2025年广东省中考数学二轮复习专题突破课件--二次函数综合题

二次函数综合题 1 类型1　二次函数与线段有关的问题 1.【一题多设问】 在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式. 解：(1)把A(-3，0)，B(1，0)分别代入y=ax2+bx+2中得解得 ∴二次函数的解析式为y=-x2-x+2. 2 (2)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥ y轴交直线AC于点N，当点M的坐标为多少时，线段MN有最大值？并求出其最大值. 3 解：(2)易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，-x2-x+2). 设直线AC的解析式为y=kx+m. 将A(-3，0)，C(0，2)分别代入得 解得 ∴直线AC的解析式为y=x+2， 4 则点N的坐标为(x，x+2)， ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0， ∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时，点M的坐标为(-). 5 (3)如图，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使QC+QB的值最小？若存在，求出点Q的坐标及QC+QB的最小值；若不存在，请说明理由. 6 解：(3)存在. 如图，连接AC，BQ. ∵Q为抛物线对称轴上一点， ∴QA=QB， ∴QC+QB=QC+QA. 当Q，A，C三点共线时，QC+QB的值最小. 直线AC与抛物线对称轴的交点即为点Q. 7 由(2)得直线AC的解析式为y=x+2. ∵二次函数的解析式为y=-x2-x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1. 将x=-1代入y=x+2得y=， ∴点Q的坐标为(-1，)， QC+QB的最小值为AC==. 8 (4)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，过点M作MN∥ y轴交直线AC于点N，作ME⊥AC于点E，当△MEN的周长有最大值时，求出点M的坐标，并求出△MEN周长的最大值. 9 解：(4)∵MN∥ y轴，∴∠ACO=∠MNE. 又∵∠AOC=∠NEM=90°，∴△MNE∽△ACO，∴==. ∵OC=2，OA=3，∴AC=，∴NE=MN，ME=MN， ∴C△MEN=MN+NE+ME=(1+)MN， ∴当MN最大时，△MEN的周长有最大值. 由(2)知，MN的最大值为，M(-)，则△MEN的周长的最大值为+. 10 (5)如图，点M为直线AC上方抛物线上一动点，连接MO，交AC于点D，当的值最大时，求点M的坐标及的最大值. 11 解：(5)如图，过点M作MN∥ y轴，交AC于点N. ∵MN∥ y轴，∴∠NMD=∠COD. 又∵∠MDN=∠ODC，∴△MDN∽△ODC，∴=. ∵OC=2，为定值， ∴当MN取最大值时，取得最大值. 由(2)知MN的最大值为，∴的最大值为， 此时，点M的坐标为(-). 12 【能力提升】 2.(2025·东莞二模)如图1，抛物线y=ax2+bx经过点A(-5，0)，B(-1，-2). (1)求抛物线的解析式. (2)如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点Q(-4，0)作y轴的平行线，交直线AP于点M，交直线OP于点N，当点P运动时，4QM+QN的值是否变化？若变化，说明变化规律；若不变，求其值. 13 (3)如图3，长度为的线段CD(点C在点D的左边)在射线AB上移动(点C在线段AB上)，连接OD，过点C作CE∥ OD交抛物线于点E，线段CD在移动的过程中，直线CE经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值. 14 解：(1)将点A(-5，0)，B(-1，-2)分别代入y=ax2+bx 得解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+x. 15 (2)4QM+QN的值为定值. 设P(t，t2+t)，-5<t<0， 设直线AP的解析式为y=kx+h， ∴解得 ∴y=tx+t. 16 设直线PO的解析式为y=k'x， ∴t2+t=tk'，∴k'=t+，∴y=(t+)x. ∵Q(-4，0)，∴M(-4，t)， ∴N(-4，-2t-10)，∴QM=-t，QN=2t+10， ∴4QM+QN=-2t+2t+10=10，∴4QM+QN的值不变. 17 (3)点F的坐标为(-2，1)，的最小值为. 提示：设直线AB的解析式为y=k″x+b'， ∴解得 ∴直线AB的解析式为y=-x-. 设D(m，-m-). ∵CD=，点C在点D的左边，∴C(m-2，-m-). 18 设直线OD的解析式为y=dx， ∴-m-=dm， ∴d=--，∴y=(--)x. ∵CE∥ OD， ∴直线CE的解析式为y=(--)x-=-x-(x+1)， 当x+1=0时，x=-2，此时y=1， ∴直线CE经过定点F(-2，1). 