2025年广东省中考数学二轮复习专题突破课件--圆的综合题

　圆的综合题 1 类型1　圆与相似、三角函数的综合 1.(2024·雅安)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，P是BA延长线上的一点，连接AC，∠PCA=∠B. (1)求证：PC是☉O的切线； (2)若sin B=，求证：AC=AP； (3)若CD⊥AB于点D，PA=4，BD=6，求AD的长. 2 (1)证明：如图，连接OC. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCO+∠OCA=90°. ∵OB=OC， ∴∠B=∠BCO. ∵∠PCA=∠B，∴∠PCA=∠BCO， ∴∠PCA+∠OCA=90°，∴OC⊥PC. ∵OC是☉O的半径，∴PC是☉O的切线. 3 (2)证明：∵sin B=， ∴∠B=30°，∴∠PCA=∠B=30°. 由(1)知∠ACB=90°， ∴∠CAB=60°，∴∠P=∠CAB-∠PCA=30°， ∴∠PCA=∠P，∴AC=AP. 4 (3)解：设AD=x. 易得△BDC∽△CDA，∴=， ∴CD2=AD·BD=6x. ∵∠P=∠P，∠PCA=∠B， ∴△PAC∽△PCB， ∴=， ∴PC2=PA·PB=4(6+4+x)=4(10+x). 5 在Rt△PCD中， ∵PD2+CD2=PC2， ∴(4+x)2+6x=4(10+x)， 整理得x2+10x-24=0， 解得x1=2，x2=-12(舍去)，∴AD=2. 6 2.如图，△ABC内接于☉O，BC=2，AB=AC，点D为上的动点， 且cos∠ABC=. (1)求AB的长度. (2)在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问：AD·AE的值是否变化？若不变，请求出AD·AE的值；若变化，请说明理由. (3)在点D的运动过程中，过点A作AH⊥BD，求证：BH=CD+DH. 7 (1)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M. ∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=CM， ∴BM=BC=1. ∵在Rt△ABM中，cos∠ABC==，BM=1， ∴AB==. 8 (2)解：AD·AE的值不变. 理由如下： 如图，连接DC. ∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC. ∵四边形ABCD内接于☉O， ∴∠ADC+∠ABC=180°. ∵∠ACE+∠ACB=180°， 9 ∴∠ADC=∠ACE. ∵∠CAE=∠DAC， ∴△EAC∽△CAD， ∴=， ∴AD·AE=AC2=AB2=10. 10 (3)证明：如图，在BD上取一点N，使得BN=CD. 在△ABN和△ACD中， ∴△ABN≌△ACD(SAS)，∴AN=AD. ∵AN=AD，AH⊥BD，∴NH=DH. ∵BN=CD， ∴BH=BN+NH=CD+DH. 11 3.如图，△ABC内接于☉O，AB=AC，点D为劣弧 上的动点，延长AD，BC交于点E，作DF∥ AB交☉O于点F，连接CF. (1)如图1，当点D为 的中点时，求证：DF=BC. (2)如图2，若CF=CA，∠ABC=α，请用含有α的代数式表示∠BAE. (3)在(2)的条件下，若BC=CE， ①求证：AC+AD=DE； ②求tan E的值. 12 (1)证明：如图，连接BD. ∵点D为 的中点， ∴=. ∵AB∥ DF， ∴∠ABD=∠FDB， ∴==， ∴=，∴DF=BC. 13 (2)解：由(1)可得 =. ∵CF=CA，∴=， ∴=+=2. ∵∠ABC=α，∴∠BAE=2α. 14 (3)①证明：如图，延长EA至点G，使AG=AC=AB，连接BG，CD，则∠G=∠BAE=α. 又∵∠CDE=∠ABC=α， ∴∠G=∠CDE，∴CD∥ BG. ∵BC=CE，即点C为BE的中点， ∴点D为EG的中点， ∴AC+AD=AG+AD=DG=DE， 即AC+AD=DE. 15 ②解：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=α， ∴∠ADC=180°-α=∠ACE. 又∵∠CAD=∠EAC， ∴△ACD∽△AEC，∴=，即AC2=AD·AE. 设AD=a，AC=ka， 则(ka)2=a×(2a+ka)， 解得k=2或k=-1(舍去)， ∴AG=AB=AC=2a，AE=4a.A 16 又∵△EAB∽△EBG，同理得EB2=EA·EG， ∴BE==2a. 如图，过点A作AH⊥BC于点H. ∵BC=CE，∴BH=BE=a，HE=BE=. 在Rt△AHB中， AH===a，∴tan E===. 17 类型2　圆与四边形相关的综合 4.(2023·广东)综合探究 如图1，在矩形ABCD中(AB>AD)，对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为点A'，连接AA'交BD于点E，连接CA'. (1)求证：AA'⊥CA'. (2)以点O为圆心，OE为半径作圆. ①如图2，☉O与CD相切， 求证：AA'=CA'； ②如图3，☉O与CA'相切，AD=1，求☉O的面积. 18 (1)证明：∵点A关于BD的对称点为点A'， ∴点E是AA'的中点，∠AEO=90°. 又∵四边形ABCD是矩形， ∴点O是AC的中点， ∴OE是△ACA'的中位线，∴OE∥ A'C， ∴∠AA'C=∠AEO=90°，∴AA'⊥CA'. 