第11章 专题突破18 带电粒子在有界匀强磁场中的运动-【优化探究】2026高考物理一轮复习高考总复习配套课件（教科版）

专题突破18　带电粒子在有界匀强磁场中的运动 第十一章　磁场 1 [学习目标]　1.学会处理带电粒子在直线边界、平行边界、圆形边界、多边形边界或角形区域磁场中运动的问题。2.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题和多解问题。 2 核心知识　典例研析 突破点一　带电粒子在有界磁场中的运动 突破点二　带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 突破点三　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 分层训练　巩固提高 内容索引 3 一 核心知识　典例研析 4 突破点一　带电粒子在有界磁场中的运动 5 1.粒子轨迹圆心、半径和运动时间的确定   基本思路 图例 说明 圆心 的确 定 与速度方向垂直的直线过圆心 P、M点速度垂线交点 弦的垂直平分线过圆心 P点速度垂线与弦的垂直平分线交点 6   基本思路 图例 说明 圆心 的确 定 轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心 某点的速度垂线与切点法线的交点 半径 的确 定 利用平面几何知识求半径 常用解三角形法：例：(左图) R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝ 7   基本思路 图例 说明 运动 时间 的确 定 利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间 (1)t＝T； (2)t＝ (1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ； (2)速度的偏转角φ与弦切角α的关系：φ＜π时，φ＝2α；φ＞π时，φ＝2π－2α 8 2.带电粒子在有界磁场中的运动 (1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示) (2)平行边界(往往存在临界条件，如图所示) 9 (3)圆形边界(进出磁场具有对称性) ①沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。 ②不沿径向射入时，如图乙所示。 射入时粒子速度方向与半径的夹角为θ，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为θ。 10 [典例1]　(2025·四川眉山高三诊断)如图所示，在边界MN上方足够大的空间内存在垂直纸面向外的匀强磁场。两粒子H核与H核同时从MN上P点以相同的动能沿纸面飞入磁场，又同时从另一位置Q(图中未画出)飞出磁场。不计粒子重力及二者间的相互作用。二者在P点处速 度方向间的夹角为(　　) A.30°　　　　　　 B.45° C.60° D.90° 考向1　带电粒子在直线边界磁场中的运动 B 11 [解析]　粒子的运动轨迹，如图所示，两粒子电荷量相等，质量为m2＝2m1，由周期公式T＝可得T2＝2T1，两粒子在磁场中运动的时间相等，由t＝T可知θ1T1＝θ2T2，所以θ2＝θ1，由题意知二者飞入磁场的动能相等，由r＝可得r2＝r1，当θ2＝θ1时，三角形PO1O2为等腰三角形，由几何关系可知∠PO1O2＝，两粒子入射速度方向间的夹角为45°，故选B。 12 [典例2]　如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电 粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界 射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°。 不计粒子的重力，下列判断正确的是(　　) A.粒子a带负电，粒子b带正电 B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶ C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1 D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2 考向2　带电粒子在平行边界磁场中的运动 B 13 [解析]　粒子a向上偏转，由左手定则可判断，粒子a带 正电，而粒子b向下偏转，则粒子b带负电，故A错误； 如图所示，由几何关系可知，磁场宽度x＝Rasin 60°＝ Rbsin 30°，解得Ra∶Rb＝1∶，故B正确；由qvB＝ m，可得v＝，比荷相同，磁场相同，则va∶vb＝ Ra∶Rb＝1∶，故C错误；粒子运动的周期T＝， 则Ta＝Tb，a运动的时间ta＝Ta＝Ta＝T，b运动的时间tb＝Tb＝Tb＝T，故ta∶tb＝2∶1，故D错误。 14 [典例3]　(2025·山东潍坊高三月考)如图所示，正六边形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电粒子以速度v1从a点沿ad方向射入磁场，从c点离开磁场；若该粒子以速度v2从a点沿ae方向射入磁场，则从 d点离开磁场。不计粒子重力，则的值为(　　) A. B. C. D. 考向3　带电粒子在多边形边界或角形区域磁场中的运动 C 15 [解析]　带正电粒子以速度v1从a点沿ad方向射入磁场，从c点离开磁场，设六边形的边长为L，则由几何关系得r1＝L，若该粒子以速度v2从a点沿ae方向射入磁场，从d点离开磁场，则由几何关系得r2＝2L，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，则r＝，速度之比，故C正确。 16 [典例4]　(多选)(2025·四川乐山高三诊断)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，O为区域磁场圆心。