19 如图，过点F作FK⊥x轴，交直线AB于点K，过点E作EG∥ FK， 交AB于点G， ∴=. ∵F(-2，1)，∴K(-2，-)， ∴FK=， ∴当GE最大时，的值最小. 20 设E(n，n2+n)，则G(n，-n-)， ∴GE=-(n+3)2+2， ∴当n=-3时，GE有最大值2， ∴==，∴的最小值为. 21 3.(2024·临夏)在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于 A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，作直线BC. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问：线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 22 (3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥ OC(点N在直线BC下方)，已知 MN=2.若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM的取值范围. 23 解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)，B(3，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. 24 (2)线段PQ存在最大值. 如图，过点P作PN⊥x轴于点N，交BC于点M. ∵B(3，0)，C(0，3)， ∴直线BC的解析式为y=-x+3. ∵OB=OC，∠BOC=90°， ∴∠CBO=45°. ∵∠MNB=90°， ∴∠PMQ=∠NMB=45°. 25 ∵PQ⊥BC， ∴△PQM是等腰直角三角形， ∴PM=PQ，∴当PM的值最大时，PQ的值最大. 设P(m，-m2+2m+3)，则M(m，-m+3)， ∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m-)2+. ∵-1<0， ∴当m=时，PM的值最大，PM的最大值为， ∴PQ的最大值=PM=，此时P(). 26 (3)点M的横坐标xM的取值范围为 ≤xM≤0或3≤xM≤. 提示：设M(a，-a+3)，则N(a，-a+1). 当点N在抛物线上时，-a+1=-a2+2a+3，∴a2-3a-2=0， 解得a1=，a2=. ∵线段MN与抛物线有交点， ∴满足条件的点M的横坐标xM的取值范围为≤xM≤0或3≤xM≤. 27 类型2　二次函数与面积有关的问题 4.【一题多设问】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2-x+2的图象与x轴交于A(-3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C. (1)点Q是直线AC下方的抛物线上一动点，是否存在点Q，使S△ACQ=10？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 28 解：(1)存在.理由如下： 如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，连接AQ，QC. 设Q(m，-m2-m+2)， 则QE=-m，OE=m2+m-2，CE=m2+m， ∴S△ACQ=S梯形AOEQ+S△AOC-S△CEQ=(3-m)×(m2+m-2)+×3×2-(m2+m)×(-m) =10， 整理得m2+3m-10=0，解得m1=-5，m2=2， ∴点Q的坐标为(-5，-8)或(2，-). 29 (2)如图，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，请说明理由. 30 解：(2)存在.理由如下： 如图，过点M作MN∥ y轴交AC于点N. ∵S△ACM=|xA-xc|·MN=MN， ∴当MN的值最大时， S△ACM取得最大值. 易知C(0，2)，设点M的坐标为(x，-x2-x+2). 31 设直线AC的解析式为y=kx+b. 将A(-3，0)，C(0，2)分别代入得 解得 ∴直线AC的解析式为y=x+2， 则点N的坐标为(x，x+2)， 32 ∴MN=-x2-x+2-x-2=-x2-2x=-(x+)2+. ∵-<0， ∴当x=-时，线段MN的长有最大值，最大值为， 此时S△ACM=×=， ∴当点M的坐标为(-)时，△ACM的面积有最大值，最大值为. 33 (3)如图，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设四边形APCB的面积为S，求S的最大值及此时点P的坐标. 34 解：(3)令x=0，则y=2，∴C(0，2). 设直线AC的解析式为y=kx+p. ∴解得 ∴直线AC的解析式为y=x+2. 如图，过点P作PG∥ y轴交AC于点G. 设P(t，-t2-t+2)， 35 则G(t，t+2)， ∴PG=-t2-t+2-t-2=-t2-2t， ∴S=S△ACB+S△APC=×2×(3+1)+×3×(-t2-2t)=-t2-3t+4=-(t+)2+. ∵点P在直线AC上方，∴-3<t<0， ∴当t=-时，S有最大值，最大值为， 此时，点P的坐标为(-). 