有__________条对称轴 （1）三边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 60° 3 ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 课堂讲练 返回目录 等边三角形的性质 例1　如图，在等边三角形ABC中，AD平分∠BAC，则下列说法：①AB＝BC＝AC；②∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；③∠ADC＝90°；④AB＝2BD.其中正确的是__________.（填序号） ①②③④ ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 变式　如图，在等边三角形ABC中，CD⊥AB，BC＝2，则BD的长为__________，∠ACD的度数为__________.　 1 30° ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 例2　（RJ八上P93 T12）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD.求证：DB＝DE. 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线， ∴BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°. ∴∠DBC＝∠E.∴DB＝DE. ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 等边三角形的判定 例3　如图，在△ABC中，AB＝AC. （1）若AB＝________，则△ABC为等边三角形； （2）若∠A＝________°，则△ABC为等边三角形； （3）若∠B＝________°，则△ABC为等边三角形． BC 60 60 ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 训练　1.（RJ八上P84 T5）如图，∠A＝∠B＝60°，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等边三角形． 证明：∵CE∥DA，∴∠CEB＝∠A＝60°. 又∠B＝60°， ∴∠BCE＝180°－∠CEB－∠B＝60°. ∴∠CEB＝∠B＝∠BCE. ∴△CEB是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 等边三角形的性质与判定的综合 例4　（RJ八上P82例4改编）如图，△ABC是等边三角形，D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC.求证：（1）△ADE是等边三角形； 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C. ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C. ∴∠A＝∠ADE＝∠AED. ∴△ADE是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 证明： ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE. ∴AB－AD＝AC－AE，即BD＝CE. （2）BD＝CE. ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 训练　2.如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点，AB是DE的垂直平分线，连接AE.求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点， ∴∠B＝60°，AD⊥BC. ∵AB是DE的垂直平分线， ∴AE＝AD，AB⊥DE.∴△ADE是等腰三角形． ∵AB⊥DE，AD⊥BD，∴∠ADB＝∠AFD＝90°. ∴∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠BAD＝90°. ∴∠B＝∠ADE＝60°.∴△ADE是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 课堂检测 返回目录 1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接DC，BE.求证：DC＝BE. 证明：∵△ABD与△AEC都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝60°. ∴∠DAB－∠CAB＝∠CAE－∠CAB，即∠DAC＝∠BAE. ∴△DAC≌△BAE（SAS）.∴DC＝BE. ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 2．如图，△ABD和△BCD都是等边三角形，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF.求证：（1）△BDE≌△BCF； 证明：∵△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴BD＝BC，∠BDE＝∠C＝60°. ∴△BDE≌△BCF（SAS）. ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 证明：由（1），得△BDE≌△BCF. ∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF. ∴△BEF是等腰三角形． ∵△BCD是等边三角形， ∴∠DBC＝∠DBF＋∠CBF＝60°. ∴∠DBF＋∠DBE＝60°，即∠EBF＝60°. ∴△BEF是等边三角形． （2）△BEF是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 3．如图，若AB＝AC＝BC＝DB，则∠D的度数为________． 30° ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 4．如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE＝2∠BCD，若CD的长度为30 cm，则此时B，D两点之间的距离为________cm. 30 ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 5．【模型观念】（RJ八上P93 T11）如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C. 又AD＝BE＝CF， ∴AB－AD＝BC－BE＝AC－CF，即BD＝CE＝AF. ∴△ADF≌△BED（SAS）.∴FD＝DE. 同理可得DE＝EF.∴DE＝EF＝FD. ∴△DEF是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．如图是一个残缺的三角形纸片，小明通过测量发现AB＝10 cm，∠A＝∠B＝60°，则该三角形纸片破损前的周长为________cm. 30 ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 2.如图，一艘轮船从C地出发，沿南偏西25°的方向行驶50 n mile到达B地，再沿北偏西35°的方向行驶50 n mile到达A地，则A，C两地相距________ n mile. 50 ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 3．如图，点P在等边三角形ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP＝∠ACD，BP＝CD. (1)求证：△ABP≌△ACD； 证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC. ∴△ABP≌△ACD(SAS). ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 (2)请判断△APD的形状，并说明理由． 解：△APD是等边三角形． 理由：由(1)，得△ABP≌△ACD. ∴AP＝AD，∠BAP＝∠CAD. ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAP＋∠PAC＝∠BAC＝60°. ∴∠CAD＋∠PAC＝∠PAD＝60°. ∴△APD是等边三角形． ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 循环练 4．