5.5.2 简单的三角恒等变换讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，方法沉淀 基础巩固 1 1.半角公式： ， ， . 2.积化和差公式： （1） ； （2）； （3） ； （4）. 3.和差化积公式： （1） ； （2）； （3）； （4） . 4.辅助角公式： ，其中. 回归教材 2 ①练习 1.求证：. 2.已知，且，试求和的值. 3.已知等腰三角形的顶角的余弦等于，求这个三角形的一个底角的正切. 4.求证： （1）； （2）； （3）. 5.求证： （1）； （2）； （3）. 6.求下列函数的周期，最大值和最小值： （1）； （2）. 7.要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？ 8.已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R.求证. ②习题 1.已知一段圆弧所对的圆心角的正弦值等于，求这段圆弧所对的圆周角的正弦、余弦和正切. 2.化简： （1）； （2）； （3）； （4）. 3.求证： （1）； （2）. 4. （1）求函数的周期和单调递增区间； （2）求函数的最大值和最小值. 5.你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？ ； . 6.设.利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想x取一般值时的取值范围. 提升训练 3 1.设，，.则( ) A. B. C. D. 2.已知为锐角，，则( ) A. B. C. D. 3.( ) A. B. C. D. 4.( ) A. B. C. D. 5.已知，均为锐角，且满足，，则( ) A. B. C. D. 6.若，是第三象限角，则( ) A. B. C.2 D.-2 7.（）多选已知函数，其中a，，且，若对一切恒成立，则( ) A. B. C.是奇函数 D.是奇函数 8.已知，，则的值为_________. 9.若，，则___________. 10.已知，，则__________. 答案及解析 一、基础巩固 1. 2. 3. 4. 二、回归教材 ①练习 1.证明：， ， 所以. 2.答案：； 解析：，，，. ；. 3.答案： 解析：设等腰三角形顶角为，一个底角为，则底角， 由题意知. ，， ，这个角形的一个底角的正切为. 4.证明：（1） ； （2） ； （3） 等式成立. 5.证明：（1） ， . （2） ， 即. （3） ， . 6.答案：（1）最小正周期为，， （2）最小正周期为，， 解析：（1）， 最小正周期为，，. （2）， 最小正周期为，，. 7.答案：截取矩形的长为，宽为时，花坛面积最大，最大值为 解析：如图，设圆心为O，长方形面积为S， 设，则，， ， 当时，花坛的面积最大，. 此时，，， 截取矩形的长为，宽为时，花坛面积最大，最大值为. 8.证明：设O是内切圆圆心，OB、OA分别是内切圆半径，外接圆半径， 则，，，. 在中，，即， ，，即， ， . ②习题 1.答案：正弦.余弦.正切值分别为或 解析：设这段圆弧所对的圆心角为，圆周角为， 则，且， 均为正值.由，得. 当时，. 当时，. 这段圆弧所对圆周角的正弦.余弦.正切值分别为或. 2.解析：（1）； （2）； （3）； （4） 3.证明：（1）左边 右边. （2）左边 右边. 4.答案：（1）； （2）； 解析：（1） .周期为； 由，得，， 单调递增区间为. （2），其中，， 的最大值为，最小值为. 5.证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，.在中，，. 于是有，. 6.解析：当时，； 当时，，此时有；当时，，此时有.由此猜想，当时，. 三、提升训练 1.答案：D 解析：因为，所以，.所以.故选D. 2.答案：D 解析：因为，且为锐角， 所以.故选D. 3.答案：C 解析： .故选C. 4.答案：B 解析： . 5.答案：D 解析：因为，所以，. 又，均为锐角，所以，故. 6.答案：A 解析：方法一：，是第三象限角， ，. . 方法二：，是第三象限角，. . 7.答案：BC 解析：由题意，得，其中. 因为对一切恒成立，所以， 即，解得，故，. 对于A，，，因为a的大小不确定，所以与无法比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以为奇函数，故C正确； 对于D，，所以为偶函数，故D错误.故选BC. 8.答案：2 解析：由题意得，即，所以. 因为，所以，所以. 9.答案： 解析：，， ， . 10.答案： 解析：由，得. 由，得，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$