36 【能力提升】 5.(2025·梅州二模)如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，其中A(-3，0)，C(0，-3). (1)求二次函数的表达式； (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限， 线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积 的2倍，求点P的坐标. 37 解：(1)由题意可得解得 ∴二次函数的表达式为y=x2+2x-3. (2)设P(m，n). ∵点P在第二象限，∴m<0，n>0. 依题意得=2，即=2，∴=2. 38 由已知得CO=3， ∴n=2CO=6， ∴m2+2m-3=6， 解得m1=-1-，m2=-1+(舍去)， ∴点P坐标为(-1-，6). 39 6.(2023·安徽)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3，3)，对称轴为直线x=2. (1)求a，b的值. (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线OA于点D，过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (ⅰ)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和. (ⅱ)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由. 40 解：(1)由题意得解得 (2)(ⅰ)设直线OA的解析式为y=kx. ∵A(3，3)， ∴3=3k，解得k=1，∴y=x. 由(1)知，抛物线的解析式为y=-x2+4x. 如图1，由题意得B(t，-t2+4t)，C(t+1，-t2+2t+3)， D(t，t)，E(t+1，t+1)， 图1 41 ∴BD=|-t2+3t|= CE=|-t2+t+2|= ∴当0<t<2时，△OBD与△ACE的面积之和为 BD·t+CE·(3-t-1)=(-t2+3t)t+(-t2+t+2)(2-t)=2. 图1 42 (ⅱ)存在. 理由如下：当点B在对称右侧时，则t>2， ∴CE=t2-t-2. 如图2，当2<t<3时，BD=-t2+3t， ∴S梯形BDEC=(-t2+3t+t2-t-2)×1=t-1， ∴t-1=，解得t=； 图2 43 如图3，当t>3时，BD=t2-3t， ∴S梯形BDCE=(t2-3t+t2-t-2)×1=t2-2t-1， ∴t2-2t-1=， 解得t1=(舍去)或t2=(舍去). 综上所述，t的值为. 图3 44 类型3　二次函数与特殊图形存在性有关的问题 7.【一题多设问】 如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-3，0)，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，且OA=3OB，顶点为D. (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标. 45 解：(1)∵A(-3，0)，∴OA=3. ∵OA=3OB，∴OB=1，∴B(1，0)， ∴抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)， 当x=0时，-3a=-3，解得a=1， ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3，化成顶点式为 y=(x+1)2-4， ∴点D的坐标为(-1，-4). 46 (2)连接AC，点E是x轴上一动点，当△ACE为等腰三角形时，求点E的坐标. 47 解：(2)如图. ∵点A，C的坐标分别为(-3，0)，(0，-3)，∴AC=3. ①当AC=CE时，点O为AE的中点，∴E1(3，0)； ②当AC=AE时，点E可能在点A的左边或右边， ∴E2(-3-3，0)，E3(-3+3，0)； ③当AE=EC时， ∴点E与点O重合，∴E4(0，0). 综上所述，点E的坐标为(3，0)或(-3-3，0)或(-3+3，0)或(0，0). 48 (3)如图，在y轴上是否存在一点E，使得△ADE是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 49 解：(3)存在. ∵A(-3，0)，D(-1，-4)， ∴AD2=(-3+1)2+(0+4)2=20. 设E(0，m)，则AE2=(-3-0)2+(0-m)2=9+m2， DE2=(-1-0)2+(-4-m)2=m2+8m+17. ①当AE为斜边时，由AE2=AD2+DE2得 9+m2=20+m2+8m+17，解得m=-； 50 ②当DE为斜边时，由DE2=AE2+AD2得 m2+8m+17=9+m2+20，解得m=； ③当AD为斜边时，由AD2=ED2+AE2得 20=m2+8m+17+9+m2，解得m=-1或-3. 综上所述，点E的坐标为(0，-)或(0，)或(0，-1)或(0，-3). 51 (4)如图，在线段AC上是否存在点M，使得△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 52 解：(4)存在. 