第十四章全等三角形 培优专练 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第十四章　全等三角形 考点1　全等三角形的性质与判定 1．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝52°，点B，D，E在同一条直线上，则∠BEC的度数为__________． 第1题图 　第2题图　 第3题图 2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，在斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC，交AB于点E.若AB＝5 cm，DE＝2 cm，则BE的长为__________cm. 3．如图，在平面直角坐标系中，AB＝BC，AB⊥BC于点B.若点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，2)，则点C的坐标为__________. 4．【分类讨论】如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，4)，点C的坐标为(4，3)，点D在平面内(不与点C重合).若△ABD与△ABC全等，则点D的坐标为__________． 　 第4题图 　第5题图 5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在△ABC的内部，连接AD，BD，CD.若AD⊥CD，CD＝4，则△BCD的面积为__________. 6．如图，AE与BD相交于点C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝8 cm.点P从点A出发，沿路径A→B→A以2 cm/s的速度运动；点Q从点D出发，沿路径D→E以1 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点E时，P，Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t s. (1)求证：AB∥DE； (2)求线段AP的长；(用含t的式子表示) (3)连接PQ，当线段PQ经过点C时，求t的值． 考点2　半角模型 7．【基本模型】(1)如图①，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，∠EAF＝45°. ①求证：EF＝BE＋DF； ②过点A作AH⊥EF于点H，求证：AB＝AH. 【模型变式】(2)如图②，在正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，点F在边CD的延长线上，∠EAF＝45°，请你探究此时线段BE，DF与EF之间的数量关系，并证明你的结论． 图①　　　　　 　 　图② 8．如图，已知等边三角形ABC的边长为1，D是△ABC外部一点，M，N分别在边AB，AC上，且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°，则△AMN的周长为__________. 第8题图 　 考点3　角的平分线的性质 9．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是20，30，40，其三条角平分线AO，BO，CO将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________． 　 第9题图 　　第10题图 　 　第11题图 10．如图，在∠AOB的边OA，OB上分别取点M，N，连接MN，MP平分∠AMN，NP平分∠MNB.若MN的长为2，△PMN的面积为2，△OMN的面积为6，则OM＋ON的长为__________． 11．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD，CE相交于点F，则下列说法正确的是__________．(填序号) ①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC；③CD＋AE＝AC；④S△AEF∶S△FDC＝AF∶FC. 12．【探究发现】如图①，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线．可得到结论：＝. (1)请补全下面的证明过程． 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G. ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴______________． ∴＝＝______________．又 ＝＝，∴______________． 【类比探究】(2)如图②，若AD是△BAC的外角的平分线，AD与BC的延长线交于点D.求证：＝. 【拓展应用】(3)如图③，在△ABC中，∠BAC＝60°，BF，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线且相交于点D.若 ＝，则 ＝__________． 　图①　　　　　　　　图②　　　　　　　　图③ 综合提升 13．如图，△ABC的面积为S，AD平分∠BAC，AD⊥BD于点D，连接CD，则△ACD的面积为__________． 第13题图 　　 　第14题图 　　　第15题图 14．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，连接BD，CE相交于点F，连接AF，下列结论：①BD＝CE；②BF⊥CF；③AF平分∠CAD；④FA平分∠BFE；⑤∠AFE＝45°.其中正确的是__________．(填序号) 15．如图，在△ABC中，AH是边BC上的高，AE∥BC，AB＝AE，在边AB上取一点D，连接DE，DE＝AC.若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，则BC＝__________． 16．(RJ八上P56数学活动1改编)项目化学习 七巧板又称“智慧板”，是我国古代劳动人民智慧的结晶．为了能理性地认识“七巧板”，吴老师带领同学们开展了以“七巧板‘巧’在何处？”为主题的项目学习活动，请同学们帮忙解决在项目实施过程中遇到的问题． 将一个正方形纸片ABCD(AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°)按照图①所示的方式折叠，直至点D与点O重合；然后将其展平，便会得到一个带有折痕的正方形如图②所示，这些折痕将其分成16个全等的等腰直角三角形，最后沿图③中的实线进行裁剪，便可得到一副七巧板如图④所示． 【观察】(1)请写出图④中的三对全等三角形． 【探究】(2)在图④中，由全等三角形的性质，得∠ADB的度数为__________．如果区域f对应的四边形的周长为3，那么区域g对应的三角形的周长为__________． 【应用】(3)在图④中，用三个区域拼成一个三角形，有几种拼法？请画出其中一种拼法． 图① 图②　　　 　　图③　　　 　　图④ 17．