2025年广东省中考数学二轮复习专题突破课件--反比例函数综合题

　反比例函数综合题 1 类型1　反比例函数与一次函数的综合 1.(2024·眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1，6)， B(n，2)，与x轴、y轴分别交于C，D两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标； (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值. 2 解：(1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1，6)， B(n，2)，∴=6，∴m=6， ∴反比例函数的表达式为y=，∴2=，∴n=3， ∴B(3，2)，∴ 解得 ∴一次函数的表达式为y=-2x+8. 3 (2)(0，5). (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴、y轴分别交于E，F两点， ∴直线EF的表达式为y=-2x+8-a， ∴E(，0)，F(0，8-a). ∵EF=AB， ∴=×， 解得a=6或a=10. 4 2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+1分别与y轴、x轴相交于点A，B(2，0)，过点A的直线与双曲线y=(k>0)交于C，D两点(点C在点D的右侧). (1)求a的值及线段AB的长； (2)过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，若CE=DF=1，求k的值及△AOD的面积； 5 (3)将直线AB沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将函数y=(x>0)的图象沿着直线y=3翻折，翻折后的图象交直线AG于点M，N(点M在点N左侧)，当△AOM∽△OGM时，求k的值. 6 解：(1)将B(2，0)代入直线y=ax+1中得2a+1=0， ∴a=-， ∴直线AB的表达式为y=-x+1. 令x=0，则y=1，∴A(0，1)， ∴OA=1，OB=2， ∴AB==. 7 (2)如图. 由题意可得CE=DF=1， ∴点C的横坐标为1，点D的纵坐标为-1. 又∵C，D两点在双曲线y=(k>0)上， ∴设C(1，k)，D(-k，-1)， ∴直线CD的表达式为y=x+k-1. 8 又∵A(0，1)在直线CD上， ∴1=k-1，∴k=2， ∴双曲线的表达式为y=，C(1，2)，D(-2，-1)， S△AOD=AO·OF=×1×2=1. 9 (3)如图，直线AB沿y轴翻折得到新直线y=x+1，新直线与x轴相交于点G，函数y=(x>0)的图象沿着直线y=3翻折后得到y=-+6. 联立整理可得x2-10x+2k=0， 解得x1=5+，x2=5-， ∴点M的横坐标为5-，纵坐标为×(5-)+1. 10 连接MO，当△AOM∽△OGM时， ∠MGO=∠MOA， ∴tan∠MGO==， ∴tan∠MOA==， 即5-=×[(5-)+1]， 令5-=t，即t=t+，解得t=， ∴k=. 11 类型2　反比例函数与几何的综合 3.(2025·清远模拟)如图，四边形AOBC是正方形，点D为BC的中点，以点O为坐标原点，OA，OB所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，点A的坐标为(0，4)，过点D的反比例函数y=(k≠0)的图象与边AC交于点E，点F是线段OB上的一动点. (1)求∠EDC的正切值. (2)若AD平分∠CAF，求出点F的坐标. (3)若△AFD的面积为S1，△AFO的面积为S2.若S1∶S2=3∶2，求证：点F是线段OB的中点. 12 (1)解：如图1. ∵四边形AOBC是正方形，点A的坐标为(0，4)， ∴OA=OB=BC=AC=4. ∵点D为BC的中点， ∴BD=CD=2， ∴D(4，2). ∵D是反比例函数y=(k≠0)图象上一点， ∴k=4×2=8， 13 ∴反比例函数解析式为y=. ∵点E是反比例函数y=与边AC的交点， ∴E(2，4)， ∴CE=CD=2， ∴△CED是等腰直角三角形， ∴∠EDC=45°， ∴∠EDC的正切值为1. 14 (2)解：如图2，过点D作DN⊥AF于点N. ∵AD平分∠CAF，∠C=90°， DN⊥AF， ∴CD=DN. 