由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，A(-3，0)，C(0，-3). 当y=0时，x2+2x-3=0，解得x1=-3，x2=1， ∴B(1，0). 当△AOM与△ABC相似时，分2种情况： 53 ①当△AOM∽△ABC时，∠AOM=∠ABC，∴OM∥ BC. 由点A(-3，0)，C(0，-3)可求得直线AC的解析式为y=-x-3， 由点B(1，0)，C(0，-3)可求得直线BC的解析式为y=3x-3， ∴直线OM的解析式为y=3x. 设点M(m，3m)，点M为直线AC与直线OM的交点， ∴3m=-m-3，解得m=-，∴M(-，-). 54 ②当△AOM∽△ACB时，=， 即=， ∴AM=2，∴M(-1，-2). 综上所述，点M的坐标为(-，-)或(-1，-2). 55 【能力提升】 8.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-3，0)，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.连接BC，且tan∠OCB=. (1)求抛物线的解析式. (2)若D是x轴上的一点，在抛物线上是否存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点且以AC为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 56 (3)若平面内存在动点G，抛物线上是否存在点H，使得以点A，C，G，H为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 57 解：(1)由抛物线y=ax2+bx-3可知， 当x=0时，y=-3，∴C(0，-3)，∴OC=3. ∵tan∠OCB=， ∴=，∴OB=1，∴B(1，0). 又∵抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于点A(-3，0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. 58 (2)存在. ①如图1，当点E在x轴下方时，则点E的纵坐标为-3， ∴令y=-3，则y=x2+2x-3=-3， 解得x=-2或0(舍去)， ∴点E的坐标为(-2，-3)； 59 ②如图2，当点E在x轴上方时，由点C到x轴的距离为3，可得点E到x轴的距离为3， ∴令y=3，则y=x2+2x-3=3，解得x=-1±， ∴点E的坐标为(-1+，3)或(-1-，3). 综上所述，点E的坐标为(-2，-3)或 (-1+，3)或(-1-，3). 60 (3)存在.理由如下： 如图，∵四边形是以AC为对角线的菱形， 由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点H1，H2. ∵OA=OC=3， ∴AC的垂直平分线过原点O. 设AC的中点为F，由C(0，-3)，A(-3，0)可得 =-=-，∴F(-，-)， 61 ∴直线H1H2的解析式为y=x. 联立 解得或 ∴点H的坐标为()或(). 62 9.(2023·广州)已知点P(m，n)在函数y=-(x<0)的图象上. (1)若m=-2，求n的值. (2)抛物线y=(x-m)(x-n)与x轴交于两点M，N(M在N的左边)，与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E. ①m为何值时，点E到达最高处？ ②设△GMN的外接圆圆心为C，☉C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由. 63 解：(1)把m=-2代入y=-(x<0)得n=-=1， ∴n的值为1. (2)①在y=(x-m)(x-n)中， 令y=0，则(x-m)(x-n)=0， 解得x=m或x=n， ∴M(m，0)，N(n，0). ∵点P(m，n)在函数y=-(x<0)的图象上， ∴mn=-2. 64 令x=，得y=(x-m)(x-n)=-(m-n)2=-2-(m+n)2≤-2， 即当m+n=0，且mn=-2时，点E到达最高处， ∴m2=2，解得m=-(正值已舍去)， ∴当m=-时，点E到达最高处. ②存在. 理由如下：∵y=(x-m)(x-n)， ∴当x=0时，y=mn=-2， 65 即点G(0，-2). 由①得M(m，0)，N(n，0)， E(，-(m-n)2 )，对称轴为直线x=. 由点M(m，0)，G(0，-2)的坐标知 tan∠OMG==. 66 如图，作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T(m，-1)， 则tan∠MKT=-m， 则直线TS的表达式为y=-m(x-m)-1. 当x=时，y=-m(x-m)-1=-， 则点C的坐标为(，-). 由垂径定理知点C在FG的中垂线上，则FG=2(yC-yG)=2×(-+2)=3. 67 ∵四边形FGEC为平行四边形， ∴CE=FG=3=yC-yE=--yE， 解得yE=-，即-(m-n)2=-，且mn=-2， 则m+n=±， ∴E(-，-)或(，-). 68 $$