现有一质量为m，电荷量为－q(q＞0)的粒子从距直径MON为的P点平行于直径MON方向射入磁场，其运动轨迹通过磁场圆 心O。不计粒子重力，则下列说法正确的是(　　) A.粒子运动的轨道半径为R B.粒子射入磁场的速率为 C.粒子在磁场中运动时间为 D.粒子会从O点正下方射出磁场 考向4　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 AD 17 [解析]　作出粒子的运动轨迹，如图所示，由几何关系可得cos∠O1PO＝，可得∠O1PO＝60°，由几何关系可得粒子运动的轨迹半径为r＝R，由几何关系可知，粒子会从O点正下方射出磁场，故A、D正确；由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子射入磁场的速率为v＝，故B错误；由几何关系可得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为θ＝120°，所以粒子在磁场中运动时间为t＝T＝×，故C错误。 18 突破点二　带电粒子在匀强磁场中的临界极值问题 19 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1.临界条件 带电粒子刚好穿出(不穿出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，故边界(边界的切线)与轨迹过切点的半径(直径)垂直。 20 2.几种常见的求极值情况(速度一定时) (1)最长时间：弧长最长，一般为轨迹与直线边界相切。 圆形边界：公共弦为边界圆直径时，出现极值，即：当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 (2)最短时间：弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点。此时在磁场中运动时间最短。 21 [典例5]　(2024·湖北卷)如图所示，在以O点为圆心、 半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场， 磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相 反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为 q(q＞0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。 不计重力，下列说法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能经过O点 B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向 C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为 D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为 D 22 [解析]　根据带电粒子在圆形边界磁场中的运动性质可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，粒子射出圆形区域时的速度方向一定沿该区域的半径方向，A、B错误；当粒子在磁场中运动的轨迹半径为r1＝R时，粒子连续两次由A点沿AC方向射入磁场区域的时间间隔最短，其运动轨迹如图1所示，由洛伦兹力提供向心力有qv1B＝m，又T1＝，则最短时间间隔为tmin＝2T＝，C错误；粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短时，粒子的运动轨迹如图2所示，由几何关系可知此时粒子的轨迹半径为r2＝R，由洛伦兹力提供向心力有qv2B＝m，联立解得v2＝，D正确。 23 [典例6]　如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域。若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围 为(　　) A.≤v≤　 B.≤v≤ C.≤v≤ D.≤v≤ C 24 [解析]　根据洛伦兹力充当向心力可知v＝，因此半 径越大，速度越大；根据几何关系可知，使粒子轨迹与 AD边相切时速度最大，如图，则有AO'·sin 45°＝O'E， 即(r1＋L)sin 45°＝r1，解得满足题目要求的最大半径r1＝ (＋1)L，故最大速度v1＝；当粒子从C点出 射时，满足题目要求的半径最小，r2＝，故最小速度应 为v2＝，则v的取值范围为≤v≤，故C正确，A、B、D错误。 25 [典例7]　(多选)(2025·四川攀枝花高三联考)一匀强磁场垂直于xOy平 面，分布在一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，某时刻经过原点O，速度大小为v，方向沿x轴正方向，后来经过y轴上点 P时，速度方向与y轴正方向的夹角为30°，P到O的距离为d，如图所示。 若粒子重力忽略不计，点O在磁场中，则粒子从点O到点P的时间t和磁 场区域的最小半径Rmin分别为(　　) A.t＝ B.t＝ C.Rmin＝ D.Rmin＝ AC 26 [解析]　粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知 d＝＋r，α＝120°，粒子运动半径r＝，粒子从 点O到点P的时间为t＝× ，A正确，B错误；磁场区域的直径等于粒子圆周运动的弦长时，半径最小，有Rmin＝，C正确，D错误。 27 突破点三　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 28 带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，使问题形成多解。多解形成的原因一般包含四个方面： 类型 分析 图例 带电 粒子 电性 不确 定 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。 