又∵AD=AD， ∴Rt△ADC≌Rt△ADN(HL)， ∴AC=AN=4. ∵BD=CD=DN，DF=DF， ∴Rt△DFN≌Rt△DFB(HL)， 15 ∴NF=BF. ∵AF2=AO2+OF2， ∴(4+BF)2=16+(4-BF)2， 解得BF=1， ∴OF=3， ∴F(3，0). 16 (3)证明：如图3，连接EF. ∵S2=S△AOF=AO·OF=×4OF=2OF， S△DFB=BF·DB=4-OF， S梯形AOBD=(BD+OA)·OB=12， ∴S1=S△ADF=12-2OF-(4-OF)=8-OF. ∵S1∶S2=3∶2， ∴(8-OF)∶(2OF)=3∶2，∴OF=2， ∴点F是线段OB的中点. 17 4.(2024·广东)【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y=ax(a>0)上第一象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD，AD∥ x轴.反比例函数y=的图象经过点A. 【构建联系】 (1)求证：函数y=的图象必经过点C. (2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E落在y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值. 18 【深入探究】 (3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E.当点E，A重合时，连接AC交BD于点P.以点O为圆心，AC长为半径作☉O.若OP=3，当☉O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围. 19 (1)证明：设B(m，ma)，则A(m，). ∵AD∥ x轴，∴点D的纵坐标为. 将y=代入y=ax中，得=ax， ∴x=，∴D()，∴C(，am). 将x=代入y=中得y=am， ∴函数y=的图象必经过点C. 20 (2)解：∵点B(1，2)在直线y=ax(a>0)上， ∴a=2，∴y=2x， ∴点A的横坐标为1，C点的纵坐标为2. ∵函数y=的图象经过点A，C， ∴C(，2)，A(1，k)，∴D(，k)，∴DC=k-2. ∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E， ∴BE=BC=-1，∠BED=∠BCD=90°，DE=DC，∴==2=. 21 如图，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴， 则HF=DC. ∵AD∥ x轴，∴H，A，D三点共线， ∴∠HED+∠BEF=90°， ∠BEF+∠EBF=90°， ∴∠HED=∠EBF. ∵∠DHE=∠EFB=90°， 22 ∴△DHE∽△EFB， ∴===2. ∵BF=1，DH=， ∴HE=2，EF=，∴HF=2+， ∴2+=k-2，∴k=. 23 (3)解：∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E，且点E，A重合， ∴AC⊥BD. ∵四边形ABCD为矩形， ∴四边形ABCD为正方形，∴∠ABP=∠DBC=45°， ∴AB=BC=CD=DA==AP，AP=PC=BP=AC，BP⊥AC. ∵BC∥ x轴，∴AB∥ y轴， ∴直线y=ax为第一、三象限的夹角平分线， ∴y=x. 24 当☉O过点B时，如图，过点D作DH∥ x轴，交y轴于点H. ∵AD∥ x轴，∴H，A，D三点共线. ∵以点O为圆心，AC长为半径作☉O，OP=3， ∴OB=AC， ∴OP=OB+BP=AC+BP=2AP+AP=3AP=3， ∴AP=， ∴AB=AD=AP=2，BD=2AP=2，BO=AC=2AP=2. 25 ∵∠DHO=∠DAB=90°，∠DOH=∠DBA=45°， ∴△DHO∽△DAB， ∴==， ∴==， ∴HO=HD=4，∴HA=HD-DA=4-2=2， ∴A(2，4)，∴k=2×4=8. 26 当☉O过点A时，根据A，C关于直线OD对称知，☉O必过点C，如图，连接AO，CO，过点D作DH∥ x轴，交y轴于点H. ∵AO=OC=AC，∴△AOC为等边三角形， ∴∠AOC=60°. ∵OP⊥AC，∴∠AOP=×60°=30°， ∴AP=tan 30°×OP=×3==PD， ∴AC=BD=2AP=2， ∴AB=AD=AP=2，OD=OP+PD=3+. 27 同理可得△DHO∽△DAB，∴==， ∴==，∴HO=DH=3+， ∴HA=DH-DA=3+-2=3-， ∴A(3-，3+)， ∴k=(3-)×(3+)=6， ∴当☉O与△ABC的边有交点时，k的取值范围为6≤k≤8. 28 $$