如图，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的边BC，B′C′上的中线，AD＝A′D′，AB＝A′B′，AC＝A′C′.判断△ABC与△A′B′C′是否全等，并说明理由． 变式　下列命题中是真命题的是__________．(填写相应的序号) ①两角和第三个角的角平分线分别相等的两个三角形全等； ②一边和这条边上的中线、高分别相等的两个三角形全等； ③一条直角边和斜边上的高分别相等的两个直角三角形全等； ④两边和第三边上的高分别相等的两个三角形全等． 18.发现：(1)如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：DE＝BD＋CE. 拓展：(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线m上，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α(α为任意锐角或钝角)，请问结论DE＝BD＋CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 应用：(3)如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F.若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 图①　　　　　　　图②　　　　　　　图③ 19．学习与探究： 图① 如图①，OP是∠MON的平分线，点A是OP上任意一点，用圆规分别在OM，ON上截取OB＝OC，连接AB，AC，则△AOB≌△AOC(SAS). 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： 如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC，∠ACB的平分线，AD，CE相交于点F. (1)∠EFA的度数为__________． (2)请你写出FD与FE之间的数量关系，并说明理由． (3)若∠ACB不是直角，其他条件不变，则(2)中所得结论是否仍然成立？请说明理由． 　图②　　　　　　　　图③ 20．【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究线段BE，EF，DF之间的数量关系． 【初步探索】(1)小亮同学认为：如图①，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG.先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE，EF，DF之间的数量关系是__________． 【探索延伸】(2)如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【结论运用】(3)如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角(即∠EOF)为70°，则此时两舰艇之间的距离为__________． 图①　　　　　　　图②　　　　 　图③ 第十四章　全等三角形 1．52°　2.3　3.（2，－2）　4.（4，2）或（－4，2）或（－4，3） 5．8　【提示】将△ACD绕点C逆时针旋转90°，得到△BCF，证得S△BCD＝S△FCD. 6．（1）证明：在△ABC和△EDC中， ∴△ABC≌△EDC（SAS）.∴∠A＝∠E.∴AB∥DE. （2）解：当0≤t≤4时，AP＝2t cm. 当4＜t≤8时，AB＝8 cm，BP＝（2t－8） cm， ∴AP＝8－（2t－8）＝（16－2t） cm. （3）解：如答图1. 根据题意，得DQ＝t cm，则EQ＝（8－t） cm. 答图1 由（1），得∠A＝∠E，ED＝AB＝8 cm. 当线段PQ经过点C时， 在△ACP和△ECQ中， ∴△ACP≌△ECQ（ASA）.∴AP＝EQ. 当0≤t≤4时，2t＝8－t.解得t＝. 当4＜t≤8时，16－2t＝8－t.解得t＝8. 综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为 或8. 7．（1）证明：①如答图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABF′，则△ABF′≌△ADF. 答图2 ∴∠BAF′＝∠DAF，AF′＝AF，BF′＝DF. ∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°. ∴∠BAE＋∠BAF′＝45°，即∠EAF′＝45°. ∴∠EAF′＝∠EAF. 在△AEF和△AEF′中， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）.∴EF＝EF′. 又EF′＝BE＋BF′＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. ②∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°＝∠ABE. 由（1）可知，△AEF≌△AEF′.∴∠AEB＝∠AEH. 在△AEB和△AEH中， ∴△AEB≌△AEH（AAS）.∴AB＝AH. [也可根据（1）中的结论利用面积法进行证明．] （2）解：EF＝BE－DF.证明如下： 答图3 如答图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG，则△ABG≌△ADF. ∴∠BAG＝∠DAF，AG ＝AF，BG＝DF. ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF＋∠DAE＝45°. ∴∠BAG＋∠DAE＝45°. ∴∠EAG＝∠BAD－（∠BAG＋∠DAE）＝90°－45°＝45°. ∴∠EAG＝∠EAF. 在△AEF和△AEG中， ∴△AEF≌△AEG（SAS）.∴EF＝EG. 又EG＝BE－BG＝BE－DF，∴EF＝BE－DF. 8．2　【提示】构造全等三角形，证明MN＝NC＋BM. 9．2∶3∶4　10.8　11.①③④ 12．（1）解：DE＝DF　　＝. （2）证明：如答图4，过点D作DN⊥BA，交BA的延长线于点N，过点D作DM⊥AC，交AC的延长线于点M，过点A作AP⊥BD于点P. 答图4 ∵AD平分∠MAN，DN⊥AN，DM⊥AM， ∴DN＝DM. ∴＝＝ . 又 ＝＝，∴＝. （3）解：.　【提示】如答图5，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接DG. 可证得△BDE≌△BDG（SAS）. 答图5 ∴∠BDE＝∠BDG. ∴∠ABC＋∠ACB＝120°. ∴∠DBC＋∠DCB＝60°.∴∠BDE＝60°. ∴∠BDG＝60°＝∠CDG.∴DG是∠BDC的平分线． 由（1）可知，在△BCE中，＝＝. 设BE＝3x，BC＝5x，则BG＝3x，CG＝2x. 由（1）可知，在△DBC中，＝＝. 13.　【提示】如答图6，延长BD，AC相交于点E，则△ABD≌△AED（ASA）. 答图6 ∴S△ABD＝S△AED，S△BDC＝S△EDC. ∴S△ABE＝S△ABC＋2S△EDC. ∴S△ACD＝S△ABE－S△EDC＝S△ABC. 14．