19 (2)①证明：如图，设☉O与CD相切于点G，连接GO，并延长GO交AB于点F，则OG⊥CD，OE=OG. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥ CD，AO=BO=CO=DO， ∴∠OCG=∠OAF，∠OGC=∠OFA=90°， ∴△OCG≌△OAF(AAS)， ∴OG=OF. ∵OG=OE，∴OE=OF. 20 又∵∠AEO=90°，即OE⊥AE，又OF⊥AB， ∴AO是∠EAF的平分线，即∠OAE=∠OAF. 设∠OAE=∠OAF=x，则∠OCG=∠OAF=x. 又∵CO=DO，∴∠OCG=∠ODG=x， ∴∠AOE=∠OCG+∠ODG=2x. 又∵∠AEO=90°，即△AEO是直角三角形， ∴∠AOE+∠OAE=90°，即2x+x=90°， 解得x=30°， 21 ∴∠OAE=30°，即∠A'AC=30°. 在Rt△A'AC中，∠A'AC=30°， ∠AA'C=90°， ∴AC=2CA'， ∴AA'===CA'. 22 ②解：如图，设☉O与CA'相切于点H，连接OH，则OH⊥CA'. 由(1)知AA'⊥CA'，OA=OC， ∴OH∥ AA'，OE∥ CA'， ∴====， ∴AA'=2OH，CA'=2OE， ∴AA'=CA'， ∴∠A'AC=∠A'CA=45°， ∴∠AOE=∠ACA'=45°. 23 ∵∠AEO=90°，∴△AEO是等腰直角三角形，AE=OE. 设AE=OE=r，则AO=DO==r， ∴DE=DO-OE=r-r=(-1)r. 在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，AD=1， 即r2+(-1)2r2=12， ∴r2===， ∴☉O的面积为S=πr2=π. 24 5.(2025·东莞一模)如图1，☉O是以OA的长为半径的圆，点O在矩形ABCD 的对角线AC上，☉O与矩形ABCD的三边AD，AC，AB分别交于点E，F， G，其中∠DCE=∠ACB. (1)求证：CD2=AD·ED； (2)求证：直线CE是☉O的切线； (3)如图2，若点E落在线段AC的垂直平分线上，CD=9，求阴影部分的面积. 25 (1)证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠B=∠D=90°，AB=CD，CB=AD. ∵∠ACB=∠DCE，∴△CAB∽△CED， ∴=，则=， 即CD2=AD·ED. 26 (2)证明：如图，连接OE. ∵OA=OE，∴∠DAC=∠AEO. ∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥ AD， ∴∠ACB=∠DAC. ∵∠ACB=∠DCE， ∴∠DAC=∠DCE， ∴∠AEO=∠ACB=∠DCE. 27 ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°， ∴∠DCE+∠DEC=90°， ∴∠AEO+∠DEC=90°， ∴∠OEC=180°-90°=90°，即OE⊥EC. ∵OE为☉O的半径，∴直线CE与☉O相切. 28 (3)解：∵点E落在线段AC的垂直平分线上， ∴AE=CE，∴∠DAC=∠ECA. ∵∠DAC=∠DCE，∴∠DAC=∠ECA=∠DCE. ∵∠DAC+∠ECA+∠DCE=90°，∴∠DAC=∠DCE=30°. ∵CD=9，tan 30°=， ∴DE=CD×tan 30°=9×=3， AD===9. 29 在Rt△ACD中， AC===18， ∴AE=AD-DE=9-3=6. ∵OA=OE，∴∠DAC=∠AEO=30°， ∴∠AEO=∠ACE. ∵∠EAO=∠CAE，∴△EAO∽△CAE，∴=， ∴=，解得OA=6. 30 如图，连接OG. ∵∠DAC=30°，∠DAB=90°， ∴∠OAG=60°. ∵OG=OA=6， ∴△AOG是等边三角形， ∴∠AOG=60°，AG=AO=6. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°， 31 ∴EG是☉O的直径，即E，O，G三点共线， ∴S△AGO=S△AGE， ∴S阴影=S扇形AOG-S△AGE =-×AE·AG =6π-9. 32 6.【项目学习探究】根据以下素材，探索完成任务. 探索求圆半径的方法 背景素材 数学项目化课堂上，同学们用若干大小不一的透明圆形(或半圆形)纸片，及一张宽2 cm且足够长的矩形纸带(如图1)设计了一系列任务，请帮助解决问题   33 探索求圆半径的方法 任务一   若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过点A，B，G.现测得AG=1 cm，则可知该圆的半径为___cm  任务二   图 3 如图3，同学乙将一张半圆形纸片与矩形纸带摆放成如图形式，点A，E，F在半圆上.若AE=4 cm，BF=5 cm，求圆的半径 34 解：任务一： 任务二：如图，设圆心为点O，作OH⊥AE于点H，交BF于点K，连接OE，OF. ∵四边形ABCD是矩形，AB=2 cm，AE=4 cm，BF=5 cm，OH垂直平分AE， ∴∠AHK=∠A=∠B=90°，AH=EH=AE=2 cm， ∴四边形ABKH是矩形， ∴∠BKH=90°，HK=AB=2 cm，BK=AH=2 cm， ∴∠OKF=∠OHE=90°，FK=BF-BK=5-2=3(cm). 35 ∵OE=OF， ∴EH2+OH2=OE2=OF2=FK2+OK2， ∴22+(OK+2)2=32+OK2， 解得OK=， ∴OF===(cm)， ∴圆的半径长为 cm. 36 $$