如图，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若带正电，其轨迹为a，若带负电，其轨迹为b 29 类型 分析 图例 磁场 方向 不确 定 在只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向时，必须考虑由于磁感应强度方向的不确定而形成的多解。 如图，带正电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b 30 类型 分析 图例 粒子 速度 不确 定 有些题目只告诉了带电粒子的电性，但未具体指出速度的大小或方向，此时必须考虑由于速度的不确定而形成的多解 运动 具有 周期 性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场空间运动时，运动往往具有周期性，因而形成多解 31 [典例8]　(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速 度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A.使粒子的速度v＜ B.使粒子的速度v＞ C.使粒子的速度v＞ D.使粒子的速度＜v＜ AB 32 [解析]　如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有＝(r1－)2＋l2，又因为qv1B＝m，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝，又qv2B＝m，解得v2＝。若粒子不打在极板上，应使v＜或v＞，故A、B正确，C、D错误。 33 [典例9]　(多选)(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则 离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　) A.kBL，0°　　　　 B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° BC 34 [解析]　若离子最后经过下部分磁场从P点射出，如图1，则θ＝60°，R＝(n＝1，3，5，…)，又qvB＝m，可得v＝(n＝1，3，5，…)；若离子最后经过上部分磁场从P点射出，如图2，则θ＝0°，R＝(n＝2，4，6，…)，又qvB＝m，可得v＝(n＝2，4，6，…)。综上可知，B、C可能，A、D不可能。 35 [典例10]　(多选)平面OM和平面ON之间的夹角为35°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，大小为B，方向垂直于纸面向外。一质量为m，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场，速度与OM成20°角，运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力，则下列几种情形可能出现的是(　　) 36 A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共 点，在磁场中运动的时间是 B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共 点，在磁场中运动的时间是 C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点，在磁场中运动的时间是 [答案]　ABD 37 [解析]　带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦 兹力提供向心力有qvB＝m，qvB＝mr，得 到r＝，T＝，若粒子带负电，将做 逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到OM直线 时，由圆周运动的对称性可知，速度方向必与 OM成20°，但由于35° ＞20°，则粒子轨迹与ON只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为40°，运动时间t＝T＝，A正确，C错误；若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到OM直线时，由圆周运动的对称性可知，速度方向必与OM成20°角，粒子偏转角为360°－40°＝320°，则粒子运动时间为t＝T＝，B、D正确。 38 [典例11]　(多选)如图所示的xOy坐标系中，y轴的 左侧存在垂直纸面向外、磁感应强度大小未知的 匀强磁场，y轴右侧的匀强磁场垂直纸面方向且大 小未知，一带正电的粒子由y轴上(0，－L)处沿与 y轴正方向成30°角的方向以速度v射入磁场，已知 粒子的比荷为k，粒子在y轴右侧的轨道半径为L， 最终粒子经过O点，粒子重力不计。下列说法正确的是(　　) 39 A.若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则y轴右侧的磁感应强度大小为 B.若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，则粒子从射入 到运动至O点的时间为 C.若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入 到运动至O点的时间可能为 D.