2025年广东省中考数学二轮复习专题突破课件--几何证明与计算

　几何证明与计算 1 类型1　有关三角形的证明与计算 1.(2025·茂名一模)我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形.如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄金三角形. (1)尺规作图：作∠B的平分线，交AC于点D.(保留作图痕迹，不写作法) (2)请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由. 2 1. 解：(1)如图，BD即为所求. (2)△BDC是黄金三角形.理由如下： ∵∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=(180°-36°)=72°. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=36°. 又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°， ∴∠BDC=∠C，∴BD=BC， ∴△BDC是黄金三角形. 3 2.(2025·珠海香洲二模)如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点E，∠BAC=60°. (1)求∠BEC的度数. (2)如图2，延长CE，BE分别交AB，AC于点M，N，在AE的延长线取一点D，使ED=BD，AD交BC于点F. ①当AD=9，AF=5时，求BD的长； ②求证：BC=BM+CN. 4 (1)解：∵∠BAC=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°. ∵BE和CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=×120°=60°， ∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=120°. 5 (2)解：①∵ED=BD，∴∠BED=∠DBE. ∵∠BED=∠ABE+∠BAE，∠ABE=∠EBF， ∴∠DBF=∠BAE. ∵∠BDF=∠ADB，∴△BDF∽△ADB， ∴=. ∵AD=9，AF=5，∴FD=AD-AF=4， ∴BD2=4×9=36，∴BD=6. 6 ②证明：如图，作∠BEC的平分线EW，交BC于点W. 由(1)知∠BEC=120°， ∴∠BEW=∠CEW=60°，∠CEN=∠BEM=60°， ∴∠BEW=∠BEM，∠CEW=∠CEN. ∵∠ABN=∠CBN，∠ACM=∠BCM. BE=BE，CE=CE， ∴△BEW≌△BEM(ASA)，△CEW≌△CEN(ASA)， ∴BM=BW，CN=CW， ∴BC=BW+CW=BM+CN. 7 类型2　有关四边形的证明与计算 3.如图，在Rt△ABC中，AC=3，∠B=30°，∠ACB=90°. (1)求作：以斜边AB为对角线且其中一个顶点D在BC边上的菱形ADBE；(尺规作图，保留作图痕迹) (2)求(1)中所作的菱形的边长. 8 解：(1)如图，作线段AB的垂直平分线，交AB于点O，交BC于点D，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点E，连接AD，AE，BE，则菱形ADBE即为所求. (2)∵∠ABC=30°，∠ACB=90°，∴∠BAC=60°. ∵四边形ADBE为菱形，∴AD=BD， ∴∠BAD=∠ABD=30°，∴∠CAD=30°. ∵AC=3，∴AD===2， ∴(1)中所作的菱形的边长为2. 9 4.(2024·广州模拟)如图，在四边形ABCD中，AB=DC，点E，F分别是AD，BC的中点，点G，H分别是BD，AC的中点. (1)连接EG，GF，FH，HE，请证明四边形EGFH是平行四边形； (2)连接EF，GH，猜一猜EF与GH的位置关系，并证明你的结论. 10 (1)证明：∵点G，H分别是BD，AC的中点，点E，F分别是AD，BC的中点， ∴FG是△BCD的中位线，EH是△ADC的中位线， ∴EH∥ CD，EH=CD，FG∥ CD，FG=CD， ∴EH∥ FG，EH=FG， ∴四边形EGFH是平行四边形. 11 (2)解：EF⊥GH. 理由如下： ∵点F是BC的中点，点H是AC的中点， ∴FH是△ABC的中位线，∴FH=AB. ∵AB=DC，∴FH=CD，∴FH=EH. ∵四边形EGFH是平行四边形， ∴四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH. 12 5.(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF，试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)小明受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF，交HA的延长线于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题. 13 解：(1)猜想：四边形ABCD为正方形. 理由如下：∵GD⊥DF，DF⊥CE，AG⊥DG， ∴∠G=∠DFC=90°，∠ADG+∠ADF=90°. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°=∠ADF+∠CDF，∴∠ADG=∠CDF. 在△ADG和△CDF中， ∴△ADG≌△CDF(AAS)，∴AD=CD， ∴矩形ABCD是正方形. 14 (2)∵DF⊥CE，AH⊥CE，GD⊥DF， ∴∠DFH=∠H=∠GDF=90°， ∴四边形DGHF是矩形， ∴∠G=90°=∠DFC， 易得∠ADG=∠CDF. ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD. 在△ADG和△CDF中， 15 ∴△ADG≌△CDF(AAS)， ∴DG=DF，AG=CF. 又∵四边形DGHF是矩形， ∴四边形DGHF是正方形， ∴HG=HF，∴FH=HG=AH+AG=AH+CF. 16 类型3　有关圆的证明与计算 6. 已知：△ABC. 问题一：请用圆规与直尺(无刻度)直接在△ABC内作内切圆(要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法)； 问题二：若△ABC的周长是24，△ABC的面积是24，求△ABC的内切圆半径. 17 解：问题一：如图，☉O为所求.  问题二：如图，连接OA. 设△ABC的内切圆半径为r. ∵☉O为△ABC的内切圆， ∴点O到△ABC三边的距离都为r. 18 ∵S△ABO+S△BCO+S△ACO=S△ABC， ∴r·AB+r·BC+r·AC=24， 即(AB+BC+AC)r=48. ∵△ABC的周长是24，即AB+BC+AC=24， ∴24r=48，解得r=2， 即△ABC的内切圆的半径为2. 19 7.(2022·广东)如图，四边形ABCD内接于☉O，AC为☉O的直径，∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明； (2)若AB=，AD=1，求CD的长度. 20 解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明如下： ∵AC为☉O的直径， ∴∠ADC=∠ABC=90°. ∵∠ADB=∠CDB，∴=， ∴AB=BC. 又∵∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形. 21 (2)∵在Rt△ABC中，BC=AB=， ∴AC===2. ∵在Rt△ADC中，AD=1，AC=2， ∴CD===， 即CD的长为. 22 8.(2025·茂名模拟)如图1，在四边形ABCD中，AD∥ BC，∠DAB=90°，AB是☉O的直径，CO平分∠BCD. (1)求证：直线CD与☉O相切； (2)如图2，记(1)中的切点为E，P为优弧 上一点，AD=2，BC=4，求tan∠APE的值. 23 (1)证明：如图1，作OE⊥CD于点E，则∠OEC=90°. ∵AD∥ BC，∠DAB=90°， ∴∠OBC=180°-∠DAB=90°， ∴∠OEC=∠OBC. ∵CO平分∠BCD， ∴∠OCE=∠OCB. 24 在△OCE和△OCB中， ∴△OCE≌△OCB(AAS)， ∴OE=OB. 又∵OE⊥CD，∴直线CD与☉O相切. 25 (2)解：如图2，过点D作DF⊥BC于点F，连接BE，则四边形ABFD是矩形， ∴AB=DF，BF=AD=2， ∴CF=BC-BF=4-2=2. ∵AD∥ BC，∠DAB=90°， ∴AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD，BC是☉O的切线. 由(1)得直线CD是☉O的切线， ∴ED=AD=2，EC=BC=4， ∴CD=ED+EC=6. 26 在Rt△DFC中， ∴DF===4， ∴AB=DF=4， ∴OB=2. ∵CO平分∠BCD，∴CO⊥BE， ∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠BCH. ∵∠APE=∠ABE，∴∠APE=∠BCH， ∴tan∠APE=tan∠BCH==. 27 $$