在△ABC中，∠A＝80°，若△ABC为等腰三角形，则∠B的度数为________________. 20°或50°或80° ） 第8课时　等边三角形的性质与判定 返回目录 ∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠E＋ ∠CDE＝∠ACB＝60°. 又CE＝CD，∴∠E＝∠CDE＝∠ACB＝30°. 在△DAC和△BAE中， 在△BDE和△BCF中， 在△ADF和△BED中， 在△ABP和△ACD中， $$ 第1课时　轴对称及其性质 知识导学 课堂讲练 第十五章　轴对称 课堂检测 　　　　　　　　1.理解轴对称图形的概念；2.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形；3.通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．（核心素养：几何直观、空间观念、推理能力、应用意识） 随堂测 知识导学 返回目录   轴对称图形 成轴对称 概念 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作_____________，这条直线就是它的__________，折叠后重合的点是对应点，叫作__________ 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线__________，也称这两个图形关于这两条直线__________.这条直线叫作__________，折叠后重合的点是对应点，叫作__________ 性质 轴对称图形的对称轴，垂直平分任意一对对称点所连线段 1.成轴对称的两个图形全等； 2.成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分 轴对称图形 对称轴 对称点 成轴对称 对称 对称轴 对称点 第1课时　轴对称及其性质 返回目录   轴对称图形 成轴对称 举例 如图，正五边 形ABB′A′O是 轴对称图形， 对称轴l经过线 段AA′，BB′ 的________并且________于线段AA′，BB′，直线l叫作线段AA′，BB′的_____________ 如图，△ABC沿直线 MN折叠后与△DEF重 合，则△ABC和△DEF 成__________，直线 MN是________，且点A的对称点是点________，点B的对称点是点________.直线MN是线段AD，BE，CF的_____________ 常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形、正多边形、圆 中点 垂直 垂直平分线 轴对称 对称轴 D E 垂直平分线 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 课堂讲练 返回目录 轴对称图形 例1　下列窗花图案中，是轴对称图形的是（　　） B 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 训练　1.下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（　　） D 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 两个图形成轴对称 例2　下列两个电子数字成轴对称的是（　　） D 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 训练　2.视力表中的字母“E”有各种不同的摆放方向，下列图中的两个“E”不能关于某一条直线成轴对称的是（　　） D 第1课时　轴对称及其性质 返回目录   轴对称图形 成轴对称 区别 一个图形的形状 两个图形的形状和位置 联系 1.沿一条直线（对称轴）折叠，直线两旁的部分能够互相重合（即直线两旁的部分全等）； 2.都有对称轴（至少一条）； 3.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条直线成轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 轴对称的性质 例3　如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上一点． （1）写出图中两对相等的线段：____________ _________________________； （2）线段AA′的垂直平分线是直线________； （3）△AA′P________等腰三角形；（填“是”或“不是”） （4）∠ABC______∠A′B′C′，∠PAC______∠PA′C′.（填“＞”“＜”或“＝”） AB＝A′B′， AP＝A′P（答案不唯一） MN 是 ＝ ＝ 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 训练　3.如图是一个飞镖设计图，其主体部分（四边形ABED）关于AE所在的直线对称，C为AE上一点，下列结论正确的是________． （填序号） ①AB＝AD； ②BC＝CD； ③∠BCE＝∠BEC； ④△ABC≌△ADC. 注：要明确对应的点、线、角． ①②④ 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 课堂检测 返回目录 1．（2023广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　） A 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 2．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若AC＝3.2 cm，A′B′＝3.6 cm，BC＝4.5 cm，则AB的长为（　　） A．3.2 cm B．3.6 cm C．4.5 cm D．无法确定 B 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 3．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝________°.     100 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 4．瓷器上的纹饰是中国古代传统文化的重要载体之一，如图是某瓷器上的纹饰，该图形是轴对称图形，其对称轴有________条． 4 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 5．【开放性】如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，写出一个与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形：____________________________________． △BAG（或△AEF或△CDF或△BDH） 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 6．【空间观念】将一张正方形纸片按如图所示的步骤对折3次得到图④，然后沿图④中的虚线EF（EF⊥AC）剪去一个角，剩余部分展开铺平后得到的图形是（　　） B 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 随 堂 测 返回目录 课时练 1．下列图形中，为轴对称图形的是(　　) D 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 2．下列说法正确的是(　　) A．能够完全重合的两个图形成轴对称 B．全等的两个图形成轴对称 C．形状相同的两个图形成轴对称 D．沿一条直线对折后能够重合的两个图形成轴对称 D 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 3．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，下列结论中正确的有__________.(填序号) ①AB＝A′C′；②∠A＝∠A′；③点B与点B′到直线l的距离相等；④S△ABC＝S△A′B′C′. ②③④ 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 循环练 4．如图，已知△ABC≌△ADC，∠B＝30°，∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为(　　) A．120° B．125° C．127° D．104° C 第1课时　轴对称及其性质 返回目录 $$