若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，则粒子从射入 到运动至O点的时间可能为 [答案]　AD 40 [解析]　若y轴右侧的磁场垂直纸面向里，由题意作出粒子的运动轨迹，如图甲所示，根据qvB＝m，解得B＝，由几何关系可知r＝L，则有B＝，A正确； 由几何关系可知粒子在y轴右侧偏转的角度为60°，则粒子从射入到运动至O点的时间t＝， 由于 T＝，解得t＝，B错误； 41 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴左右两侧各偏转一次经过O点，如图乙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半径r1＝2L，则y轴左侧磁场的磁感应强度大小B1＝，粒子运动的时间t1＝T＋，由于T1＝，解得t1＝，D正确； 42 若y轴右侧的磁场垂直纸面向外，粒子可能在y轴的 左侧偏转一次、在y轴的右侧偏转两次经过O点，如 图丙所示，由几何关系可知粒子在y轴左侧的轨道半 径r2＝3L，则y轴左侧磁场的磁感应强度大小B2＝ ，粒子运动的时间t2＝T＋，由于T2＝ ，解得t2＝，C错误。 43 分层训练　巩固提高 二 44 1.(2024·广西卷)xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m，电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为 45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　) A.　　　　　　　 B. C.(1＋) D.(1＋) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 A 夯实基础 C 45 解析：粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)，故选C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 46 2.(多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场， OA＝AB，则(　　) A.粒子1与粒子2的动能之比为1∶2 B.粒子1与粒子2的动能之比为1∶4 C.粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶1 D.粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比为1∶2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 BD 47 解析：由题意可知，粒子1和2在磁场中圆周运动轨迹 对应的弦长之比为1∶2，则粒子1和2运动半径之比为 1∶2，根据qvB＝m，得v＝，即速度之比为1∶2， 又Ek＝mv2，可知粒子1与粒子2的动能之比为1∶4， 故A错误，B正确；由题意可知，两粒子在磁场中圆周运动的圆心角相等，由数学知识可知，粒子1与粒子2在磁场中运动的弧长之比等于运动半径之比为1∶2，故C错误，D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 48 3.(多选)(2025·重庆沙坪坝高三联考)如图所示，半径分别为R和2R的同心圆处于同一平面内，O为圆心。两圆形成的圆环内(含边界)有垂直圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为－q(q＞0)的粒子由大圆上的A点以速率v沿大圆切线方向进入磁场，粒子仅在磁场中运动，不计粒子的重力，则粒子运动速率v可能为(　 　) A. B. C. D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 ACD 49 解析：带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动qvB＝m，可得v＝，粒子仅在磁场中运动，则0＜2r≤R或3R≤2r≤4R，代入可得0＜v≤或≤v≤，故选A、C、D。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 50 4.(2025·四川成都高三质检)a、b两个带正电的粒子经同一电场由静止加速，先后以v1、v2的速度从M点沿MN方向进入矩形匀强磁场区域，经磁场偏转后分别从PQ边上E、F点离开，如图所示。直线ME、MF与MQ的夹角分别为30°、60°，粒子的重力不计，则两个粒子进入磁场运动的 速度大小之比为(　　) A.v1∶v2＝1∶3 B.v1∶v2＝3∶1 C.v1∶v2＝3∶2 D.v1∶v2＝2∶3 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 B 51 解析：a、b两个带正电的粒子在磁场中的运动 轨迹如图，设a粒子的轨道半径为R1，b粒子的 轨道半径为R2，设MQ＝d，则由几何关系得R1 ＋R1sin 30°＝d，R2－R2sin 30°＝d，由以上两 式得，设加速电场的电压为U，匀强磁场 磁感应强度为B，有Uq＝mv2，qvB＝m，得v＝，则有，故A、C、D错误，B正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 52 5.(2023·全国甲卷改编)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所 示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说 法正确的是(　　) A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经3次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 D 53 解析：带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛 伦兹力提供向心力，有qvB＝m，T＝，解得 运动轨迹半径r＝，运动周期T＝。