①②④⑤ 15.　【提示】方法一：如答图7，过点E作EP⊥BA，交BA的延长线于点P，则△AEP≌△BAH（AAS），进而证得Rt△DEP≌Rt△CAH（HL）.结合面积关系，可得 ＝. 答图7 方法二：如答图8，在CB的延长线上截取BF＝AD，连接AF，则△ABF≌△EAD，进而证得Rt△AFH≌Rt△ACH（HL）.结合面积关系，可得BF∶BC＝1∶5，则BH∶BC＝2∶5. 答图8 16．解：（1）△ABO≌△ADO，△GHO≌△DFJ，△ABD≌△CBD. （2）45°　3. （3）有三种拼法，分别如答图9所示．（画出其中一种即可） 答图9 17．解：△ABC与△A′B′C′全等．理由如下： 如答图10，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE. 答图10 如答图11，延长A′D′至E′，使D′E′＝A′D′，连接B′E′. 答图11 ∵AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的边BC和B′C′上的中线，∴BD＝CD，B′D′＝C′D′. 在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB（SAS）.∴AC＝EB，∠DAC＝∠E. 同理，得△A′D′C′≌△E′D′B′.∴A′C′＝E′B′，∠D′A′C′＝∠E′. ∵AC＝A′C′，∴EB＝E′B′. ∵AD＝A′D′，AD＝DE，A′D′＝D′E′， ∴AD＋DE＝A′D′＋D′E′，即AE＝A′E′. 在△ABE和△A′B′E′中， ∴△ABE≌△A′B′E′（SSS）. ∴∠BAE＝∠B′A′E′，∠E＝∠E′.∴∠DAC＝∠D′A′C′. ∴∠BAE＋∠DAC＝∠B′A′E′＋∠D′A′C′，即∠BAC＝∠B′A′C′. 在△ABC和△A′B′C′中， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）. 变式　①②③ 18．（1）证明：∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°.∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°. ∴∠ABD＝∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA（AAS）.∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. （2）解：结论DE＝BD＋CE成立．证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠ABD＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°－α. ∴∠ABD＝∠CAE. 在△ADB和△CEA中， ∴△ADB≌△CEA（AAS）.∴BD＝AE，AD＝CE. ∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE. （3）解：同（2）可得△ABD≌△CAE.∴S△ABD＝S△CAE. 设△ABC的边BC上的高为h，则△ACF的边CF上的高为h. ∴S△ABC＝BC·h＝12，S△ACF＝CF·h. ∵BC＝2CF，∴S△ACF＝S△ABC＝6. ∵S△CEF＋S△ABD＝S△CEF＋S△CEA＝S△ACF. ∴△ABD与△CEF的面积之和为6. 19．解：（1）60°. （2）FE＝FD.理由如下： 如答图12，在AC上截取CH，使CH＝CD，连接FH. 答图12 ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠BAC＝90°－∠B＝30°. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝15°. ∴∠ADC＝90°－∠CAD＝75°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠FCD＝∠FCH＝45°. 又CF＝CF，CD＝CH，∴△FCD≌△FCH（SAS）. ∴FD＝FH，∠FHC＝∠FDC＝75°. ∴∠AHF＝180°－∠FHC＝105°.∵∠AEF是△BCE的外角， ∴∠AEF＝∠B＋∠BCE＝60°＋45°＝105°. ∴∠AEF＝∠AHF. 又AF＝AF，∠EAF＝∠HAF，∴△AEF≌△AHF（AAS）. ∴FE＝FH.又FD＝FH，∴FE＝FD. （3）（2）中所得结论仍然成立．理由如下： 如答图13，在AC上截取CG，使CG＝CD，连接FG. 答图13 ∵∠B＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝120°. ∵AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， ∴∠FAC＋∠FCA＝（∠BAC＋∠BCA）＝×120°＝60°. ∴∠AFC＝180°－（∠FAC＋∠FCA）＝120°. ∴∠CFD＝180°－∠AFC＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线，∴∠FCD＝∠FCG. 又CF＝CF，CD＝CG，∴△FCD≌△FCG（SAS）. ∴FD＝FG，∠CFG＝∠CFD＝60°. ∴∠AFG＝120°－∠CFG＝60°. ∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAF＝∠GAF. 又AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（ASA）.∴FE＝FG. 又FD＝FG，∴FE＝FD. 20．解：（1）EF＝BE＋DF. （2）上述结论仍然成立．理由如下： 如答图14，延长FD到点H，使DH＝BE，连接AH. 答图14 ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADH＝180°， ∴∠B＝∠ADH. 在△ABE和△ADH中， ∴△ABE≌△ADH（SAS）.∴AE＝AH，∠BAE＝∠DAH. ∵∠BAD＝∠BAE＋∠EAD，∠EAH＝∠EAD＋∠DAH， ∴∠BAD＝∠EAH. ∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAH. ∴∠EAF＝∠HAF.在△AEF和△AHF中， ∴△AEF≌△AHF（SAS）.∴EF＝HF. ∵HF＝HD＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF. （3）210海里．　 【提示】如答图15，连接EF，延长AE，BF相交于点C. 答图15 由题意，得∠AOB＝140°，∠EOF＝70°. ∴∠EOF＝∠AOB. 又OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝180°，　 ∴EF＝AE＋BF＝1.5×60＋1.5×80＝210（海里）. 学科网（北京）股份有限公司 $$