当粒子 初速度方向过磁场圆心O时，由对称性可知，粒 子与筒壁发生n次碰撞后必能返回入射点P，则碰撞点(含P点)将筒壁等分成n＋1份圆弧，且每次与筒壁碰撞反弹后速度方向由碰撞点指向圆心O，但轨迹不能通过O点，A选项错误，D选项正确；若粒子与筒壁仅碰撞一次，则轨迹将圆筒平分，由对称性可知碰撞位置一定在PO延长线 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 54 与筒壁交点位置，粒子将做直线运动，但粒子仅 在洛伦兹力作用下无法做直线运动，故该粒子至少 与筒壁发生2次碰撞(运动轨迹如图所示)才可以从 小孔射出，故B选项错误；若粒子在筒内与筒壁碰 撞，经历圆筒一周从P点飞出，则粒子速度越大， 在筒内运动的时间越短，若粒子在筒内与筒壁碰撞，经历圆筒一周无法从P点飞出，则粒子速度越大，在筒内运动的时间不一定越短，C选项错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 55 6.如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC的同种粒子(不考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D点射入的粒子恰好能垂直于AC边射出磁场，则 AC边上有粒子射出的区域长度为(　　) A.L　　　　　　 B.L C.L D.L 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 56 解析：从D点射入和从B点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直于AC边射出磁场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径r＝L 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 则有AE＝L 因为D点是AB的中点，所以D点是从B点射入的粒子做 圆周运动的圆心， 57 所以AD＝DF，则根据几何知识有 AF＝2×L·cos 30°＝ 所以AC边上有粒子射出的区域长度 EF＝AF－AE＝L 故选C。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 58 7.(多选)如图所示，与x轴的夹角为60°的直线OP将xOy平面的第一象限分成两个区域Ⅰ、Ⅱ，Ⅰ区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直坐标平面向里的匀强磁场，Ⅱ区域为真空。在t＝0时刻，一质量为m、电荷量为－q的粒子，以速度v从点(0，a)沿x轴正方向垂直磁场进入Ⅰ区域；在 t0时刻，撤去磁场，最终粒子恰好沿两个区域的分界线PO运动且通过 O点。不计粒子的重力及空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A.带电粒子在磁场中运动的半径为 B.在t0＝时刻，撤去磁场 C.带电粒子在第一象限运动的时间为 D.带电粒子通过O点时的速度大小为2v 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 AC 59 解析：设带电粒子在磁场中做圆周运动的半径 为r，其运动轨迹如图所示。根据几何知识有 r＋＝a，r＝，A正确；带电粒子在磁场 中做圆周运动的周期T＝，撤去磁场的时刻 t0＝，B错误；带电粒子在第一象限运动的时间t＝，C正确；由于洛伦兹力不做功，故带电粒子通过O点时的速度大小为v，D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 60 8.(多选)(2025·重庆巴蜀中学高三检测)如图所示，边界OA与OC之间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，∠AOC＝60°。边界OA上距O点l处有一粒子源S，可发射质量为m，带正电荷q的等速粒子。当S沿纸面向磁场各个方向发射粒子，发现都没有粒子从OC边界射 出，则(　　) A.粒子的最大发射速率不超过 B.粒子的最大发射速率不超过 C.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为l D.粒子从OA边界离开磁场时离S的最远距离可能为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 AD B 能力提升 61 解析：若没有粒子从OC边界射出，则速率最大的粒子沿如图路线运动，即刚好不离开磁场，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得r＝，由几何关系知r＝lsin 60°＝，则v＝，故A正确，B错误；粒子速度v＝，从OA边界离开磁场时离S最远距离d＝2r＝l·sin 60°＝l，故C错误，D正确。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 62 9.(2025·四川自贡高三诊断)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝cd＝2L，bc＝de＝L，一束He粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用。已知He粒子的质量为3m，电荷量 为q。以下说法正确的为(　　) A.粒子能到达de中点 B.从bc边界射出的粒子运动时间相等 C.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为v＝ D.粒子在磁场中运动的最长时间为 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 C 63 解析He粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示，由图可知，粒子要在bcde区域运动，在经e点时轨迹半径最大，此时粒子没能到达de中点，因此粒子不能到达de中点，A错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 64 设粒子的运动轨迹过bcde上的某一点g，O为粒子做圆周运动轨迹的圆心，当∠Oag最大时，粒子运动轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长，由几何关系可知，当c点与g点重合时，粒子运动时间最长，即从bc边界射出的粒子运动时间不相等。如图所示，设运动半径为R，由几何关系有 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 65 (2L－R)2＋L2＝R2，解得R＝L。已知He粒子的 质量为3m，电荷量为q，其在磁场中做匀速圆周 运动有qvB＝3m，解得v＝，B错误，C正确He粒子在磁场中运动的周期为T＝。在△Obc中，设∠bOc为α，∠aOc为θ，由几何关系可得sin α＝，可得α＝53°，θ＝180°－53°＝127°，则粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝T＝，D错误。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 66 10.(16分)如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于点O，二者夹角θ＝30°，在MO右侧区域存在一矩形匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里，MO为磁场的一条边界线。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子在纸面内沿某一方向以速度v从O点射入磁场，粒子从边界线MO射出时，速度方向平行于PQ向左。不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 67 (1)粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径R及该粒子在边界线MO上的出射点到O点的距离L； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，粒子在MO边界射出点为N， 由洛伦兹力提供向心力得 qvB＝ ① 解得R＝ ② 由几何关系可知粒子在磁场中运动轨迹所对应的圆心角α＝60°③ 则O、N间的距离L＝R＝。 ④ 答案：　 68 (2)粒子在磁场中的运动时间； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，则T＝ ⑤ 粒子在匀强磁场中运动的时间为t＝T ⑥ 联立②③⑤⑥解得t＝。 ⑦ 答案：　 69 (3)矩形磁场区域的最小面积。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：由题知矩形磁场面积最小范围应是如图所示的矩形，设其长、宽分别为d1、d2 则d1＝L ⑧ 由几何关系知d2＝R(1－cos 30°) ⑨ 磁场最小面积S＝d1d2 ⑩ 联立②④⑧⑨⑩解得S＝()。 答案：() 70 11.(16分)如图所示，y方向足够长的两个条形区域， 宽度分别为l1＝0.1 m和l2＝0.2 m，两区域分别分布 着磁感应强度为B1和B2的磁场，磁场方向垂直于 xOy平面向外，磁感应强度B2＝0.1 T，现有大量粒 子从坐标原点O以恒定速度v＝2×106 m/s不断沿x轴 正方向射入磁场，由于B1的大小在0~0.5 T范围内可 调，粒子可从磁场边界的不同位置飞出。已知带电 粒子的电荷量q＝－2×10－8 C，质量m＝4×10－16 kg，不考虑带电粒子的重力，求： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 71 (1)要使粒子能进入B2磁场，B1应满足的条件； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：当带电粒子在B1磁场中做圆周运动的半径大于l1时粒子能进入B2磁场，由洛伦兹力充当向心力有 qvB1＝m 当r＝l1时，粒子的轨迹如图所示， 此时有B1＝ 代入数据得B1＝0.4 T 即粒子恰好不进入磁场B2区，而根据 r＝ 可知，磁感应强度越小，轨道半径越大，因此B1满足的条件为 0≤B1＜0.4 T。 答案：0≤B1＜0.4 T 72 (2)粒子在条形区域内运动的最短时间t； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：当B1＝0时，粒子进入B2磁场，有 qvB2＝m 解得r2＝0.4 m 可知粒子从右边界MN飞出，粒子的运动轨迹如图， 由几何关系可知 sin θ2＝ 解得θ2＝30° 73 粒子在两个条形区域运动的时间为 t1＝≈1.55×10－7 s 随着B1的增大，根据时间等于弧长与速度的比值可 知，粒子在磁场中的运动时间先增大后减小，当B1 达到最大值0.5 T时，粒子从左边界飞出，运动时间为 t2＝≈1.26×10－7 s＜t1 所以粒子在条形区域内运动的最短时间为 t2＝1.26×10－7 s。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 答案：1.26×10－7 s 74 (3)粒子从y轴飞出磁场时的最高点坐标y。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：设A1为粒子从MN射出的最高点，则A1为轨迹与边界MN的切点，如图所示， O1为粒子在B1磁场中运动的圆心，O2为粒子在B2 磁场中运动的圆心，由几何知识可得 O2C2＝r2－(l1＋l2)＝0.1 m， sin θ1＝ 解得θ1＝30° 75 由几何知识有 r1＝＝0.2 m 则根据几何关系可得A1的纵坐标 y1＝r1(1－cos θ1)＋r2cos θ1＝ m 根据对称性可得粒子从y轴飞出磁场时的最高点 坐标y＝2y1＝ m。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 答案： m 76 $$